Tuyển tập chuyên đề Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm
Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Tuyển tập chuyên đề Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.
Năm học 2018-2019
Kỳ thi THPT Quốc gia từ năm 2016 – 2017, bài thi môn Toán chuyển từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm nên trong cách dạy, cách kiểm tra đánh giá, cách ra đề cũng thay đổi. Sự thay đổi đó nằm trong toàn bộ chương trình môn Toán nói chung và trong kỹ năng giải toán nói riêng; trong đó thì học sinh có thể dùng máy tính cầm tay để cho kết quả dễ dàng.
Do đó việc ra đề theo hình thức trắc nghiệm và hạn chế việc dùng máy tính cầm tay được ưu tiên trong toán THPT.
Bước sang kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017- 2018 đánh giá sự đổi mới toàn bộ trong nội dung ra đề của Bộ Giáo Dục với mục tiêu chính là hạn chế “ Casio hóa”, tăng cường các câu hỏi Vận dụng và Vận dụng cao nhằm phân hóa được học sinh ở các ngưỡng trung bình- khá- giỏi.
Lần đầu tiên, các câu hỏi Vận dụng và Vận dụng cao xuất hiện nhiều như “ nấm mọc sau mưa” ở phần Khảo sát Hàm số- phần trước nay vẫn được coi là gỡ điểm- điều đó gây ra không ít những bất ngờ và bỡ ngỡ ở cả học sinh cũng như người dạy.
Với mong muốn đưa ra những hướng tư duy mở, những lời giải hay và đẹp cho các bài toán ứng dụng Khảo sát Hàm số và để giáo viên, học sinh tiếp cận gần hơn với những bài toán khó đó, tập thể những thầy cô chúng tôi sau rất nhiều tâm huyết xin được trân trọng giới thiệu đến bạn đọc cuốn sách “ Chuyên đề Khảo sát Hàm số Vận Dụng- Vận Dụng Cao ”:
Chuyên đề 1. Tính đơn điệu của hàm số
Chuyên đề 2. Cực trị hàm số
Chuyên đề 3. Max min
Chuyên đề 4. Tiệm cận
Chuyên đề 5. Đồ thị hàm số
Chuyên đề 6. Tương giao- Điều kiện tồn tại nghiệm
Chuyên đề 7. Các bài toán tiếp tuyến- tiếp xúc
Nhóm toán VD - VDC
Năm học 2018-2019
Kỳ thi THPT Quốc gia từ năm 2016 – 2017, bài thi môn Toán chuyển từ thi tự
luận sang hình thức thi trắc nghiệm nên trong cách dạy, cách kiểm tra đánh giá, cách ra đề cũng
thay đổi. Sự thay đổi đó nằm trong toàn bộ chương trình môn Toán nói chung và trong kỹ năng
giải toán nói riêng; trong đó thì học sinh có thể dùng máy tính cầm tay để cho kết quả dễ dàng.
Do đó việc ra đề theo hình thức trắc nghiệm và hạn chế việc dùng máy tính cầm tay được ưu
tiên trong toán THPT.
Bước sang kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017- 2018 đánh giá sự đổi mới toàn bộ
trong nội dung ra đề của Bộ Giáo Dục với mục tiêu chính là hạn chế “ Casio hóa”, tăng
cường các câu hỏi Vận dụng và Vận dụng cao nhằm phân hóa được học sinh ở các ngưỡng
trung bình- khá- giỏi.
Lần đầu tiên, các câu hỏi Vận dụng và Vận dụng cao xuất hiện nhiều như “ nấm mọc
sau mưa” ở phần Khảo sát Hàm số- phần trước nay vẫn được coi là gỡ điểm- điều đó gây ra
không ít những bất ngờ và bỡ ngỡ ở cả học sinh cũng như người dạy.
Với mong muốn đưa ra những hướng tư duy mở, những lời giải hay và đẹp cho các bài
toán ứng dụng Khảo sát Hàm số và để giáo viên, học sinh tiếp cận gần hơn với những bài toán
khó đó, tập thể những thầy cô chúng tôi sau rất nhiều tâm huyết xin được trân trọng giới thiệu
đến bạn đọc cuốn sách “ Chuyên đề Khảo sát Hàm số Vận Dụng- Vận Dụng Cao ”:
Chuyên đề 1. Tính đơn điệu của hàm số
Chuyên đề 2. Cực trị hàm số
Chuyên đề 3. Max min
Chuyên đề 4. Tiệm cận
Chuyên đề 5. Đồ thị hàm số
Chuyên đề 6. Tương giao- Điều kiện tồn tại nghiệm
Chuyên đề 7. Các bài toán tiếp tuyến- tiếp xúc
Chuyên đề 8. Điểm đặc biệt của đồ thị
Chuyên đề 9. Các bài toán thực tế ứng dụng KSHS
Chân thành gửi lời cảm ơn quý thầy cô đã dành thời gian và tâm huyết của mình cho cuốn
sách này:
1. Thầy Nguyễn Chiến
2. Thầy Trương Quốc Toản
3. Thầy Nguyễn Phương
4. Thầy Nguyễn Ngọc Hóa
5. Thầy Hoàng Xuân Bính
6. Thầy Hoàng An Dinh
7. Thầy Trần Đình Cư
8. Thầy Nguyễn Hoàng Kim Sang
9. Thầy Trần Hoàn
10. Thầy Nguyễn Hoàng Việt
11.Thầy Nguyễn Khải
12. Thầy Tạ Minh Đức
Trân trọng
Hà nội, ngày 28 tháng 08 năm 2018
Nhóm tác giả
MỤC LỤC
Trang
SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................................ 4
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y f x DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN .... 5
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y f x DỰA VÀO ĐỒ THỊ y f x ,
ĐỒ THỊ ... y h x g x . ........................................................................................................................... 7
1. Xét tính đồng biến nghịch biến của đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hàm fx ..................................... 7
2. Xét tính đồng biến nghịch biến của đồ thị hàm số h x f x g x dựa vào đồ thị hàm fx .. 9
DẠNG 3. CHO BIỂU THỨC ', f x m TÌM m ĐỂ HÀM SỐ f u x
ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN. .............. 13
D ẠNG 4. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN ; TRÊN CÁC KHOẢNG KHÁC . 14
D ẠNG 5. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ BẬC BA ĐƠN ĐI ỆU THỎA MÃN NHỮNG ĐIỀU KIỆN
CỤ THỂ. .......................................................................................................................................................... 15
D ẠNG 6. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, B Ấ T
PHƯƠNG TRÌNH, H Ệ PHƯƠNG TRÌNH. ........................................................................................................ 15
CH Ủ Đ Ề: C ỰC TR Ị HÀM S Ố .............................................................................................................................. 18
Dạng 1: Tìm m để hàm số bậc 3 có hai điểm cực trị thoả mãn tính chất P . ............................................ 18
1.1. Ví dụ minh hoạ ................................................................................................................................... 18
1.2. Bài tập trắc nghiệm ............................................................................................................................ 18
Dạng 2: Tìm m để hàm số bậc 4 có 3 điểm cực trị lập thành tam giác thoả mãn tính chất P . ................ 20
2.1. Ví dụ minh hoạ ................................................................................................................................... 20
2.2. Bài tập trắc nghiệm ............................................................................................................................ 21
Dạng 3. Tìm số điểm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn dựa vào bảng biến thiên hàm số y f x , bảng xét
dấu y f x . ............................................................................................................................................. 23
3.1. Ví dụ minh hoạ ................................................................................................................................... 23
3.2. Bài tập trắc nghiệm ............................................................................................................................ 23
Dạng 4: Tìm số điểm cực trị dựa vào đồ thị hàm số ( ); '( ) y f x y f x ............................................ 26
4.1. Ví dụ minh hoạ ................................................................................................................................... 26
4.2. Bài tập trắc nghiệm ............................................................................................................................ 27
Dạng 5: Tìm m để hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có k (hoặc có tối đa k điểm cực trị). ...................... 31
5.1. Ví dụ minh hoạ ................................................................................................................................... 31
5.2. Bài tập trắc nghiệm ............................................................................................................................ 32
Dạng 6: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm
0
x . ...................................................................................... 33
6.1. Ví dụ minh hoạ ................................................................................................................................... 33
6.2. Bài tập trắc nghiệm ............................................................................................................................ 33
CHUYÊN ĐỀ MAX -MIN HÀM SỐ ...................................................................................................................... 35
Chủ đề: TIỆM CẬN (VD - VDC) .......................................................................................................................... 50
Dạng 1: Bài toán xác định số tiệm cận của đồ thị hàm số cụ thể không chứa tham số. ............................... 50
Dạng 2: Bài toán xác định tiệm cận của đồ thị hàm số có bảng bảng biến thiên cho trước. (5 câu) ............ 51
Dạng 3: Cho bảng biến thiên của hàm số fx . Xác định tiệm cận của đồ thị hàm hợp của fx . ......... 53
Loại 1: Hàm hợp
y g f x . ............................................................................................................... 53
Loại 2: Hàm hợp
y g f u x .......................................................................................................... 56
Dạng 4: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ SỐ TIỆM CẬN CHO TRƯỚC ......................... 57
1. Cơ sở lý thuyết ....................................................................................................................................... 57
2. Phương pháp .......................................................................................................................................... 57
3. Các ví dụ minh họa. ................................................................................................................................ 58
Dạng5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số nhận đường thẳng , x a y b làm tiệm cận .......... 59
Dạng 6: Bài toán tiệm cận và diện tích, khoảng cách…và bài toán tổng hợp ................................................ 59
CHUYÊN ĐỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ........................................................................................................................... 62
A. CÁC D ẠNG TOÁN .......................................................................................................................................... 62
Dạng 1: Các bài toán đồ thị liên quan đến khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số ............................... 62
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ĐỒ THỊ LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ...................................................... 69
Ví dụ: .......................................................................................................................................................... 71
BÀI TẬ P ÁP DỤNG ...................................................................................................................................... 73
DẠNG 3. ĐỒ THỊ LIÊN QUAN TỚI ĐẠO HÀM CẤP I, CẤP II.............................................................................. 74
1. Phương pháp. Sử dụng một trong các nhận xét hoặc kết hợp tất cả các nhận xét: .............................. 74
2. Một vài ví dụ. ......................................................................................................................................... 75
3. Bài tập tương tự. .................................................................................................................................... 77
III. ĐỒ THỊ LIÊN QUAN TỚI NGUYÊN HÀM. .................................................................................................... 79
1. Phương pháp. ......................................................................................................................................... 79
2. Các ví dụ. ................................................................................................................................................ 79
3. Bài tập tương tự. .................................................................................................................................... 80
BÀI TẬP ÁP DỤNG....................................................................................................................................... 81
DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN MAX-MIN KHI BIẾT ĐỒ THỊ, ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ BBT .......................................... 83
a) Phương pháp giải ................................................................................................................................... 83
b) Các ví dụ: ................................................................................................................................................ 83
BÀI TẬP ÁP DỤNG....................................................................................................................................... 87
DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ..................................................................................... 91
PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH HAI ĐỒ THỊ ............................................................................................................ 91
1. Phương pháp: ......................................................................................................................................... 91
2. Các ví dụ mẫu: ........................................................................................................................................ 91
BÀI TẬP ÁP DỤNG....................................................................................................................................... 94
DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TƯƠNG GIAO, TỊNH TIẾN ............................................................. 95
1. Phương pháp :Nắm vững cách xét số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị và
kết hợp một số kiến thức liên quan. .......................................................................................................... 95
2. Ví dụ minh hoạ : .................................................................................................................................... 95
BÀI TẬP ÁP DỤNG....................................................................................................................................... 97
Câu 31. [2D1-2]. Cho hàm số
21
1
x
y
x
có đồ thị như hình vẽ bên. ............................................ 102
21
1
x
m
x
có hai nghiệm thực phân biệt. ............................................................................................. 102
CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VÀ TIẾP XÚC...................................................................................................... 104
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm ................................................................................................... 104
1. Phương pháp ........................................................................................................................................ 104
2. Các ví dụ mẫu ....................................................................................................................................... 105
3. Bài tập tự luyện: ................................................................................................................................... 110
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc. ......................................................................................... 111
1. Phương pháp ........................................................................................................................................ 111
2. Các ví dụ mẫu ....................................................................................................................................... 112
3. Bài tập tự luyện. ................................................................................................................................... 117
Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua ............................................................................................................................ 118
1. Phương pháp ........................................................................................................................................ 118
2. Các ví dụ mẫu ....................................................................................................................................... 119
3. Bài tập tự luyện .................................................................................................................................... 124
Dạng 4: Tiếp tuyến chung của hai đường cong ........................................................................................... 125
1. Phương pháp ........................................................................................................................................ 125
2. Các ví dụ mẫu ....................................................................................................................................... 125
3. Bài tập tự luyện .................................................................................................................................... 134
Dạng 5: Bài toán tiếp xúc của hai đồ thị. ..................................................................................................... 135
1. Phương pháp ........................................................................................................................................ 135
2. Các ví dụ mẫu ....................................................................................................................................... 135
3. Bài tập tự luyện .................................................................................................................................... 139
CHỦ ĐỀ 8. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ .................................................................................... 140
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ...................................................................................................................... 140
I. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong .................................................................................... 140
II. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên: ................................................................................................... 141
III. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng: ........................................................................................ 141
IV. Bài toán tìm điểm đặc biệt liên quan đến hàm số
ax b
y
cx d
có đồ thị C : .............................. 142
V. Bài toán tìm điểm đặc biệt khác: ......................................................................................................... 144
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................................. 146
Chuyên đề : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Đ Ể GIẢI TOÁN THỰC TẾ .............................................................. 159
DẠNG 1: BÀI TOÁN VỀ QUÃNG ĐƯỜNG ...................................................................................................... 159
DẠNG 2: BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ............................................................................................... 162
Câu 18: Chu vi của một tam giác là
16
cm, biết độ dài một cạnh của tam giác là
6 a
cm. Tính độ dài
hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác đó có diện tích lớn nhất. ..................................................... 166
DẠNG 3: BÀI TOÁN LIÊN HỆ DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH ....................................................................................... 167
SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K và
12
, x x K .
Hàm số f gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu
1 2 1 2
x x f x f x .
Hàm số f gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu
1 2 1 2
x x f x f x .
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K .
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì 0, f x x K .
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì 0, f x x K .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K .
Nếu 0, f x x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
Nếu 0, f x x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
Nếu 0, f x x K thì hàm số không đổi trên khoảng K .
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Xác định được khoảng đơn điệu của hàm số y f x dựa vào bảng biến thiên
Dạng 2. Xác định được khoảng đơn điệu của hàm số y f x dựa vào đồ thị y f x ,
đồ thị ... y h x g x .
Dạng 3. Cho biểu thức ', f x m Tìm m để hàm số f u x
đồng biến, nghịch biến.
Dạng 4. Xác định giá trị tham số m để hàm số đơn điệu trên ; trên các khoảng khác .
y
x
O
b
a
Hàm số đồng biến
y
x
O
b
a
Hàm số nghịch biến
Dạng 5. Xác định giá trị tham số m để hàm số bậc ba đơn đi ệu thỏa mãn những điều kiện
cụ thể.
Dạng 6. Ứng dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức và giải phương trìn h, bấ t
phương trình, h ệ phương trình.
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y f x DỰA VÀO
BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 1: [2D1-3] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số 2017 2018 g x f x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. Hàm số gx nghịch biến trên 2020; .
B.Hàm số gx nghịch biến trên 2016;2020 .
C. Hàm số gx nghịch biến trên 1;3 .
D. Hàm số gx nghịch biến trên ;2016 .
Câu 2: [2D1-3] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên:
Xét hàm số 23 g x f x . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.Hàm số gx đồng biến trên khoảng 2; .
B. Hàm số gx đồng biến trên khoảng 0;2 .
x
' fx
fx
1 3
2018
2018
0
0
C. Hàm số gx đồng biến trên khoảng 1; a .
D. Hàm số gx nghịch biến trên khoảng ;1
Câu 3: [2D1-3] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Xét hàm số 3. g x f x Chọn phát biểu đúng ?
A.Hàm số gx đồng biến trên ;1 .
B. Hàm số gx nghịch biến trên ;2 .
C. Hàm số gx đồng biến trên 1;3 .
D. Hàm số gx nghịch biến trên ;1 .
Câu 4: [2D1-4] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên:
Xét hàm số
2
3 g x f x x . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số gx đồng biến trên khoảng
3
0;
2
.
B. Hàm số gx đồng biến trên khoảng 0;3 .
C. Hàm số gx nghịch biến trên khoảng ;0 .
D. Hàm số gx nghịch biến trên khoảng 3; .
Câu 5: [2D1-4] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên:
Xét hàm số
2
g x f x . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số gx đồng biến trên khoảng ; b .
B. Hàm số gx đồng biến trên khoảng ;0 .
C.Hàm số gx đồng biến trên khoảng 3; .
D. Hàm số gx đồng biến trên khoảng ; ab .
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y f x DỰA VÀO ĐỒ
THỊ y f x , ĐỒ THỊ ... y h x g x .
1. Xét tính đồng biến nghịch biến của đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hàm fx
Phương pháp :
Tính đạo hàm của hàm số f u x u x f u
Phần đồ thị hàm fx nằm trên Ox hàm đồng biến , Phần đồ thị hàm fx nằm
dưới Ox hàm nghịch biến ,
Phát triển :
Cho một đường cong bất kì là đồ thị hàm fx
Chọn hàm hợp
f u x có đạo hàm xét được tính biến thiên dựa vào đồ thị fx
chú ý các điểm đồ thị fx giao với Ox
Câu 1:Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên . Hàm số y f x có đồ thị như hình v ẽ
sau:
Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào?
A. 2; . B. ;0 . C. 1;1 và 4; . D. ;1 và 1;4 .
Câu 2: Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình v ẽ bên. Hàm số
2
1 y f x
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
3; . B.
3; 1 . C.
1; 3 . D. 0;1 .
Câu 3. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình v ẽ bên dưới.
Hàm số
2
y f x đồng biến trên khoảng
A.
11
;
22
. B. 0;2 . C.
1
;0
2
. D. 2; 1 .
Câu 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên thỏa 2 2 0 ff và đồ thị hàm số y f x
có dạng như hình v ẽ bên dưới.
Hàm số
2
y f x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau:
A.
3
1;
2
. B. 2; 1 . C. 1;1 . D. 1;2 .
Câu 5 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên , hàm số 2 y f x có đồ thị như hình
dưới. Hàm số y f x đồng biến trong khoảng nào .
A. ;3 và 2; . B. ; 3 2; .
C. 3; 2 và 1; . D. ;2 .
2. Xét tính đồng biến nghịch biến của đồ thị hàm số h x f x g x dựa vào đồ thị hàm fx
Phương pháp :
Tính đạo hàm của hàm số h x f x g x
Căn cứ đồ thị hàm fx các điềm cực trị của hàm hx , xét đồ thị Phần đồ thị
hàm fx và gx . Nếu fx nằm trên gx hàm đồng biến , Nếu fx nằm
dưới gx hàm nghịch biến .
Phát triển :
Cho một đường cong bất kì là đồ thị hàm fx , và đường cong gx
Xét tính đồng biến nghịc biến của h x f x g x .
Câu 1: Cho hàm số y f x có đồ thị y f x như hình v ẽ. Xét hàm số
32
1 3 3
2018
3 4 2
g x f x x x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.Hàm đồng biến trên khoảng 3; 1 .
B.Hàm đồng biến trên khoảng 3;1 .
C. Nghịch biến trên khoảng 1;1 .
D.Hàm đồng biến trên khoảng 1;1 .
Câu 2:Cho hàm số y f x có đồ thị fx như hình v ẽ
Hàm số
2
1
2
x
y f x x nghịch biến trên khoảng
A. 3; 1 . B. 2; 0 . C. 1; 3 . D.
3
1;
2
.
O
x
y
1
1
3
3
1
2
Câu 3: Cho hàm số
y f x có đồ thị của hàm số
y f x được cho như hình bên. Hàm s ố
2
22 y f x x nghịch biến trên khoảng
A.
3; 2 . B.
2; 1 . C.
1; 0 . D.
0; 2 .
Câu 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y f x như hình v ẽ
sau:
Hàm số 2017 4 2019 y f x x nghịch biến trên khoảng :
A. ;2 . B. ;1 . C. ;2019 . D. 2019; .
Câu 5: Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình bên. Đ ặt g x f x x .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 1 1 2 g g g . B. 2 1 1 g g g .
C. 2 1 1 g g g . D. 1 1 2 g g g .
Câu 6: [2D1-3] Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Đường cong trong hình vẽ bên dưới là
3 2
3
2
1 4
1
5 O x
y
O
y
1
2
2 1 1
1
x
đồ thị của hàm số y f x ( y f x liên tục trên ) . Xét hàm số
2
2 g x f x .
Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số gx nghich ̣ biến trên ;2 .
B. Hàm số gx đồng biến trên 2; .
C. Hàm số gx nghịch biến trên 1;0 .
D. Hàm số gx nghịch biến trên 0;2 .
Câu 7: [2D1-4] Cho hàm số () y f x . Đồ thị của hàm số () y f x như hình bên. Đ ặt
2
( ) 2 ( ) h x f x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ;0 . B. 3;
C. ;2 và 2;4 . D. 2;2 và 4; .
Câu 8: [2D1-4][THQG 2018-mã 101] Cho hàm số y f x , y g x . Hai hàm số y f x
và y g x có đồ thị như hình bên trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số
y g x
x
y
2
4
2
2 4
2
Hàm số
3
42
2
h x f x g x
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
31
5;
5
. B.
9
;3
4
. C.
31
;
5
. D.
25
6;
4
.
DẠNG 3. CHO BIỂU THỨC ', f x m TÌM m ĐỂ HÀM SỐ f u x
ĐỒNG BIẾN,
NGHỊCH BIẾN.
Câu 1. Cho hàm số fx có đạo hàm
2
2
12 f x x x x với mọi . x Có bao nhiêu số
nguyên 100 m để hàm số
2
8 g x f x x m đồng biến trên khoảng 4; ?
A. 18. B. 82. C. 83. D. 84.
Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm
2
2
19 f x x x x mx với mọi . x Có bao
nhiêu số nguyên dương m để hàm số 3 g x f x đồng biến trên khoảng 3; ?
A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
Câu 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm
22
15 f x x x x mx với mọi . x Có bao
nhiêu số nguyên âm m để hàm số
2
g x f x đồng biến trên 1; ?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 7.
Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm
2
43
1 3 1 f x x x x mx với mọi . x Có bao
nhiêu số nguyên âm m để hàm số
2
g x f x đồng biến trên khoảng 0; ?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm
22
1 f x x x mx với mọi . x Có bao nhiêu số
nguyên âm m để hàm số
1 g x f x nghịch biến trên khoảng ;1 ?
A. 2. B. 3. C. 7. D. 8.
DẠNG 4. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN ; TRÊN CÁC
KHOẢNG KHÁC .
Câu 1. [1D2-3] Tìm m để hàm số
32
1
1 3 4
3
y x m x m x đồng biến trên 0;3 .
A.
12
7
m . B.
3
7
m . C.
25
7
m . D.
5
7
m .
Câu 2. [1D2-4] Cho hàm số 3 2 1 cos y m x m x . Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trên
.
A.
2
3
m . B.
3
2
5
m . C.
2
4
3
m . D. 4 m .
Câu 3. [1D2-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 2 3 sin 2 y m x m x đồng
biến trên ?
A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 6 .
Câu 4. [1D2-3] Cho hàm số
32
34 y x x mx . Tậ p hợp tấ t cả các giá trị của tham số m để hàm
số đồng biến trên khoảng ;0 là
A. ;3 . B. ;4 . C. 1; . D. 1;5 .
Câu 5. [1D2-3] Gọi S là tậ p hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số
32
3 2 1 12 5 2 y x m x m x đồng biến trên khoảng 2; . Số phần tử của S
bằng
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 6. [1D2-3] Tìm m để hàm số
21 x
y
xm
đồng biến trên 0; .
A.
1
2
m . B. 0 m . C.
1
2
m . D.
1
0
2
m .
Câu 7. Với mọi giá trị m a b , , ab thì hàm số
32
22 y x mx x đồng biến trên khoảng
2;0 . Khi đó ab
bằng?
A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 .
Câu 8. Cho hàm số
42
21 f x mx x với m là tham số thực. Có tấ t cả bao nhiêu giá trị nguyên
của m thuộc khoảng 2018;2018 sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
1
0;
2
?
A. 2022 . B. 4032 . C. 4 . D. 2014 .
Câu 9. Gọi S là tổng tấ t cả các giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số
2
2
4
xm
y
xm
đồng biến trên khoảng 2021; . Khi đó giá trị của S bằng
A. 2035144 . B. 2035145 . C. 2035146 . D. 2035143.
Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên âm để hàm số đồng biến trên
khoảng ?
A. . B. . C. vô số. D. .
DẠNG 5. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ BẬC BA ĐƠN ĐI ỆU THỎA MÃN
NHỮNG ĐIỀU KIỆN CỤ THỂ.
Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng 1000;1000 để hàm số
32
2 3 2 1 6 1 1 y x m x m m x đồng biến trên khoảng 2; ?
A. 999. B. 1001. C. 998. D. 1998.
Câu 2. Biết rằng hàm số
32
1
3 1 9 1
3
y x m x x (với m là tham số thực) nghịch biến trên khoảng
12
; xx và đồng biến trên các khoảng giao với
12
; xx bằng rỗng. Tìm tấ t cả các giá trị của m để
12
6 3. xx
A. 1 m . B. 3 m .
C. 3 m , 1 m . D. 1 m , 3 m .
Câu 3. Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
32
3 y x x mx m nghịch biến trên
đoạn có độ dài lớn nhấ t bằng 1.
A.
9
4
m . B. 3 m . C. 3 m . D.
9
4
m .
Câu 4. Cho hàm số
32
23
3
m
y x x m x m . Tìm giá trị nguyên nhỏ nhấ t của tham số m để
hàm số đồng biến trên .
A. 4 m . B. 0 m . C. 2 m . D. 1 m .
DẠNG 6. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH, B Ấ T PHƯƠNG TRÌNH, H Ệ PHƯƠNG TRÌNH.
Để chứng minh bất đẳng thức , h x g x x K
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1 : Chuyển bấ t đẳ ng thức về dạng 0, . f x h x g x x K
Xét hàm số y f x trên miền xác định K (K cho trước hoặc phải tìm).
m
3
1
cos 4cot 1 cos
3
y x x m x
0;
5 2 3
Bước 2 : Lập bảng biến thiên
Bước 3 : Dựa vào định nghĩa đồng biến (nghịch biến) để kết luận:
Hàm số fx đồng biến trên K và
1 2 1 2 1 2
, , . x x f x f x x x K
Hàm số fx
nghịch biến trên K
và
1 2 1 2 1 2
,, x x f x f x x x K
Để giải phương trình, b ấ t phương trình chú ý các k ết quả sau:
+ Nếu hàm số fx liên tục và đơn điệu (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến) trên miền
K thì phương trình f x k có tối đa một nghiệm (k là hằng số).
+Nếu hai hàm số fx và gx đơn điệu ngược chiều trên miền K thì phương trình
f x g x có tối đa một nghiệm trên K.
+Nếu hàm số fx xác định trên miền K và có 0 fx
hoặc 0 fx trên miền K thì
fx
luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên K nên 0 fx
có tối đa một nghiệm trên K
do đó phương trình 0 fx có tối đa hai nghiệm trên K.
+Nếu hàm số fx liên tục và đơn điệu (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến) trên miền
K thì với ,: u v K f u f v u v .
+Nếu hàm số fx đồng biến và liên tục trên tậ p xác định K thì với
,: u v K f u f v u v .
+Nếu hàm số fx đồng biến và liên tục trên tậ p xác định K thì với
,: u v K f u f v u v .
+ Nếu hàm số fx nghịch biến và liên tục trên tậ p xác định K thì với
,: u v K f u f v u v .
+ Nếu hàm số fx nghịch biến và liên tục trên tậ p xác định K thì với
,: u v K f u f v u v .
Câu 1: Gọi S là tậ p hợp tất cả các giá tr ị thực của tham số m sao cho phương trình
3
3
1 3 3 3 x m x m có đúng hai nghiệm thực. Tích tấ t cả phần tử của tậ p hợp S là
A. 1. B. 1. C. 3. D. 5.
Câu 2: S là tậ p hợp tất cả các giá tr ị thực của tham số m sao cho phương trình
3 2 2 3
5 4 2 2 x x x x m m có 3 nghiệm phân biệt. Tích tấ t cả phần tử của tậ p hợp
S là
A.
14
27
m
B.
14
27
m
C. 10 m D.
14
10
27
m
Câu 3: Cho phương trình
2 3 3 2
2 8 2 2 10 m x x x x m ( m là tham số). Khẳ ng định nào
sau đây là đúng?
A. Phương trình đã cho vô nghi ệm.
B. Phương trình đã cho có đúng m ột nghiệm thực.
C. Phương trình đã cho có hai nghi ệm thực phân biệt.
D. Số nghiệm của phương trình ph ụ thuộc vào giá trị của tham số . m
Câu 4: Phương trình
2
3 1 1 x x x x có tổng bình các nghiệm là
A. 1. B. 2. C. 4. D. 5.
Câu 5: Cho phương trình
2
4 2 1 x x x m . Khẳ ng định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình đã cho có t ối đa một nghiệm thực với . m
B. Phương trình đã cho có t ối đa hai nghiệm thực với . m
C. Phương trình đã cho có t ối đa ba nghiệm thực với . m
D. Cả ba đáp án A, B, C đều sai.
Câu 6: Tậ p nghiệm của bấ t phương trình
2
6 2 18 x x x là
A. ;2 . B. 2;2 . C. 2; . D. 2;2 .
Câu 7: Cho phương trình
2
2 3 3 x x x x m . Khẳ ng định nào sau là đúng?
A. Phương trình đã cho có t ối đa một nghiệm thực với . m
B. Phương trình đã cho có t ối đa hai nghiệm thực với . m
C. Phương trình đã cho có t ối đa ba nghiệm thực với . m
D. Cả ba đáp án A, B, C đều sai.
Câu 8: Để phương trình:
22
11 x x x x m
có nghiệm thì tậ p hợp tấ t cả các giá trị của
m là.
A. . m B.
1
.
1
m
m
C. 1 1. m D. . m
CHỦ ĐỀ: CỰC TRỊ HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm m để hàm số bậc 3 có hai điểm cực trị thoả mãn tính chất P .
1.1. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Cho hàm số
3 2 2
3 1 2 3 2 1 y x m x m m x m m . Tìm m để đồ thị hàm số có
hai cực trị và đường thẳ ng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳ ng
2
3
yx .
Lời giải
Ta có:
' 2 2
3 6 1 2 3 2 y x m x m m có
'2
3 3 1 mm .
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
'2
35
2
0 3 3 1 0
35
2
m
mm
m
.
Khi đó ta có
'2
12
3 1 1
33
xm
y y m m x m
.
Tại điểm cực trị ta có
'
0 y nên
2
2
3 1 1
3
y m m x m
là đường thẳ ng đi qua
hai điểm cực trị.
Do đó bài toán tương đương
'
2
2
0
0
22
31
3 33
2
1 3 1 0
3
m
mm
m
m m m
.
Vậ y
0
3
m
m
.
1.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho hàm số
3 2 2
31 y x x m m . Gọi S là tậ p hợp tấ t cả giá trị của tham số m để đồ
thị hàm số có hai điểm cực trị , AB sao cho ABC có diện tích bằng 7 , với ( 2;4) C . Tính
tổng các phần tử của S .
A.5. B.1. C. 1 . D. 5 .
Câu 2. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
3 2 2
1
1
3
y x mx m x có hai điểm cực trị là A và B sao cho A , B nằm khác phía và
cách đều đường thẳng : 5 9 d y x . Tính tổng tất cả các phần tử của S .
A. 0. B. 6. C. 6. D. 3.
Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳ ng : (2 1) 3 d y m x m vuông góc với
đường thẳ ng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
32
3 1. y x x
A.
3
.
2
m B.
3
.
4
m C.
1
.
2
m D.
1
.
4
m
Câu 4. Cho hàm số
32
1
2 1 3
3
y x mx m x , với m là tham số. Xác định tấ t cả các giá trị
của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung?
A.
1
; \ 1 .
2
m
B. 0 2. m
.
C. 1. m . D.
1
1.
2
m
Câu 5. Cho hàm số
3 2 2
2
2
32
m
y x x m x . Tìm tấ t cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có
hai điểm cực trị , AB sao cho ba điểm ,, O A B thẳ ng hàng, trong đó O là gốc tọa độ.
A. 0 m . B. 3 m . C.
3
24 m . D.
2
2
m
Câu 6. Tìm tấ t cả các giá trị của tham số m để hàm số
32
11
5
32
y x m x mx có cực đại,
cực tiểu và 5
C C Đ T
x x . .
A. 60 m; . B. 0 m . C. 6 m . D. 06 m;
.
Câu 7. Tìm m để đồ thị hàm số
32
3 1 12 3 4 y x m x mx m có hai điểm cực trị , AB sao
cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc toạ độ với
9
1;
2
C
.
A.
12
7
m . B.
1
2
m
. C.
1
2
m
. D.
1
2
m
.
Câu 8. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
32
1 12 3 4 y m x x mx đạt cực đại tại
1
x và
đạt cực tiểu tại
2
x , đồng thời
12
xx .
A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 9. Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m để điểm
3
(2 ; ) M m m tạo với hai điểm cực đại, cực
tiểu của đồ thị hàm số
32
2 3(2 1) 6 ( 1) 1 ( ) y x m x m m x C một tam giác có diện tích
nhỏ nhấ t.
A. 1 m . B. 2 m . C. 1 m . D. 0 m .
Câu 10. Cho hàm số
3 2 3
34 y x mx m . Gọi S là tậ p hợp tấ t cả giá trị của tham số m để hàm
số có hai điểm cực trị A và B sao cho 20 AB . Tính tổng các phần tử của S .
A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 4 .
Dạng 2: Tìm m để hàm số bậc 4 có 3 điểm cực trị lập thành tam giác thoả mãn tính
chất P .
2.1. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Cho hàm số
4 2 2
21 y x m x m . Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành
một tam giác vuông.
Lời giải
Ta có:
32
4 4 1 4 1 y x m x x x m
.
Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi 0 y có ba nghiệm phân biệt, tương đương:
1 0 1 mm (*).
Khi đó đồ thị hàm số có ba cực trị là:
1; 2 1 A m m ,
2
0; Bm ,
1; 2 1 C m m .
22
1; 2 1 , 1; 2 1 BA m m m BC m m m .
Vì ba đi ểm ,, A B C là tam giác cân tại B nên tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ
khi vuông tại B và tương đương:
2
3
3
1
. 0 1 2 1 0 1 1 1 0
0
m
BA BC m m m m m
m
.
Kết hợp (*) ta được 0 m .
Vậ y 0 m .
Ví dụ 2. Cho hàm số
42
3
22
2
m
y x mx (với m là tham số). Tìm tấ t cả các giá trị của m để hàm
số đã cho có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này cùng với gốc tọa độ O tạo thành
bốn đỉnh của một tứ giác nội tiếp được.
Lời giải.
x
y
C B
O
A
.
Ta có:
32
' 8 4 4 2 y x mx x x m . Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi 0 m .
0
'0
2
2
x
m
yx
m
x
.
Khi đó giả sử 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:.
22
3 3 3
0; , ; , ;
2 2 2 2 2 2 2
m m m m m m m
A B C
.
Do AO trung trực của BC và ABOC nội tiếp được nên ; AB OB AC OC .
Ta có:
22
3
; ; ;
2 2 2 2 2
m m m m m
AB OB
.
.0 AB OB
4 3 3 2
33
0 1 0
2 4 4 2 2 2
m m m m m m
.
0; 1 ; 1 3; 1 3 m m m m .
Do 0 m nên 1 m hoặc 13 m
2.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tìm tấ t cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
42
21 y x mx m có 3 điểm cực
trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại
tiếp bằng 1
A.
1
15
2
m
m
. B.
1
15
2
m
m
. C.
15
2
. D. 1 m .
Câu 2. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
42
3 1 2 1 y x m x m có ba điểm cực
trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với điểm 7;3 D nội tiếp được một đường tròn.
A. 3 m . B. 1 m . C. 1 m . D. Không tồn tại
m.
Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
42
2 1 2 3 y x m x m có ba điểm
cực trị A,B,C sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai đa giác sao cho: tỉ số giữa
diện tích của tam giác nhỏ được chia ra và diện tích tam giác ABC bằng
4
9
.
A.
1 15
2
. B.
13
2
. C.
53
2
. D.
1 15
2
.
Câu 4. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số
42
22 mx yx = có ba điểm cực trị A,B,C sao
cho tứ giác ABCD nội tiếp với
39
;
55
D
.
A. 4 B. 2 . C. 3 . D. 1
Câu 5. Tìm số thực m để đồ thị hàm số
42
2 mx m yx = có ba điểm cực trị tạo thành tam giác
nhậ n O làm trực tâm.
A. 1 m B. 2 m . C. 0 m . D. 2 m
Câu 6. Cho hàm số
4 2 4
22 mx m m yx = . Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m các điểm
cực trị tạo thành tam giác đều.
A. 22 m B.
3
3 m . C.
3
4 m . D. 1 m
Câu 7. Cho hàm số
42
21 y x mx m có đồ thị
m
C . Tìm tấ t cả các giá trị thực của m để
m
C
có 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một hình thoi.
A. 1 2; 1 2 mm . B. 2 2; 2 2 mm .
C. 4 2; 4 2 mm . D.
22
1 ; 1
22
mm .
Câu 8. Cho hàm số
42
21 y x m x m có đồ thị là C , m là tham số. C có ba điểm cực
trị ,, A B C sao cho OA BC , trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung
khi:
A. 0 m hoặc 2 m . B. 2 2 2 m . C. 3 3 3 m . D. 5 5 5 m .
Câu 9. Cho hàm số 2 2
2 4
mx x y . Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lậ p thành
một tam giác vuông cân.
A. 0 m . B. 1 m . C. 0 1 mm . D. Đáp số khác.
Câu 10. Cho đồ thị hàm số C
42
22 y x mx , m là tham số thỏa mãn đồ thị C có ba điểm
cực trị tạo thành một tam giác ngoại tiếp một đường tròn có bán kính 1 R . Khi đó tổng
các giá trị của m là
A. 1. B. 0 . C.
35
2
. D.
15
2
.
Câu 11. Gọi S là tậ p hợp tấ t cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
42
3
22
2
m
y x mx
có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này cùng với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh
của một tứ giác nội tiếp được. Tính tổng tấ t cả các phần tử của S .
A. 2 2 3 . B.
2 2 2
12 x y z . C. 1 . D. 0 .
Dạng 3. Tìm số điểm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn dựa vào bảng biến thiên hàm số
y f x , bảng xét dấu y f x .
3.1. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có bảng xét dấ u của hàm số
'
y f x như
sau:
Hỏi hàm số
2
2 f x x có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Lời giải
Ta có:
' ' 2
2 2 2 g x x f x x .
2
'
'2 2
2
1
1
12
2 2 0
21
01
20 21
3
23
1
BXD
x
x
x
x
xx
g x x
f x x xx
x
xx
x
(nghiÖm kÐp)
(nghiÖm kÐp)
.
Ta có bảng xét dấ u của
'
gx :
Do đó hàm số
2
2 f x x có ba điểm cực tiểu.
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có bảng xét dấ u của ' y f x như sau:
Hỏi hàm số
2
2 g x f x x có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4
Câu 2. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau
Hàm số 31 g x f x có giá trị cực tiểu bằng
A. 1 . B. 1. C. 7 . D. 4 .
Câu 3. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình v ẽ bên dưới
Hỏi hàm số
2
1 g x f x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.
Câu 4. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Gọi S là tổng các điểm cực trị của hàm số 3. g x f x Tính S
A. 2 S . B. 3 S . C. 4 S . D. 6. S
Câu 5. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
x
– ∞ -1 0 1 + ∞
g'
– 0 + 0 – 0 +
g
+ ∞
1
4
1
+ ∞
Hỏi đồ thị hàm số
2017 2018 g x f x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 6. Cho hàm bậ c bốn . y f x Hàm số y f x có bảng biến thiên như hình v ẽ. Số điểm cực
đại của hàm số
2
22 f x x là:
f(x)
∞ ∞
0
+
+
3 1
f'(x)
x
1
0 0 +
∞ + ∞ +
A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3
Câu 7. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình v ẽ:
0 +
0
f(x)
∞ ∞
0
+
+
3 2
f'(x)
x 1
0 0 +
∞ + ∞ +
Hàm số
2
g x f x có bao nhiêu điểm cực trị
A. 4. B. 3. C. 5. D. 2
Câu 8. Hàm số fx có đạo hàm fx trên . Bảng biến thiên của hàm số y f x như hình
vẽ. Hỏi hàm số
2018 y f x có bao nhiêu điểm cực trị?
x
' fx
fx
1 3
2018
2018
0 0
+ ∞ + ∞
+ 0 0
x
2
x
f'(x)
x
1 x
3
+
0
∞ ∞
f(x)
+
A. 5. B. 3. C. 2. D. 4.
Câu 9. Cho hàm số
y f x có đạo hàm liên tục trên và
00 f , đồng thời hàm số
y f x
có bảng biến thiên như hình v ẽ bên dưới.
f'(x)
f(x)
0 +
1
0
x
2
+
+
∞
∞
Số điểm cực trị của hàm số
2
g x f x là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4
Câu 10. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như hình v ẽ.
+ ∞ + ∞
+ 0 0
1 x
f'(x)
1 4 +
0
∞ ∞
f(x)
+
Số điểm cực trị của hàm số
21
5
f x f x
g x e là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4
Dạng 4: Tìm số điểm cực trị dựa vào đồ thị hàm số ( ); '( ) y f x y f x
4.1. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình v ẽ bên dưới.
Tìm số điểm cực đại của hàm số
2
3 g x f x x .
Lời giải
Ta có:
' ' 2
2 3 3 g x x f x x .
'2
'2
2
3
3
2
2
2 3 0
3 17
0 3 2
30 2
30
0
3
x
x
x
g x x x x
f x x
xx
x
x
.
Từ đó ta có bảng xét dấ u:
Vậ y hàm số có ba điểm cực đại.
4.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho hàm số () y f x có đồ thị hàm số như hình vẽ.
Xác định điểm cực tiểu của hàm số ( ) ( ) g x f x x
A. 2 . B. 1. C. 0 . D. Không có.
Câu 2. Cho hàm số () y f x có đạo hàm trên và có đồ thị hàm số '( ) y f x như hình v ẽ.
x
y
O
1 2
-1
Xét hàm số
2
( ) (2 ) g x f x . Mệnh đề nào dưới đây sai:
A. Hàm số () fx đạt cực đại tại 2 x B. Hàm số () gx đạt cực đại tại 3 x
C. Hàm số () gx không có cực trị. D. Hàm số () gx đạt cực tiểu tại 0 x .
Câu 3. Cho hàm số () y f x có đạo hàm trên ( ; ) . Đồ thị của hàm số () fx như hình
vẽ.
Hỏi đồ thị hàm số
2
( ) ( ) y g x f x có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu
A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.
Câu 4. Cho hàm số () y f x xác định trên . Đồ thị của hàm số '( ) y f x như hình vẽ bên.
x
y
-1
O 1
-2
-1
2 3
x
y
-1 O 1
-2
-1
2 -2
-4
-3
Đặt
32
1 3 3
( ) ( ) 2018
3 4 2
g x f x x x x . Tìm điểm cực tiểu của hàm số () gx trên đoạn
3;1
A. 1
CT
x . B.
1
2
CT
x . C. 2
CT
x . D. 1
CT
x .
Câu 5. Cho hàm số () fx có đạo hàm () fx có đồ thị như hình v ẽ.
-2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Hàm số
3
2
( ) ( ) 2
3
x
g x f x x x đạt cực đại tại điểm nào?
A. 1
CD
x . B. 1
CD
x . C. 0
CD
x . D. 2
CD
x .
Câu 6. Cho hàm số () y f x có đồ thị hàm số như hình vẽ.
x
O
-1 1
y
Xác định điểm cực đại của hàm số ( ) ( ) 3 g x f x x
A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3.
Câu 7. Cho hàm số ( ), y g y f x x có đạo hàm trên và có đồ thị hàm số '( ), y g' y f x x
như hình v ẽ.
Xét hàm số h x g x f x . Mệnh đề nào dưới đây sai:
A. Hàm số () hx có một cực tiểu B. Hàm số () hx có một cực đại
C. Hàm số () hx có hai cực trị D. Hàm số () hx không có cực trị .
Câu 8. Cho hàm số () y f x có đạo hàm trên ( ; ) . Đồ thị của hàm số () fx như hình
vẽ.
Hỏi đồ thị hàm số () y f x có bao nhiêu điểm cực trị:
A. 4 điểm cực trị. B. 6 điểm cực trị. C. 7 điểm cực trị. D. 5 điểm cực trị.
Câu 9. Cho hàm số () y f x xác định trên . Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên.
x O
y
y f x
x
O
-1 1
y
3
gx
fx
Số điểm cực trị của hàm số trên
y f x
A. 4 . B.3 . C. 6 . D.5 .
Câu 10. Cho hàm số , y f x y g x có đạo hàm ' , ' f x p x g x q x có đồ thị như hình
vẽ.
Hàm số y h x f x g x . Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đúng?
A. Có hai điểm cực đại trong đó có một giá trị 2
CD
x .
B. Có hai điểm cực tiểu trong đó có một giá trị 2
CT
x .
C. Có hai điểm cực đại thỏa mãn 0
CD
x .
D. Có hai điểm cực tiểu thỏa mãn 0
CT
x .
Dạng 5: Tìm m để hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có k (hoặc có tối đa k điểm cực
trị).
5.1. Ví dụ minh hoạ
x
y
o
p(x)
q(x)
2
2 -2
| |
x
y
O
y=f(x)
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình v ẽ bên dưới.
Tìm m để đồ thị hàm số
2 g x f x m có 5 điểm cực trị.
5.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Có tấ t cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 5;5 sao cho hàm số
32
6 (9 ) 2 2 y x x m x m có 5 điểm cực trị?
A. 8 . B. 12. C. 5 . D. 7
Câu 2. Cho hàm số () y f x có đạo hàm
22
'( ) ( 1) ( 2 ) f x x x x với mọi x . Có bao nhiêu
giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
2
( 8 ) y f x x m có 5 điểm cực trị?
A. 15. B. 17 . C. 18 . D. 16
Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
42
27
2018
m
y x x có 7 điểm
cực
trị?
A. 2018 . B. 1009. C. 2017 . D. 1008
Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 2018 để hàm số
42
4 y x x m có
3 điểm cực trị?
A. 2015 . B. 2014 . C. 2017 . D. 2016
.
Câu 5. Cho hàm số () y f x có đồ thị như hình v ẽ bên.
Có bao nhiêu số nguyên 10 m để hàm số y f x m có 5 điểm cực trị.
A.12. B. 11. C. 14. D. 13 .
x
y
O
-3
1
4 -2 |
Dạng 6: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm
0
x .
6.1. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số
8 5 2 4
2 4 1 y x m x m x đạt cực tiểu tại 0 x .
Lời giải
Ta có
' 7 4 2 3
8 5 2 4 4 y x m x m x .
Hàm số đa thức đạt cực tiểu tại 0 x khi và chỉ khi
'
'
0
'
0
00
lim 0
lim 0
x
x
y
yx
yx
,
Tương đương: hàm đạo hàm có lũy thừa nhỏ nhấ t của x là lẻ và hệ số của nó là dương, tức
là:
2
2
4 4 0
5 2 0
3
80
22
4 4 0
m
m
m
m
m
.
Vậ y
3
22
m
m
.
6.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho hàm số:
3 2 2
1
11
3
y x mx m m x . Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực
đại tại điểm 1 x .
A. 2 m . B. 1 m . C. 1;2 m . D. m .
Câu 2. Tìm tấ t cả các giá trị của m để hàm số
4 2 2
3 y x mx m m đạt cực tiểu tại 0 x
A. 0 m . B. 0 m . C. 0 m . D. 0 m .
Câu 3. [Mã đề 105 – THQG 2018] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
8 5 2 4
4 16 1 y x m x m x đạt cực tiểu tại 0 x ?
A. 8 . B. 9 . C. Vô số. D. 7 .
Câu 4. Cho hàm số:
32
(1 2 ) (2 ) 2 y x m x m x m . Tìm tấ t cả các giá trị nào của m để hàm
số có 2 điểm cực trị thuộc khoảng ( 2;0) .
A.
10
1
7
m . B.
5
4
m C. 1 m D.
5
1
2
m
Câu 5. Tìm tấ t cả giá trị của m để hàm số sin 2 cos y x m x có điểm cực tiểu là
6
x
A. 2 m B. 1 m C. mR D. m .
Câu 6. [HSG Ninh Bình 2018] Cho hàm số
3 2 2
3 3 1 y x mx m x m . Gọi A là tậ p hợp tấ t
cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại 2 x . Khi đó tậ p A là tậ p con
của tậ p hợp
A. ;1 . B. 3; . C. ;1 . D. 2; .
Câu 7. Hàm số ) , ( 2018 4 2
2 3
R b a bx ax x y đạt cực trị tại 1 x . Khi đó hiệu ab là
A. -1. B.
3
4
. C.
4
3
. D.
4
3
.
Câu 8. [Chuyên ĐH Vinh] Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số
2
1 y ax x có cực
tiểu.
A. 12 a . B. 11 a . C. 01 a . D. 20 a .
Câu 9. [THPTChuyên Quang Trung lần 1]Cho hàm số
3
2
34
3
x
y ax ax Để hàm số đạt cực
trị tạ
12
, xx thỏa mãn
22
1 2 2 1
22
2 9 2 9
2
x ax a x ax a
aa
thì a thuộc khoảng nào?
A..
5
3;
2
a
. B..
7
5;
2
a
. C.. 2; 1 a . D.
7
;3
2
a
.
Câu 10. Biết 2;5 , 0;13 MN là các điểm cực trị của đồ thị hàm số +
1
c
y ax b
x
Tính giá trị
của hàm số tại 2 x .
A.
13
3
. B.
16
9
. C.
16
3
. D.
47
3
.
CHUYÊN ĐỀ MAX-MIN HÀM SỐ
Câu 1: Giá trị lớn nhấ t của hàm số
42
2sin cos 3 y x x bằng
A. min 5 y . B. min 3 y . C. min 4 y . D.
31
min
8
y
Câu 2: Gọi M là giá trị lớn nhấ t và m là giá trị nhỏ nhấ t của hàm số
20 20
sin cos y x x . Khi đó
M.m bằng:
A.
1
512
. B. 1.
C. 0. D.
513
512
.
Câu 3: Hàm số
22
2 3 2 3 y x x x x có giá trị lớn nhấ t là:
A. có giá trị lớn nhấ t là 0 . B. có giá trị lớn nhấ t là 8 .
C. có giá trị lớn nhấ t là 2 . D. không có giá trị lớn nhấ t.
Câu 4: Hàm số 1 2 3 4 y x x x x có giá trị lớn nhấ t, giá trị nhỏ nhấ t trên đoạn 1;3
là:
A.
9
10;
4
. B. 120; 1. C. 10; 1 . D. 120; 1 .
Câu 5: Hàm số 1 3 1 . 3 y x x x x có giá trị lớn nhấ t, giá trị nhỏ nhấ t là:
A. 2 2 2; 2 . B. 2 2 2; 2 . C. 2 2; 2 . D. 2; 0 .
Câu 6: Hàm số
2
2 2 2 4 y x x x đạt giá trị lớn nhấ t, giá trị nhỏ nhấ t tại điểm có
hoành độ là:
A. 2 2 4;2 . B. 2 2 2;2 . C. 2 2;2 . D. 4;2 .
Câu 7: Cho ABC đều cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhậ t MNPQ có cạnh MN nằm trên BC,
hai đỉnh P, Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm
M sao cho hình chữ nhậ t có diện tích lớn nhấ t?
A.
2
3
a
BM . B.
3
4
a
BM . C.
3
a
BM . D.
4
a
BM .
Câu 8: Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hình trụ có thể tích lớn nhấ t bằng
A.
3
4
3
R
. B.
3
4
33
R
. C.
3
33
R
. D.
3
4
3
R
.
Câu 9: Cho hàm số y f x có đạo hàm là fx . Đồ thị hàm số y f x được cho như hình
vẽ bên. Biết 0 3 2 5 f f f f . Giá trị nhỏ nhấ t và giá trị lớn nhấ t của y f x
trên đoạn 0;5
lần lượt là:
A. 2 , 5 ff . B. 0 , 5 ff . C. 0 , 2 ff . D. 1 , 5 ff .
Câu 10: [Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - KSCL - Lần 1 (2017 - 2018)] Cho đồ thị y f x
có đồ thị
/
y f x như hình v ẽ. Xét hàm số
32
1 3 3
2018
3 4 2
g x f x x x x
Mệnh đề nào dưới đây đúng?.
A.
3;1
min 1 g x g
. B.
3;1
min 1 g x g
.
C.
3;1
min 3 g x g
. D.
3;1
31
min
2
gg
gx
.
Câu 11: Cho hai hàm số
y f x
,
y g x
liên tục và có đạo hàm trên đoạn
1;1
thỏa mãn
0 fx
,
0 gx
,
1;1 x
và
0 f x g x
,
1;1 x
. Gọi m là giá trị nhỏ
nhấ t của hàm số
2
2 h x f x g x g x
trên đoạn
1;1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 1 mh . B. 0 mh . C.
11
2
hh
m
. D. 1 mh .
Câu 12: Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm y f x như hình v ẽ
O 2 5 x
y
Đặt
3
33 g x f x x x m , với m là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bấ t
phương trình 0 gx đúng với 3; 3 x
là
A.
33 mf . B. 30 mf . C. 31 mf . D.
33 mf
Câu 13: Cho , xy là hai số không âm thỏa mãn 2 xy . Giá trị nhỏ nhấ t của biểu thức
3 2 2
1
1
3
P x x y x là
A.
7
min
3
P . B. min 5 P . C.
17
min
3
P . D.
115
min
3
P .
Câu 14: [THCS, THPT Nguyen Khuyen - KT Dinh ky - Lan 2 (2017 - 2018)] [016] Cho 0; x
0 y và 3 4. xy Giá trị lớn nhấ t, nhỏ nhấ t của
3
11
xy
P
xy
lần lượt là:
A. 2; không có giá trị nhỏ nhấ t. B.
4
2; .
5
.
C.
4
; 2.
5
. D. không có giá trị lớn nhấ t;
4
.
5
Câu 15: [THCS, THPT Nguyen Khuyen - KT Dinh ky - Lan 2 (2017 - 2018)] [013] Cho
22
1 xy . Tìm giá trị lớn nhấ t của
2
2
6
1 2 2
x xy
P
xy y
.
A.
3
2
. B.
3
2
. C.
6
2
. D.
3
22
.
Câu 16: [THCS, THPT Nguyen Khuyen - KT Dinh ky - Lan 2 (2017 - 2018)] [027] Cho
22
22
,
x xy y
P
x xy y
với
22
0. xy Giá trị nhỏ nhấ t của P là
A. 3 . B. 1. C. 4 . D.
1
3
.
Câu 17: Cho các số thực dương , xy . Tìm giá trị lớn nhấ t của biểu thức
2
3
22
4
4
xy
P
x x y
.
A. MaxP=1. B.
1
MaxP =
10
. C.
1
MaxP =
8
. D.
1
MaxP =
2
.
Câu 18: Cho các số thực , xy thỏa mãn
22
2 3 4 x xy y . Giá trị lớn nhấ t của biểu thức
2
() P x y
là:
A. 8 Max P . B. 12 Max P . C. 16 Max P . D. 4 Max P .
Câu 19: Cho các số thực , xy thoả mãn
22
( 4) ( 4) 2 32 x y xy . Giá trị nhỏ nhấ t m của biểu
thức
33
3( 1)( 2) A x y xy x y là:
A. 16 m . B. 0 m . C.
17 5 5
4
m
. D. 398 m .
Câu 20: Xét hai số , xy thỏa mãn
4
2 2 4 2
4 1 2 8 17 x y x x y y . Gọi m và M lần
lượt là giá trị nhỏ nhấ t và giá trị lớn nhấ t của
22
P x y . Tính
1 Mm
A.
18 Mm . B.
1 12 Mm . C.
1 16 Mm . D.
14 Mm .
Câu 21: Xét các số thực , x y z thỏa mãn
2 2 2
4
8
x y z
x y z
. Tìm giá trị lớn nhấ t của biểu thức:
3 3 3
P x y z .
A.
176
9
. B. 16. C. 17 . D.
167
9
.
Câu 22: Cho , xy là hai số thực thoả mãn điều kiện
22
4 4 3 x y xy y x . Tìm giá trị lớn nhấ t
của biểu thức
3 3 2 2
3 20 2 5 39 P x y x xy y x .
A. 100. B. 66 . C. 110. D. 90 .
Câu 23: Tìm giá trị nhỏ nhấ t của hàm số 2 s sin 1
2
x
y co x .
A. 1 2 3 . B.
2 5 3
2
. C. 1 . D.
2 3 3
2
.
Câu 24: [Chuyên Lê Quý Đôn - BRVT - KT Chuyên đề - Lần 1 (2017 - 2018)] Tìm giá trị lớn
nhấ t và giá trị nhỏ nhấ t của hàm số
3
( ) 2sin cos2 y f x x x trên tậ p
5
;
66
D
A.
19
max ( ) 1,min ( )
27 x D x D
f x f x
. B.
3
max ( ) ,min ( ) 3
4 x D x D
f x f x
.
C.
3 19
max ( ) ,min ( )
4 27 x D x D
f x f x
. D. max ( ) 1,min ( ) 3
x D x D
f x f x
.
Câu 25: [Luyện thi THPT.QG - Nguyễn Thanh Tùng - Lần 1 (2017 - 2018)] Cho hàm số
3 sin 2 2 sin cos y x x x có giá trị lớn nhấ t và giá trị nhỏ nhấ t lần lượt là , Mm . Khi
đó giá trị , Mm bằng bao nhiêu?
A. 4 2 2 M ; 1 m . B. 4 2 2 M ; 4 2 2 m .
C. 4 2 2 M ; 1 m . D. 4 2 2 M ; 2 2 4 m .
Câu 26: Cho , 0;
2
xy
thỏa cos2 cos2 2sin( ) 2 x y x y . Tìm giá trị nhỏ nhấ t của
44
sin cos xy
P
yx
.
A.
3
min P
. B.
2
min P
. C.
2
min
3
P
. D.
5
min P
.
Câu 27: Hàm số
42
8 8 1 f x x x đạt giá trị lớn nhấ t trên đoạn
1;1 tại bao nhiêu giá trị của
x ?
A. 3. B. 2 . C. 5 . D. 4 .
Câu 28: Tìm câu sai trong các mệnh đề sau về GTLN và GTNN của hàm số
3
3 1 , 0;3 . y x x x
A. Hàm số có GTLN và GTNN. B. 1 Miny .
C.
0;3
Max 19 . D. Hàm số đạt GTLN tại 3 x .
Câu 29: [THPT Bùi Thị Xuân - TP.HCM - Thi HKI (2016 - 2017)] Tìm giá trị nhỏ nhấ t của hàm
số
32
9 24 68 y x x x trên đoạn
1;4 .
A. 48 . B. 52 . C. 102 . D. 0 .
Câu 30: Cho các số thực , xy
thỏa mãn
1 2 2 3 x y x y . Giá trị lớn nhấ t của xy là
A. 7 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
Câu 31: [Chuyên Lê Quý Đôn - BRVT - KT Chuyên đề - Lần 1 (2017 - 2018)] Xét ba số dương
,, abc thay đổi thỏa mãn
1 1 1
13 abc
abc
. Tìm giá trị nhỏ nhấ t của biểu thức
2 2 2
2 2 2
1 1 1
P a b c
abc
.
A. min 31 P . B. min 32 P . C. min 33 P . D. min 34 P .
Câu 32: [Chuyên Lê Quý Đôn - BRVT - KT Chuyên đề - Lần 1 (2017 - 2018)] Gọi S là tậ p hợp
các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhấ t của hàm số
22
21 f x x m x m m
trên đoạn 1;3 là 3 Tính tổng tấ t cả phần tử của S
A.
20
3
. B.
2
3
. C.
29
3
. D.
7
3
.
Câu 33: [Chuyên Lê Quý Đôn - BRVT - KT Chuyên đề - Lần 1 (2017 - 2018)] Cho biết giá trị
nhỏ nhấ t của hàm số
22
4 4 2 f x x mx m x là
2
min
2
fx . Trong các mệnh
đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
13
;
10 10
m
. B.
35
;
10 10
m
. C.
57
;
10 10
m
. D.
79
;
10 10
m
.
Câu 34: [THPT Chu Văn An - Hà Nội - Thi HKI (2016 - 2017)] Tìm tấ t cả các giá trị thực của
tham số a
để bấ t phương trình
2
6 a x x a nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x .
A. 1. a . B. 1. a . C.
30
.
5
a . D.
30
.
5
a
Câu 35: Thầy Hồng dự định xây một bồn hoa có bề mặt là hình tròn có đư ờng kính 10 AB m , để
cho ấ n tượng thầy Hồng thiết kế có hai hình tròn nhỏ trong hình tròn lớn bằng cách lấ y điểm
M giữa A và B rồi dựng các đường tròn đường kính MA và MB . Trong hai đường tròn
nhỏ thầy định trồng loại hoa hồng đỏ, còn phần còn lại thầy trồng hoa hồng trắng. Biết giá
hoa hồng đỏ là 5.000 đồng, hoa hồng trắng là 4.000 đồng và ít nhấ t
2
0.5 m mới trồng được
một bông hoa. Hỏi chi phí thấ p nhấ t để trồng hoa của thầy là bao nhiêu?
A. 752000 đồng. B. 706858 đồng. C. 702000 đồng. D. 622000 đồng.
Câu 36: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C . Biết rằng khoảng cách từ
hòn đảo C đến bờ biển là 10 km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm ngắn nhấ t tính từ
đảo C vào bờ là 40 km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy
(như hình v ẽ dưới đây). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD/km, đường bộ là 3 USD/km.
Hỏi người đó phải đi đường bộ khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhấ t? (
40km, 10km AB BC ).
A. 10km. B.
15
km
2
. C.
65
km
2
. D. 40km .
Câu 37: Cho hai vị trí , AB cách nhau 615 , m cùng nằm về một phía bờ sông như hình v ẽ. Khoảng
cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487 . m Một người đi từ A đến bờ sông
để lấ y nước mang về . B Đoạn đường ngắn nhấ t mà người đó có thể đi là:
A. 569,5 . m .
B. 671,4 . m .
C. 779,8 . m .
D. 741,2m
Câu 38: Một màn ảnh chữ nhậ t cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính từ đầu mép
dưới của màn hình). Đ ể nhìn rõ nhấ t phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhấ t.
Hãy xác định vị trí đó? (góc BOC gọi là góc nhìn).
A. 2,6 . AO m . B. 2,4 . AO m . C. 1,4 . AO m . D. 2. AO m
Câu 39: Từ một tấ m tôn có kích thước 90cm x 3m, người ta làm một máng xối nước trong đó mặt
cắt là hình thang ABCD có hình dư ới. Tính thể tích lớn nhấ t của máng xối.
A.
3
40500 6 cm . B.
3
40500 5 cm . C.
3
202500 3 cm . D.
3
40500 2 cm .
Câu 40: Tính chiều dài nhỏ nhấ t của cái thang để nó có thể dựa vào tường và mặt đấ t, bắc qua môt
cột đỡ cao 4. m Biết cột đỡ song song và cách tường 0,5 , m mặt phẳ ng chứa tường vuông
góc với mặt đấ t- như hình v ẽ, bỏ qua độ dày của cột đỡ.
30 cm
30 cm 30 cm
B C
A
D
487m
118m
615m
sông
A
B
A.
53
.
2
. B.
55
.
2
. C.
33
.
2
. D.
35
.
2
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhấ t của hàm số
11
1
m x m
y
x
trên đoạn 3; 2 bằng
1
2
.
A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 6 .
Câu 42: ( Bài tậ p tương tự) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhấ t của hàm số
2
2 y x x m trên đoạn 1;2 bằng 5 .
A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 6 .
Câu 43: Cho hai số thực , xy thỏa mãn:
3
9 2 3 5 3 5 0 x y xy x xy
Tìm giá trị nhỏ nhấ t của
3 3 2
6 3 3 1 2 xy x x y P x y
A.
296 15 18
9
. B.
36 296 15
9
. C.
36 296 15
9
. D.
4 6 18
9
.
Câu 44: Cho các số thực x , y thoả mãn
22
4 4 2 32 x y xy .
Giá trị nhỏ nhấ t m của biểu thức
33
3( 1)( 2) A x y xy x y là :
A.
17 5 5
.
4
m
.
B. 16 m . C. 398 m . D. 0 m
Câu 45: Phương trình
3
2 3 3 2 2 1
2 6 9 2 2 1
x m x x x
x x x m
có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi ; m a b . Đặt
22
T b a thì:
A. 36 T . B. 48 T . C. 64 T . D. 72 T .
Câu 46: Cho các số thực dương x, y thoả mãn
22
()
log ( ) 1
xy
xy
. Giá trị lớn nhấ t của biểu thức
là:
3
2
48 156( ) 133( ) 4 A x y x y x y .
A. 29 . B.
1369
26
. C. 30 . D.
505
36
.
Câu 47: Cho hàm số
42
2 y x x C và hai điểm 0;2 , 1;2 AB . M là điểm tùy ý thuộc đồ thị
C . Diện tích tam giác ABM nhỏ nhấ t bằng:
A.
1
2
. B. 1. C.
3
2
. D. 2 .
Câu 48: Tìm giá trị lớn nhấ t và giá trị nhỏ nhấ t của hàm số
32
2
2
1
x x x
y
x
.
A.
31
ax ;min
44
my . B.
11
ax ;min
22
my .
C.
31
ax ;min
42
my . D.
31
ax ;min
44
m y y .
Câu 49: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 4 4 4 . 4 5 y x x x x .
A.
4;4 4;4
ax 4;min 2 2 my
. B.
4;4 4;4
ax 5 2 2;min 7 my
.
C.
4;4 4;4
ax 4;min 2 2 my
. D.
4;4 4;4
ax 4;min 7 my
.
Câu 50: Một cái ao hình ABCDE (như hình v ẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính
10m. Người ta muốn bắc một câu cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối
thiếu l của cây cầu biết :
- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳ ng vuông góc với nhau, hai đường thẳ ng này
cắt nhau tại điểm O ;
- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là đường
thẳ ng OA;
- Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40 m và 20 m;
- Tâm I của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳ ng AE và BC lần lượt 40 m và 30 m.
A. 17,7 l m. B. 25,7 l m. C. 27,7 l m. D. 15,7 l m.
Câu 51: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu như hình v ẽ. Hộp có đáy là
một hình vuông cạnh x cm, chiều cao h cm và có thể tích 500 cm
3
. Giá trị của x để diện tích
của mảnh các tông nhỏ nhấ t bằng
A. 100. B. 300.
C. 10. D. 1000.
Câu 52: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 0, 1 ; 3 x y x y . Giá trị lớn nhấ t và giá trị nhỏ nhấ t của
biểu thức
3 2 2
2 3 4 5 P x y x xy x lần lượt bằng:
A. 20 và 18. B. 20 và 15. C. 18 và 15 . D. 15 và 13 .
Câu 53: (LẠNG GIANG SỐ 1)Cho x , y là các số dương thỏa mãn 41 xy y .Giá trị nhỏ nhấ t của
62
2
ln
xy
xy
P
xy
là ln ab . Giá trị của tích ab là
A. 45 . B. 81. C. 108. D. 115.
Câu 54: Cho hai số thực 0, 0 xy thay đổi và thỏa mãn điều kiện
22
() x y xy x y xy . Giá
trị lớn nhấ t M của biểu thức
33
11
A
xy
là:
x
x
h
h
h
h
A. 0. M
.
B. 1. M . C. 14. M . D. 16. M
Câu 55: Cho các số thực x, y thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
là:
A. . B. . C. . D.
Câu 56: Một công ty bấ t động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá
2000.000đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê
mỗi căn hộ 100.000đồng mỗi tháng thì có thêm 2 căn h ộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhậ p
cao nhấ t, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu?
A. 2.250.000 . B. 2.350.000 . C. 2.450.000 . D. 2.550.000
Câu 57: Tìm tấ t cả các giá trị thực khác 0 của tham số m để hàm số
2
1
mx
y
x
đạt giá trị lớn nhấ t
tại 1 x trên đoạn 2;2 ?
A. 2 m . B. 0 m . C. 0 m . D. 2 m .
Câu 58: Cho 0 x và y tùy ý. Tìm gía trị lớn nhấ t của:
2
2 2 2 2
3 12
xy
M
x y x x y
A. 0 M
.
B.
1
2
M . C.
1
.
6
M . D.
1
8
M
Câu 59: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn 1 xy . Tìm giá trị nhỏ nhấ t của
biểu thức:
32
4 3 4 3 25 S x y y x xy
A.
25
2
M
.
B. 15 M . C.
261
16
M . D.
191
.
16
M
Câu 60: Cho hai số thực 1, 1 xy và thỏa mãn
3
22
( ) 7 7 20
6( ) 6( ) 18 4
2 2 2
x y x y
xy
xy y x x y xy
.
Gọi M là giá trị lớn nhấ t của biểu thức xy . Giá trị của M là
A. 2 M
.
B. 10 M . C. 8 M . D. 6 M
Câu 61: [2D1-3.1-3] (THPT Chuyên-Thái Nguyên-Lần 2-2018) Cho , , , , a b c d e là các số thực.
Hàm số xác định, liên tục trên và có đồ thị y f x
như hình v ẽ.
2 3 3 x y x y
22
4 15 P x y xy
min 83 P min 63 P min 80 P min 91 P
Biết f a f c f b f d . Giá trị lớn nhấ t và giá trị nhỏ nhấ t của hàm số y f x
trên ; ae
lần lượt là:
A. fe và fb . B. fc và fa .
C. fd và fb . D. fa và fb .
Câu 62: [2D1-3.1-3] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 - 2018) Gọi S là tậ p tấ t các
các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhấ t của hàm số
42
1 19
30 20
42
y x x x m trên đoạn 0;2 không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của
S bằng
A. 210 . B. 105. C. 195 . D. 300.
Câu 63: Tìm giá trị của tham số m để hàm số
1 mx
y
xm
đạt giá trị lớn nhấ t bằng
1
3
trên 0;2 .
A. 1 m . B. 3 m . C. 3 m . D. 1 m .
Câu 64: (Tương tự câu 1) Cho hàm số
32
1
3
3
y x x x m ( Với m là tham số thực). Biết m
thỏa mãn giá trị lớn nhấ t của hàm số trên 0;3 bằng 7 . Khẳ ng định nào sau đây đúng?
A. 5 m . B. 5 m . C. 2 m . D. 44 m .
Câu 65: Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m sao cho bấ t phương trình
22
3 6 18 3 1 x x x x m m nghiệm đúng với 3;6 x .
A. 1 m . B. 10 m . C. 02 m . D.
1
2
m
m
.
Câu 66: (Tương tự câu 3) Tìm giá trị của tham số m để bấ t phương trình 1 x x m có nghiệm.
A. 1 m . B.
3
4
m . C.
3
4
m . D. 1 m .
e d c b a O x
y
Câu 67: (Tương tự câu 5) Cho hàm số . y f x Đồ thị của hàm số ' y f x như hình v ẽ bên.
Đặt
2;6
max , M f x
2;6
min m f x
; Đặt . T M m Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 5 2 . T f f B. 0 2 . T f f C. 0 2 . T f f D. 5 6 . T f f
Câu 68: Cho x ; y là hai số dương thỏa mãn:
5
4
xy . Tính giá trị nhỏ nhấ t của biểu thức:
41
4
S
xy
.
A.
9801
400
B.
1
4
C. 5 D. 1
Câu 69: (Tương tự câu 7) Cho x ; y là hai số không âm thỏa mãn điều kiện 2 xy . Giá trị nhỏ
nhấ t của biểu thức
3 2 2
1
1
3
P x x y x bằng.
A.
7
3
B. 5 C.
17
3
D.
115
3
Câu 70: Xét phương trình
32
10 ax x bx với , ab là các số thực, 0 a , ab sao cho 3 nghiệm
đều là số thực dương. Tìm giá tr ị nhỏ nhấ t của biểu thức
2
2
5 3 2 a ab
P
a b a
.
A. 15 3 . B. 82 . C. 11 6 . D. 12 3 .
Câu 71: (Tương tự câu 9) Giả sử phương trình
2
32
1
10
2
ab
x a b x x
có ba nghiệm.
Gọi M, m là GTLN và GTNN của
22
1
2
ab
P ab
. Khi đó Mm bằng
A. 1 . B.
1
2
. C. 1. D. 2 .
Câu 72: Trên đoạn
2;2 , hàm số
2
1
y
mx
x
đạt giá trị lớn nhấ t tại 1 x khi và chỉ khi:
A. 2. m B. 0. m C. 2. m D. 0. m
Câu 73: [2D1-3.11-3] (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Biết rằng giá trị nhỏ nhấ t của
hàm số
36
1
y mx
x
trên 0;3 bằng 20 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 02 m . B. 48 m . C. 24 m . D. 8 m .
Câu 74: [2H1-3] [Chuyên KHTN, Hà Nội, lần 2, năm 2018 - Câu 4]
Cho một tấ m tôn hình chữ nhậ t kích thước 10 x 6 mm. Người ta cắt bỏ bốn góc của tấ m tôn bốn miếng
hình vuông bằng nhau rồi gò lại thành một hình hộp chữ nhậ t không nắp. Để thể tích của
khối hộp đó lớn nhấ t thì đ ộ dài của cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ bằng.
A. Đáp án khác. B. 4m. C. 5m . D. 6m .
Câu 75: [2H1-4]Cho một tấ m nhôm hình vuông cạnh 1 m như hình v ẽ dưới đây. Người ta cắt phần
tô đậ m của tấ m nhôm rồi gậ p thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (m), sao
cho bốn đỉnh của hình vuông gậ p lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của x để khối chóp
nhậ n được có thể tích lớn nhấ t là
A.
22
5
x . B.
1
2
x . C.
2
4
x . D.
2
3
.
Câu 76: [2D1-3.14-3] (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Một cái hồ rộng có hình chữ nhậ t.
Tại một góc nhỏ của hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí K cách bờ AB là 1 m và cách
bờ AC là 8 m , rồi dùng một cây sào ngăn một góc nhỏ của hồ để thả bèo (như hình v ẽ).
Tính chiều dài ngắn nhấ t của cây sào để cây sào có thể chạm vào 2 bờ AB , AC và cây cọc
K (bỏ qua đường kính của sào).
A.
5 65
4
. B. 55 . C. 92 . D.
5 71
4
.
Câu 77: [2D1-3.2-3] Cho , xy là hai số thực thoả mãn điều kiện
22
4 4 3 x y xy y x . Tìm giá
trị lớn nhấ t của biểu thức
3 3 2 2
3 20 2 5 39 P x y x xy y x .
A. 100. B. 66 . C. 110. D. 90 .
Câu 78: [2D1-3.12-3] (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho các số thực x ,
y thỏa mãn
22
2 3 4 x xy y . Giá trị lớn nhấ t của biểu thức
2
P x y là:
A. max 8 P . B. max 16 P . C. max 12 P . D. max 4 P .
Câu 79: [2D1-3.1-4] (SGD Bắc Giang - 2018) Tậ p hợp nào sau đây chứa tấ t cả các giá trị của tham
số m sao cho giá trị lớn nhấ t của hàm số
2
2 y x x m trên đoạn 1;2 bằng 5
A. 5; 2 0;3 . B. 0; . C. 6; 3 0;2 . D. 4;3 .
Câu 80: [2D1-3.1-4] (Sở GD&ĐT Quảng Nam - KSCL lớp 12 - Năm 2018) Có bao nhiêu giá trị
thực của tham số m để giá trị lớn nhấ t của hàm số
2
24 y x x m trên đoạn
2;1
bằng 4 .
A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
Q
P
C
B
K
A
Chủ đề: TIỆM CẬ N (VD - VDC)
Dạng 1: Bài toán xác định số tiệm cận của đồ thị hàm số cụ thể không chứa tham số.
Câu 1: [2D1-3] Cho hàm số
2
1 x
y
x
. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Đồ thị hàm số chỉ có hai tiệm cậ n trong đó có tiệm cậ n ngang là 1 y và tiệm cậ n đứng
là 0 x .
B. Đồ thị có hai tiệm cậ n ngang.
C. Đồ thị chỉ có một tiệm cậ n đứng 0 x .
D. Đồ thị hàm số chỉ có hai tiệm cậ n trong đó có tiệm cậ n ngang là 1 y và tiệm cậ n đứng
là 0 x .
Câu 2: [2D1-3] Đồ thị hàm số
2
4 10 y x x x có bao nhiêu đường tiệm cậ n?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 3: [2D1-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Số các đường tiệm cậ n đứng và ngang của đồ thị
hàm số
2
32
1
x
y
x
là:
A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 .
Câu 4: [2D1-3] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của
đồ thị
22
2
4 1 3 2
xx
y
xx
là:
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Câu 5: [2D1-3] [THPT Lê Hồng Phong] Tổng số các đường tiệm cậ n đứng và tiệm cậ n ngang của
đồ thị hàm số
2
2
2017 5
56
x
y
xx
bằng?
A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 .
Câu 6: [2D1-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
của đồ thị
22
2
4 1 3 2
xx
y
xx
là.
A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
Câu 7: [2D1-3] [THPT chuyên Lương Thế Vinh] Số tiệm cậ n của đồ thị hàm số
22
1
2
fx
x x x x
.
A. hai. B. bốn. C. một. D. ba.
Câu 8: [2D1-3] [TTGDTX Cam Ranh - Khánh Hòa] Đồ thị của hàm số nào sau đây có đúng 1
tiệm cậ n?
A.
42
1 y x x . B. 12 y x x .
C.
1
2
2
x
x
y . D.
2
1 2
x
x
y .
Câu 9: [2D1-3] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai tiệm
cậ n ngang?
A.
2
1
x
y
x
.
B.
2
4
1
x
y
x
. C.
2
2
xx
y
x
. D.
2
2
x
y
x
.
Câu 10: [2D1-3] [THPT Yên Lạc-VP] Tìm tấ t cả các đường tiệm cậ n đứng của đồ thị hàm số
22
2
5 3 2 3
43
x x x
y
xx
.
A. 1 x và 3 x . B. 3 x . C. Không có. D. 1 x .
Dạng 2: Bài toán xác định tiệm cận của đồ thị hàm số có bảng bảng biến thiên cho
trước. (5 câu)
Câu 11: [2D1-2] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình v ẽ. Khẳ ng định nào sau đây sai?
A. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cậ n.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cậ n ngang là 1 y .
C.
1
lim
x
y
.
D. Đồ thị hàm số 1 y f x có đường tiệm cậ n ngang là 0 y .
Câu 12: [2D1-2] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình v ẽ. Khẳ ng định nào sau đây sai?
A. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cậ n.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cậ n đứng là 1 x .
C. Phương trình
1 fx có 3 nghiệm phân biệt.
D. lim 1 0
x
y
.
Câu 13: [2D1-3] Cho hàm số () y f x có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như hình v ẽ. Tìm
tổng số tiệm cậ n đứng và ngang của đồ thị hàm số
( ) 1 fx
y
x
.
A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 14: [2D1-3] Cho hàm số () y f x liên tục trên [ 2; ), có đạo hàm trên 2; và có
bảng biến thiên như sau:
x 0 1 0
y 0
y
2
0
2 3
Tìm tổng số tiệm cậ n đứng và ngang của hàm số
2
( ) ( ) 2
( 1)
f x f x
y
xx
A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 15: [2D1-3] Cho hàm số () y f x có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như hình v ẽ. Tìm
tổng số tiệm cậ n đứng và ngang của hàm số
1
y xf
x
A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
x 0 1
y 0 0
y
5
0
3
1
x 0 1
y 0 0
y
5
1
3
1
Dạng 3: Cho bảng biến thiên của hàm số fx . Xác định tiệm cận của đồ thị hàm hợp
của fx .
Loại 1: Hàm hợp
y g f x .
Câu 16: [2D1-3] Cho hàm số y f x liên tục trên \1 và có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số
1
25
y
fx
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 0 . B. 4 . C. 2 . D. 1.
Câu 17: [2D1-4] Cho hàm số y f x có BBT như sau
Số đường tiệm cậ n đứng của đồ thị hàm số
2
2
2
5
xx
y
f x f x
là
A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 .
Câu 18: [2D1-4] Cho hàm số bậ c ba
32
f x ax bx cx d có bảng biến thiên như hình v ẽ bên.
Hỏi đồ thị hàm số
2
42
3 2 2 1
5 4 .
x x x
gx
x x f x
có bao nhiêu đường tiệm cậ n đứng?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 6.
Câu 19: [2D1-4] Cho hàm bậ c bốn
y f x có bảng biến thiên như sau.
Hỏi đồ thị hàm số
22
2 5 4 3 2
( ) 2 ( ) 2 10 5 8 4
f x x x
y
f x f x x x x x x
có bao nhiêu tiệm
cậ n đứng và ngang?
A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 .
Câu 20: [2D1-3] Hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên \ 2;2 , có bảng biến thiên như
sau:
Gọi , kl lần lượt là số đường tiệm cậ n đứng và tiệm cậ n ngang của đồ thị hàm số
1
2018
y
fx
. Tính . kl
A. 2. kl B. 3. kl C. 4. kl D. 5. kl
0
x
-2
' y
y
2
0
0
1
Câu 21: [2D1-3] Hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên \ 1;1 , có bảng biến thiên như
sau:
Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn 10;10 để đồ thị hàm số
2018
y
f x m
có
đúng 2 tiệm cậ n đứng?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 8.
Câu 22: [2D1-3] Cho hàm số y f x xác định liên tục trên \2 và có bảng biến thiên như
hình dưới đây :
Có bao nhiêu giá trị m nguyên, khác 0 , để đồ thị hàm số
(x)
(x)
(x)
fm
g
fm
chỉ có tiệm cận
ngang mà không có tiệm cận đứng.
A. 2. B. 3. C. 4. D. 8.
Câu 23: [2D1-3] Cho hàm số y f x xác định liên tục trên \2 và có bảng biến thiên như
hình dưới đây :
x
' y
y
5
-1 1
0
0
3
-7
x
' y
y
3 2 1
0
0
2
2
0
x
-1
' y
y
1
0
0
-2
Tính tổng tất cả các giá trị m nguyên thuộc 10;10 để đồ thị hàm số
1
(x)
(x)
g
fm
có
tất cả 5 tiệm cận
A. 45. B. 27. C. 34. D. 40.
Loại 2: Hàm hợp
y g f u x
Câu 24: [2D1-3]. Cho hàm số () y f x có bảng biến thiên như sau:
3
0
+∞
-∞
y
x
y' 0
0 + -
+∞
+
2 -2
-∞
Đồ thị hàm số
1
(2 ) 2
y
fx
có bao nhiêu đường tiệm cậ n đứng.
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 25: [2D1-3]. Cho hàm số () y f x có bảng biến thiên như sau:
3
4
3
0
+∞
-∞
y
x
y' 0
0 + -
+∞
+
2 -2
-∞
Đồ thị hàm số
2
1
(4 ) 3
y
fx
có bao nhiêu đường tiệm cậ n đứng.
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 26: [2D1-3]. Cho hàm số () y f x xác định trên \{-1;1}, có đạo hàm trên \{-1;1} và có
bảng biến thiên như sau:
-
+∞
-3
+∞ +∞ +∞
0
1
2
-∞
y
x
y' +
-
+∞
+
0 -1
-∞
Số đường tiệm cậ n của đồ thị hàm số
1
(2 3) 2
y
fx
là
A. 5 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 27: [2D1-3]. Cho hàm số () y f x có bảng biến thiên như sau:
2
-∞
+∞
2
y
x
y' +
+∞
+
1
2
-∞
Số đường tiệm cậ n của đồ thị hàm số
2
1
( 2) 1
y
fx
là
A. 5 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Dạng 4: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ SỐ TIỆM CẬN
CHO TRƯỚC
Ở đây ta chỉ xét đ ến hai loại tiệm cậ n: tiệm cậ n ngang và tiệm cậ n đứng.
1. Cơ sở lý thuyết
ệm cậ n ngang: Cho hàm số y f x xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng
; a , ;b hoặc ; ). Đường thẳ ng
0
yy là đường tiệm cậ n ngang của đồ thị
hàm số y f x nếu ít nhấ t một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
0
lim
x
f x y
,
0
lim
x
f x y
.
ệm cậ n đứng: Đường thẳ ng
0
xx được gọi là đường tiệm cậ n đứng của đồ thị hàm số
y f x nếu ít nhấ t một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
0
lim
xx
fx
,
0
lim
xx
fx
,
0
lim
xx
fx
,
0
lim
xx
fx
.
Các quy tắc tính giới hạn.
2. Phương pháp
ậ p xác định của hàm số (hoặc điều kiện xác định của hàm số).
ếu tậ p xác định “không chứa ký hiệu vô cực” thì hàm s ố không có tiệm cậ n ngang, nếu
“có chứa ký hiệu vô cực” thì ph ải tìm giới hạn của hàm số (khi x tiến tới hoặc )
theo định nghĩa đ ể tìm tiệm cậ n ngang.
ếu tậ p xác định “có chứa điểm dính” (điểm không thuộc tậ p xác định nhưng có dãy số
tiến tới nó) thì ta tìm giới hạn của hàm số khi x tiến tới điểm dính theo định nghĩa đ ể tìm
tiệm cậ n đứng (thường những điểm đó hàm số không xác định, hoặc cụ thể hơn là thường
làm cho mẫu bằng 0 ).
3. Các ví dụ minh họa.
Câu 28: [2D1-3] Biết đồ thị hàm số
22
21
2 1 4 4 1
x
y
mx x x mx
có đúng 1 đường tiệm cậ n.
Khi đó m thuộc tậ p nào sau đây?
A. 1;2 . B. ;1 . C. . D. 2; .
Câu 29: [2D1-3] [THPT Chuyên Bình Long – 2017] Với giá trị nào của m , đồ thị hàm số
2
2
13
12
x x x
y
x m x m
có đúng hai đường tiệm cậ n?
A. m . B.
1
2
3
m
m
m
. C.
2
3
m
m
. D.
1
2
m
m
.
Câu 30: [2D1-3] [THPT CHUYÊN VINH – 2017] Tìm tấ t cả các giá trị của tham số a để đồ thị
hàm số
2
32
x
y
x
a
ax
có 3 đường tiệm cậ n.
A. 0 a , 1 a . B. 0 a . C. 0 a , 1 a . D. 0 a , 1 a .
Câu 31: [2D1-3] Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây thì đ ồ thị hàm số
2
2 1 1 y x mx x có tiệm cậ n ngang?
A. 3;6 m . B. 1;3 m . C. 3; 1 m . D. 6; 3 m .
Câu 32: [2D1-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của m sao cho đồ thị hàm số
2
31
2
mx mx
y
x
có
ba tiệm cậ n?
A. Vô số. B. 2 . C. 0 . D. 1.
Câu 33: [2D1-3] Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2
1
2
m
y x x có tiệm
cậ n ngang.
A. 0 . B. 1. C. Vô số. D. 2 .
Câu 34: [2D1-4] [Sở GD Trà Vinh – Năm 2017 - 2018] Cho hàm số
2
1
1
x
y
ax
có đồ thị C .
Tìm tấ t cả các giá trị của tham số a để đồ thị của hàm số có đường tiệm cậ n, đồng thời
đường tiệm cậ n đó cách tiếp tuyến của C một khoảng bằng 21 .
A. 0 a . B. 2 a . C. 3 a . D. 1 a .
Dạng5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số nhận đường thẳng , x a y b làm
tiệm cận
Câu 35: [2D1-3] [Sở Hải Dương – 2017] Biết đồ thị hàm số
2
2
21
6
m n x mx
y
x mx n
nhậ n trục
hoành và trục tung làm hai đường tiệm cậ n. Tính mn .
A. 2 . B. 6 . C. 8 . D. 9 .
Câu 36: [2D1-3] Cho hàm số
2
2 y ax bx x . Đặt P a b . Tìm P biết hàm số có đường tiệm
cậ n ngang là 2 y .
A. 3 P . B. 12 P . C. 8 P . D. 0 P .
Dạng 6: Bài toán tiệm cận và diện tích, khoảng cách…và bài toán tổng hợp
Nhận xét:
Ở các dạng bài toán trên ta thường xét hàm phân thức bậ c nhấ t trên bậ c nhấ t và lý thuyết
tiệm cậ n thường gắn cùng bài toán tiếp tuyến. Bài toán có thể được cho dưới nhiều dạng,
nhiều cách hỏi khác nhau song để giải quyết, hầu hết ta đều quy về việc tìm tọa độ tiếp điểm
M . Ta có thể khái quát việc tìm M theo quy trình cơ b ản sau:
+) Giả sử
; M m f m C , khi đó phương trình ti ếp tuyến của đồ thị tại M có dạng:
:' y f m x m f m .
+) Tìm tọa độ các giao điểm , AB của tiếp tuyến với các đường tiệm cậ n. (Các giao điểm
này có tọa độ tính theo tham số m )
+) Dựa vào giả thiết của bài toán, ta xây dựng một phương trình theo tham s ố m rồi tìm m
và kết luậ n.
Lưu ý
+) Nếu yêu cầu bài toán là tiếp tuyến cắt các đường tiệm tạo thành tam giác IAB có diện
tích cho trước (I là giao các đường tiệm cậ n) thì ta sử dụng công thức
1
.
2
IAB
S IAIB .(Ta sẽ
chứng minh được diện tích tam giác IAB là một số không đổi).
+) Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt các đường tiệm cậ n mà tam giác IAB vuông cân thì ta có
thể sử dụng điều kiện vuông cân của tam giác hoặc quy về bài toán viết phương trình tiếp
tuyến biết tiếp tuyến tạo với tiệm cậ n ngang một góc
0
45 , và chú ý rằng tiếp tuyến đó không
được đi qua giao điểm của hai tiệm cậ n. Góc tạo bởi tiếp tuyến và tiệm cậ n đứng, tiệm cậ n
ngang cũng chính là góc tạo bởi tiếp tuyến và các trục , Ox Oy .
+) Nếu yêu cầu tiếp tuyến cắt các đường tiệm cậ n mà tạo thành tam giác IAB có chu vi nhỏ
nhấ t thì ta thư ờng sử dụng đánh giá
22
2 . 2 .
IAB
C IA IB AB IA IB IA IB IAIB IAIB .
Do . IAIB không đổi nên chu vi tam giác IAB nhỏ nhấ t khi IA IB.
Câu 37: [2D1-3] [208-BTN] Cho hàm số
23
:
1
x
Cy
x
. Gọi M là một điểm thuộc đồ thị và d
là tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cậ n của đồ thị hàm số C . Giá trị nhỏ nhấ t của d
có thể đạt được là:
A. 2. B. 5. C. 6. D. 10.
Câu 38: [2D1-3] [THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa] Gọi M là điểm bất kì thuộc đồ thị C
của hàm số
9
2
y
x
. Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của C đạt giá trị nhỏ
nhất là.
A. 9. B. 63 . C. 6. D. 23 .
Câu 39: [2D1-3] Cho hàm số
2
1
x
y
x
có đồ thị là C , I là giao điểm các đường tiệm cậ n của
C và là một tiếp tuyến bấ t kì của đồ thị C . Gọi d là khoảng cách từ điểm I đến
. Giá trị lớn nhấ t của d là:
A. 3 . B. 2 . C.
2
2
. D.
3
3
.
Câu 40: tiệm cậ n của C . Gọi M là điểm thuộc C sao cho tiếp tuyến của C tại M cắt hai
đường tiệm cậ n tại A và B thỏa mãn chu vi tam giác IAB là nhỏ nhấ t. Khi đó có mấ y
điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán?
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 41: [2D1-4] Cho hàm số
23
2
x
y
x
có đồ thị là C . Gọi I là giao điểm các đường tiệm cậ n
của C và M là một điểm bấ t kì trên C . Gọi là tiếp tuyến của C tại M và A ,
B lần lượt là giao điểm của với các đường tiệm cậ n của C . Khi đó tọa độ điểm M
sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhấ t là:
A. 1;1 M hoặc
9
3;
5
M
.. B. 1;1 M hoặc 3;3 M .
C.
5
1;
3
M
hoặc 3;3 M . D.
9
3;
5
M
hoặc
5
1;
3
M
.
Câu 42: [2D1-3] Cho hàm số
1
x
y
x
có đồ thị là C . Gọi là phương trình ti ếp tuyến của
C sao cho và hai tiệm cậ n của C cắt nhau tạo thành một tam giác cân. Khi đó
phương trình c ủa là:
A. yx và
8
3
yx . B. yx và
8
3
yx .
C. yx và
8
3
yx D. yx và
8
3
yx .
Câu 43: [2D1-3] Cho hàm số
23
2
x
y
x
có đồ thị là C . Gọi I là giao của hai đường tiệm cậ n,
phương trình ti ếp tuyến của C tại điểm M sao cho tiếp tuyến đó cắt tiệm cậ n đứng, tiệm
cậ n ngang lần lượt tại , AB sao cho
4
cos
17
ABI là:
A.
13
42
yx và
17
42
yx . B.
13
42
yx và
17
42
yx .
C.
13
42
yx và
17
42
yx D.
13
42
yx và
17
42
yx .
Câu 44: [2D1-4] Cho hàm số
21
1
x
y
x
có đồ thị là C . Gọi I là giao của hai đường tiệm cậ n.
Giả sử điểm ; M m n có hoành độ dương thuộc C sao cho tiếp tuyến của C tại điểm
M cắt hai đường tiệm cậ n lần lượt tại , AB sao cho
22
40 IA IB , khi đó mn có giá
trị là:
A. 3 . B. 3 . C. 2 . D. 1 .
Câu 45: [2D1-3] Giả sử đường thẳ ng :0 d x a a cắt đồ thị hàm số
21
1
x
y
x
tại một điểm
duy nhấ t, biết khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cậ n đứng của đồ thị hàm số bằng 1, ký hiệu
00
; xy là tọa độ của điểm đó. Tìm
0
. y
A.
0
1 y . B.
0
5 y . C.
0
1 y . D.
0
2 y .
Câu 46: [2D1-3] [Chuyên Trần Phú – Hải Phòng – Lần 2 – Năm 2017 - 2018] Cho hàm số
43
3
x
y
x
có đồ thị C . Biết đồ thị C có hai điểm , MN và tổng khoảng cách từ M
hoặc N đến hai đường tiệm cậ n là nhỏ nhấ t. Khi đó MN có giá trị bằng
A. 42 MN . B. 6 MN . C. 43 MN . D. 62 MN .
Câu 47: [2D1-3][THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa] Cho hàm số
2
1
x
y
x
có đồ thị C . Gọi
d là khoảng cách từ giao điểm I của hai tiệm cậ n của đồ thị C đến một tiếp tuyến tùy ý
của đồ thị C . Khi đó giá trị lớn nhấ t của d có thể đạt được là:
A. 22 . B. 2 . C. 3 . D. 33 .
CHUYÊN ĐỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN ĐỒ THỊ LIÊN QUAN TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH
BIẾN
A. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Các bài toán đồ thị liên quan đến khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
1. Phương pháp giải
Dựa vào đồ thị để suy ra các khoảng đơn diệu của hàm số.
2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình v ẽ:
Khẳ ng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y f x đồng biến trên 1;3
B. Hàm số y f x nghịch biến trên ;1
C. Hàm số y f x nghịch biến trên 0;
D. Hàm số y f x đồng biến trên 0;2
Lời giải
Chọn D
Quan sát đồ thị hàm số ta thấ y: Hàm số đồng biến trên (0;2) .
Ví dụ 2. (THPT Chuyên Đại Học Vinh - Nghệ An - 2018) Cho hàm số fx xác định trên và có
đồ thị hàm số y f x là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số fx nghịch biến trên khoảng 1;1 .
B. Hàm số fx đồng biến trên khoảng 1; 2 .
C. Hàm số fx đồng biến trên khoảng 2;1 .
D. Hàm số fx nghịch biến trên khoảng 0; 2 .
Lời giải
Chọn D
• Từ đồ thị ta thấ y:
+ Hàm số fx nghịch biến trên các khoảng ;2 và 0;2 .
+ Hàm số fx đồng biến trên các khoảng 2;0 và 2; .
Ví dụ 3. (28 – 101 – THPTQG2017) Đường cong ở hình bên là của hàm số
ax b
y
cx d
với , , , a b c d
là các hệ số thực.
x
y
1
1
O
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. 0, yx . B. 0, yx . C. 0, 1 yx . D. 0, 1 yx .
Lời giải
Chọn D
Đồ thị hàm số có xu hướng đi xuống Hàm số là hàm nghịch biến 0 y
Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cậ n đứng 1 x 1 x là nghiệm của mẫu số
1 x không thuộc tậ p xác định của hàm số.
0, 1. yx
Ví dụ 4. (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ 2018 L4). Cho hàm số . y f x Hàm số
y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
2
y f x đồng biến trên khoảng
A.
11
;
22
. B. 0;2 . C.
1
;0
2
. D. 2; 1 .
Lời giải
Chọn C
Ta có
22
2 . . y f x x f x
Cách 1.
Hàm số đồng biến 0 y
2
2
0
0
0
0
x
fx
x
fx
2
2
2
0
11
4
0
14
x
x
x
x
x
2
10
12
x
x
x
.
Do đóChọn C
Cách 2.
Ta có
22
2 . . y f x x f x
'0 y
2
0
'0
x
fx
2
2
0
1
4
x
x
x
0
1
2
x
x
x
.
Dựa vào BBT ta chọn đáp án C.
Ví dụ 5. (Sở GD Hà Nam 2018). Cho hàm số
() y f x
. Biết hàm số
() y f x
có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số
2
3 () 2 y f x x
đồng biến trên khoả ng nào dưới đây?
A.
1
;
3
. B.
1
;
2
. C.
11
;
32
. D.
1
2;
2
.
Lời giải
Chọn A
+ Tính đạo hàm
2
' 2 6 . ' 2 3 y x f x x .
+ Ta có
'0 y
2
2 6 0
' 2 3 0
x
f x x
2
2
3
2 3 1
2 3 2
x
xx
xx
3 x .
Lậ p BBT
Dựa vào BBT taChọn đáp án A.
Ví dụ 6. (Sở GD Điện Biên 2018) Cho hàm số y f x . Biết hàm số y f x có đồ thị như hình
vẽ bên dưới. Hàm số
2
3 2018 y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 2;3 . B. 2; 1 . C. 0;1 . D. 1;0 .
Lời giải
Chọn D.
Ta có
22
3 2 . 3 0 f x x f x
2
3 fx trái dấ u với x.
Ta thấ y chỉ có khoảng 1;0 là x âm và
2
2 3 3 x do đó
2
30 fx (theo đồ thị)
nên
2
3 fx đồng biến trên 1;0 .
Ví dụ 7. (THPT Chu Văn An - Hà Nội 2018) Cho hàm số y x f có đồ thị hàm số fx như
hình vẽ
Hàm số
2
1
2
x
y f x x nghịch biến trên khoảng
A. 3;1 . B. 2;0 . C. 1;3 . D.
3
1;
2
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có 11 y f x x
11 f x x
Đặt 1 tx . Suy ra y f t t
Vẽ đường thẳ ng yx
Từ đồ thị ta thấ y 0 y
3
1
3
t
t
t
2
0
4
x
x
x
.
Lậ p BBT ta được
Dựa vào BBT ta chọn đáp án B.
BÀI TẬ P CỦNG CỐ
Câu 1. [2D1-3] Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số fx trên . Biết rằng hàm số
22 y f x có đồ thị như hình v ẽ bên dưới. Hàm số fx nghịch biến trên khoảng
nào?
A. ;2 . B. 1;1 . C.
35
;
22
. D. 2; .
Câu 2. [2D1-3] Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số fx trên . Biết rằng hàm số
22 y f x có đồ thị như hình v ẽ bên dưới. Hàm số fx dồng biến trên khoảng nào?
A. ;3 , 5; . B. ; 1 , 1; . C. 1;1 . D. 3;5 .
Câu 3. [2D1-4] Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình v ẽ.
Hàm số
2
y f x có bao nhiêu khoảng nghịch biến.
A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 2 .
Câu 4. [2D1-3] Cho hàm số y f x có đồ thị của hàm số y f x được cho như hình bên.
Hàm số
2
22 y f x x nghịch biến trên khoảng
3 2
3
2
1 4
1
5 O x
y
A. 3; 2 . B. 2; 1 . C. 1; 0 . D. 0; 2 .
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ĐỒ THỊ LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. Phương pháp chung:
Bài toán 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu của hàm số
Dấu hiệu 1:
+) nếu
0
0 fx hoặc fx không xác định tại
0
x và nó đổi dấ u từ dương sang âm khi
qua
0
x thì
0
x là điểm cực đại của hàm sô.
+) nếu
0
0 fx hoặc fx không xác định tại
0
x và nó đổi dấ u từ âm sang dương khi
qua
0
x thì
0
x là điểm cực tiểu của hàm sô.
*) Quy tắc 1:
+) tính y
+) tìm các đi ểm tới hạn của hàm số. (tại đó 0 y hoặc y không xác định)
+) lậ p bảng xét dấ u y . dựa vào bảng xét dấ u và kết luậ n.
Dấu hiệu 2:
cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấ p 2 tại
0
x .
+)
0
x là điểm cđ
0
0
0
0
fx
fx
+)
0
x là điểm cđ
0
0
0
0
fx
fx
*) Quy tắc 2:
+) tính , f x f x .
+) giải phương trình 0 fx tìm nghiệm.
+) thay nghiệm vừa tìm vào fx và kiểm tra. từ đó suy kết luậ n.
Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3
Cho hàm số:
32
y ax bx cx d có đạo hàm
2
32 y ax bx c
1. Để hàm số có cực đại, cực tiểu 0 y có 2 nghiệm phân biệt 0
2. Để hàm số có không cực đại, cực tiểu 0 y hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0
3. Đường thẳ ng đi qua điểm cực đại, cực tiểu.
+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B. Viết phương trình đư ờng thẳ ng qua A, B.
+) Cách 2: Lấ y y chia y ta được: y mx n y Ax B . Phần dư trong phép chia này là
y Ax B chính là phương trình đư ờng thẳ ng đi qua điểm cực đại và cực tiểu.
Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương
Cho hàm số:
42
y ax bx c có đạo hàm
32
4 2 2 2 y ax bx x ax b
1. Hàm số có đúng 1 cực trị khi 0 ab .
+) Nếu
0
0
a
b
hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại.
+) nếu
0
0
a
b
hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu.
2. Hàm số có 3 cực trị khi 0 ab (a và b trái dấ u).
+) nếu
0
0
a
b
hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu.
+) Nếu
0
0
a
b
hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu.
3. Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và A Oy ,
0; , , , , , 0;
B B C C B
A c B x y C x y H y .
+) Tam giác ABC luôn cân tại A
+) B, C đối xứng nhau qua Oy và ,
B C B C H
x x y y y
+) Để tam giác ABC vuông tại A: .0 AB AC
+) Tam giác ABC đều: AB BC
+) Tam giác ABC có diện tích S:
11
..
22
B C A B
S AH BC x x y y
4. Trường hợp thường gặp: Cho hàm số
42
2 y x bx c
+) Hàm số có 3 cực trị khi 0 b
+) A, B, C là các điểm cực trị
22
0; , , , ; A c B b c b C b c b
+) Tam giác ABC vuông tại A khi 1 b
+) Tam giác ABC đều khi
3
3 b
+) Tam giác ABC có
0
ˆ
120 A khi
3
1
3
b
+) Tam giác ABC có diện tích
0
S khi
2
0
S b b
+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp
0
R khi
3
0
1
2
b
R
b
y
x
AB=AC= b
4
+b
AH=b
2
HB=HC= b
b
2
b
b
B C
H
A
O
+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp
0
r khi
2
0
3
11
b
r
b
Ví dụ:
Câu 1. [2D1-4] Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y f x . Biết fx có đúng ba điểm cực
trị.
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
1 y f x m có
5 điểm cực trị. Giá trị của tổng tất cả các phần tử thuộc S bằng
A. 12. B. 9 . C. 15 . D. 18 .
Lời giải
Chọn D
Đồ thị hàm số 1 y f x m có được bằng cách thực hiện liên tiếp các bước:
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x sang trái 1 đơn vị
+ Tịnh tiến đồ thị nhận được theo vectơ 0; um .
+ Giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành, lấy đối xứng qua trục hoành đối với phần đồ thị
nằm phía dưới trục hoành.
Dựa vào cách dựng như trên, để đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị thì
36
2
m
m
. Do đó
tổng các giá trị cần tìm là 3 4 5 12 .
Câu 2. [2D1-4] Cho hàm số y f x xác định trên . Đồ thị của hàm số y f x như hình v ẽ
dưới đây.
-3
-6
2
O
x
y
Đặt
32
1 3 3
2018
3 4 2
g x f x x x x . Điểm cực tiểu của hàm số gx trên đoạn
3;1 là:
A. 2
CT
x . B. 1
CT
x . C. 0
CT
x . D.
1
2
CT
x .
Lời giải
Chọn B
Ta có
22
3 3 3 3
()
2 2 2 2
g x f x x x f x x x
Căn cứ vào đồ thị ta có:
12
11
33
f
f
f
10
10
30
g
g
g
.
Vẽ Parabol
2
33
:
22
P y x x trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị của hàm số y f x .
Ta có trên 3; 1 thì
2
33
22
f x x x nên 0 gx 3; 1 x .
Ta có trên 1;1 thì
2
33
22
f x x x nên 0 gx 1;1 x .
Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số gx trên đoạn 3;1 .
Do đó 1
CT
x .
Câu 3. [2D1-4] Cho hàm số () y f x có đạo hàm liên tục trên , hàm số '( 2) y f x có đồ thị
như hình bên.
Số điểm cực trị của hàm số () y f x
là
A. 0 . B. 2 . C.1. D. 3 .
Lời giải
Chọn B.
Ta đặt 22 x t x t .
Yêu cầu bài toán trở thành: hàm số y f t có đồ thị như hình trên. Tìm s ố điểm cực trị
của hàm số 2 y f t .
Ta có: 2 2 . 2 2 y f t t f t f t
.
Đồ thị hàm số 2 y f t có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y f t sang
trái 2 đơn vị.
Hàm số 2 y f t có hai điểm cực trị.
BÀI TẬ P ÁP DỤNG
Câu 39: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Đồ thị của hàm số
y f x có bao nhiêu điểm cực trị
A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 5 .
Câu 40: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Đồ thị của hàm số
2017 2018 y f x có bao nhiêu điểm cực trị
A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 5 .
Câu 41: Cho hàm số
2020 4 2020 2 2 2020
2 2 5 2020 y f x m x m m x m . Số điểm cực
trị của đồ thị hàm số
2019 y f x là :
A. 5 . B. 3 . C. 6 . D. 7 .
DẠNG 3. ĐỒ THỊ LIÊN QUAN TỚI ĐẠO HÀM CẤP I, CẤP II
I. ĐỒ THỊ LIÊN QUAN TỚI ĐẠO HÀM CẤ P I, CẤ P II.
1. Phương pháp. Sử dụng một trong các nhận xét hoặc kết hợp tất cả các nhận xét:
Nhậ n xét 1. Đ ồ thị hàm số () fx cắt trục hoành tại những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
( ). fx
() fx đổi dấ u từ âm sang dương thì () fx đạt cực tiểu tại đó.
() fx đổi dấ u từ âm sang dương thì () fx đạt cực tiểu tại đó.
Nhậ n xét 2. Tìm giao đi ểm của các đồ thị hàm số với trục hoành (nếu có). Sau đó dựa và tính chấ t:
( ) 0, ( ) f x x K f x tăng trên . K
( ) 0, ( ) f x x K f x giảm trên K .
2. Một vài ví dụ.
Ví dụ 1. [2D1-4] Cho các hàm số ( ), ( ), ( ) f x f x f x có đồ thị như hình v ẽ
Khi đó
1 2 3
( ),( ),( ) C C C theo thứ tự là đồ thị của hàm số nào sau đây?
A. ( ), ( ), ( ). f x f x f x B. ( ), ( ), ( ). f x f x f x
C. ( ), ( ), ( ). f x f x f x D. ( ), ( ), ( ). f x f x f x
Lời giải
Chọn D.
Ta nhậ n thấ y đường
1
() C đi từ dương sang âm thì đư ờng
3
() C đạt cực đại, khi đường
1
() C
đi từ âm sang dương thì đư ờng
3
() C đạt cực tiểu. Do đó đường
1
() C là đạo hàm của
đường
3
() C .
Tương tự đường
2
() C là đạo hàm của đường
1
() C , do đó Chọn đáp án D
*Lưu ý, với đồ thị tuần hoàn như thế này, ta có thể nghĩ đ ến hàm lượng giác, khi đó đường
có biên độ cao nhấ t hoặc thấ p nhấ t sẽ là đồ thị của () fx hoặc () fx , biên độ ở giữa là của
hàm () fx .
Ví dụ 2. [2D1-4] Cho các hàm số ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) y f x y g x f x y h x g x có đồ thị như hình v ẽ
Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ( 1) ( 1) ( 1). g h f B. ( 1) ( 1) ( 1). h g f
C. ( 1) ( 1) ( 1). h f g D. ( 1) ( 1) ( 1). f g h
Lời giải
Chọn B.
Từ đồ thị ta thấ y đồ thị các hàm số ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) y f x y g x f x y h x g x lần lượt là
(1),(2),(3).
Do đó ( 1) ( 1) ( 1). h g f Chọn đáp án B.
Ví dụ 3. [2D1-4] Một vậ t chuyển động có đồ thị của hàm quãng đường () st , hàm vậ n tốc () vt và
hàm gia tốc () at theo thời gian () st được mô tả ở hình vẽ. Khẳ ng định nào dưới đây là
đúng?
A. (4) (4) (4). s v a B. (4) (4) (4). a v s
C. (4) (4) (4). s a v D. (4) (4) (4) v a s
Lời giải
Chọn A.
Ta nhậ n thấ y () st là đồ thị hàm bậ c ba, () vt là đồ thị hàm số bậ c hai, và () at là đồ thị
hàm bậ c nhấ t. Do đó (4) (4) (4). s v a Chọn A.
Ví dụ 4. [2D1-4] Cho đồ thị bốn hàm số ( ), ( ), ( ), ( ) f x f x f x f x được vẽ mô tả ở hình dư ới đây.
Hỏi đồ thị các hàm số ( ), ( ), ( ), ( ) f x f x f x f x theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường
cong nào?
A. , , , . s d b a B. , , , . d c b a
C. , , , . d c a b D. , , , d b c a
Lời giải
Chọn B.
Ta nhậ n thấ y đường d có điểm đi từ dương sang âm mà không có hàm nào đạt cực trị tại
đó, nên đường d là đồ thị hàm () fx . Tại cực đại cực tiểu của () fx thì hàm số () fx cắt
trục Ox , do đó () fx là đường c . Lậ p luậ n tương tự ta được đáp án B.
3. Bài tập tương tự.
Câu 1. [2D1-4] Một vậ t chuyển động có đồ thị là hàm quãng đường, hàm vậ n tốc và hàm gia tốc
theo thời gian ( ), ( ), ( ). f x f x f x được mô tả ở hình dư ới đây. Hỏi đồ thị các hàm số
quãng đường, vậ n tốc và gia tốc theo thứ tự là các đường cong nào?
Khi đó
1 2 3
( ),( ),( ) C C C theo thứ tự là đồ thị của hàm số nào sau đây?
A. , , . b c a B. , , . c a b
C. ,,. a c b D. , , . c b a
Câu 2. [2D1-4] Một vậ t chuyển động có đồ thị của hàm quãng đường () st , hàm vậ n tốc () vt và
hàm gia tốc () at theo thời gian () st được mô tả ở hình vẽ. Khẳ ng định nào dưới đây là
đúng?
A. ( ) ( ) ( ). s v a B. ( ) ( ) ( ). a v s
C. ( ) ( ) ( ). s a v D. ( ) ( ) ( ). v a s
Câu 3. [2D1-4] Cho các hàm số ( ), ( ), ( ) y f x y f x y f x có đồ thị như hình v ẽ
Hỏi đồ thị các hàm số ( ), ( ), ( ) y f x y f x y f x theo thứ tự lần lượt tương ứng với
đường cong nào?
A.
3 2 1
( );( );( ). C C C B.
213
( );( );( ). C C C
C.
2 3 1
( );( );( ). C C C D.
1 2 3
( );( );( ). C C C
Câu 4. [2D1-4] Cho các hàm số ( ), ( ), ( ) y f x y f x y f x có đồ thị như hình v ẽ
Hỏi đồ thị các hàm số ( ), ( ), ( ) y f x y f x y f x theo thứ tự lần lượt tương ứng với
đường cong nào?
A.
3 2 1
( );( );( ). C C C B.
213
( );( );( ). C C C
C.
2 3 1
( );( );( ). C C C D.
1 2 3
( );( );( ). C C C
Câu 5. [2D1-4] Cho các hàm số ( ), ( ), ( ) y f x y f x y f x có đồ thị như hình v ẽ
Hỏi đồ thị các hàm số ( ), ( ), ( ) y f x y f x y f x lần lượt tương ứng với đường cong
nào?
A. , , . abc B. , , . bac
C. ,,. a c b D. , , . b c a
III. ĐỒ THỊ LIÊN QUAN TỚI NGUYÊN HÀM.
1. Phương pháp.
Gọi () Fx là một nguyên hàm của f , ta có ( ) ( ) F x f x , từ tính chấ t đồ thị như ở phần 2 ta đưa ra
phương án đúng.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. [2D1-4] Trong các đồ thị , , , M N P Q, đồ thị nào là đồ thị của một nguyên hàm của hàm số
f ?
A. . M B. . N C. . P D. . Q
Lời giải
Chọn D.
Gọi () Fx là một nguyên hàm của f , ta có ( ) ( ) F x f x . Ta thấ y đồ thị hàm số f nằm
trên trục hoành, luôn dương, nên phải tìm đ ồ thị đồng biến, thấ y đồ thị M phù hợp. Chọn
A.
Ví dụ 2. [2D1-4] Trong các đồ thị , , , M G H K , đồ thị nào là đồ thị của một nguyên hàm của hàm số
f ?
A. . M B. . G C. . H D. . K
Lời giải
Chọn D.
Xét khoảng âm dương của f để tương ứng khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số
() Fx , và tại điểm hàm f chuyển từ âm sang dương đồ thị hàm số đạt cực tiểu . Chọn D.
3. Bài tập tương tự.
Câu 1. [2D1-4] Trong các đồ thị , , , M G H K , đồ thị nào là đồ thị của một nguyên hàm của hàm số
f ?
A. . M B. . G C. . H D. . K
Câu 2. [2D1-4] Biết hàm số . M là một nguyên hàm của hàm số . M như Trong các đồ thị
, , , M G H K , đồ thị nào là đồ thị của một nguyên hàm của hàm số f ?
A. . M B. . G C. . H D. . K
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1. [2D1-4] Cho hàm số () y f x có đạo hàm cấ p một '( ) fx và đạo hàm cấ p hai () fx trên
. Biết đồ thị của hàm số () y f x , () y f x , () y f x là một trong các đường cong
1 2 3
( ), ( ), ( ) C C C ở hình vẽ bên. Hỏi đồ thị của hàm số () y f x , () y f x , () y f x lần
lượt theo thứ tự nàodưới đây?
A.
213
( ), ( ), ( ) C C C . B.
1 3 2
( ), ( ), ( ) C C C .
C.
2 3 1
( ), ( ), ( ) C C C . D.
3 1 2
( ), ( ), ( ) C C C .
Câu 2. [2D1-4] Cho các hàm số () y f x , () y f x , () y f x có đồ thị như hình v ẽ. Khi đó
1 2 3
( ),( ),( ) C C C thứ tự là đồ thị các hàm số
2
-2
-5 5
y
x
(C
2
)
(C
3
)
(C
1
)
O
A. ( ), ( ), ( ) f x f x f x . B. ( ), ( ), ( ) f x f x f x .
C. ( ), ( ), ( ) f x f x f x . D. ( ), ( ), ( ) f x f x f x .
Câu 3. [2D1-4] Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm cấ p hai trên . Đồ thị của các hàm
số () y f x , () y f x , () y f x lần lượt là các đường cong trong hình vẽ bên
A.
1 2 3
,, C C C . B.
1 3 2
,, C C C .
C.
3 2 1
,, C C C . D.
3 1 2
,, C C C .
Câu 4. Cho đồ thị của ba hàm số ( ), ( ), ( ) y f x y f x y f x được vẽ mô tả ở hình dư ới đây.
Hỏi đồ thị của các hàm số ( ), ( ) y f x y f x và () y f x theo thứ tự, lần lượt tương ứng
với đường cong nào ?
A.
3 2 1
;; C C C . B.
1 2 3
;; C C C . C.
1 3 2
;; C C C . D.
2 3 1
;; C C C .
Câu 5. Cho đồ thị của ba hàm số () y f x , () y f x , () y f x được vẽ mô tả ở hình dư ới đây.
Hỏi đồ thị các hàm số () y f x , () y f x và () y f x theo thứ tự, lần lượt tương ứng
với đường cong nào ?
A.
3 2 1
( );( );( ) C C C . B.
213
( );( );( ) C C C . C.
2 3 1
( );( );( ) C C C . D.
1 3 2
( );( );( ) C C C .
DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN MAX-MIN KHI BIẾT ĐỒ THỊ, ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ BBT
a) Phương pháp giải
Dựa vào đồ thị, BBT của hàm số để xác định giá trị nhỏ nhấ t, giá trị lớn nhấ t.
Dựa vào đồ thị của đạo hàm để lậ p BBT, từ đó xác định giá trị nhỏ nhấ t, giá trị lớn
nhấ t.
b) Các ví dụ:
Ví dụ 1. [THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ 2018 - LẦN 1] Cho hàm số y f x
xác định và liên tục trên đoạn
7
0;
2
có đồ thị hàm số y f x như hình v ẽ. Hỏi hàm số
y f x đạt giá trị nhỏ nhấ t trên đoạn
7
0;
2
tại điểm
0
x nào dưới đây?
A.
0
2 x . B.
0
1 x . C.
0
0 x . D.
0
3 x
Lời giải
Chọn D.
Dựa vào đồ thị hàm số , y f x ta có bảng biến thiên:
Suy ra
7
0;
2
min 3 . yf
Vậ y
0
3 x .
Ví dụ 2. [TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG 3] Cho hàm số y f x xác định trên R và có đồ thị như
hình dư ới đây. Giá trị lớn nhấ t của hàm số trên đoạn 2; 3 đạt được tại điểm nào sau
đây?
A. v x 3 x3 à B. x2 C. x3 D. x0
Lời giải
Chọn C.
Nhìn vào đô th ị suy ra trên
2;3 thì hàm số đạt trí lớn nhấ t bằng 4 khi 3 x .
Ví dụ 3. [THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ 2018 - LẦN 1] Cho hàm số y f x
có đồ thị y f x như hình v ẽ. Xét hàm số
32
1 3 3
2018.
3 4 2
g x f x x x x
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3;1
min 1 g x g
. B.
3;1
min 1 g x g
.
C.
3;1
min 3 g x g
. D.
3;1
31
min
2
gg
gx
Lời giải
Chọn A.
Ta có
3 2 2
1 3 3 3 3
2018
3 4 2 2 2
g x f x x x x g x f x x x
Căn cứ vào đồ thị y f x ta có
1 2 1 0
1 1 1 0
3 3 3 0
fg
fg
fg
Ngoài ra, vẽ đồ thị P của hàm số
2
33
22
y x x trên cùng
hệ trục tọa độ như hình v ẽ nét đ ứt, ta thấ y P đi qua các điểm
3;3 , 1; 2 , 1;1 với đỉnh
3 33
;
4 16
I
Rõ ràng :
Trên khoảng 1;1 thì
2
33
,
22
f x x x nên 0 1;1 g x x
Trên khoảng 3; 1 thì
2
33
,
22
f x x x nên 0 3; 1 g x x
Từ những nhậ n định trên, ta có bảng biến thiên của hàm y g x trên
3;1 như sau:
Vậ y
3; 1
min 1 g x g
.
Ví dụ 4. Cho hàm số fx có đạo hàm là fx . Đồ thị của hàm số y f x được cho như hình
vẽ bên. Biết rằng 0 3 2 5 f f f f . Giá trị nhỏ nhấ t và giá trị lớn nhấ t của
fx trên đoạn 0;5 lần lượt là
A. 0 , 5 . ff B. 2 , 0 . ff C. 1 , 5 . ff D. 2 , 5 . ff
Lời giải
Chọn D.
O 2 5 x
y
Từ đồ thị y f x trên đoạn 0;5 , ta có bảng biến thiên của hàm số y f x
Suy ra
0;5
max 2 f x f .
Từ giả thiết ta có 0 3 2 5 f f f f nên 5 2 3 0 f f f f
Hàm số fx đồng biến trên
2;5 nên 32 ff hay 2 3 0 ff , suy ra
0 5 2 3 5 f f f f f
Vây
0;5
max 5 f x f .
Ví dụ 5. Cho đồ thị hàm số '( ) y f x như hình v ẽ.
Hàm số () y f x đạt giá trị nhỏ nhấ t trên khoảng
0;2 tại x bằng bao nhiêu?
A.
2
3
x . B. 0 x . C. 1 x . D. 2 x .
Lời giải
Chọn C.
Dựa vào đồ thị của hàm số '( ) y f x ta có BBT như sau:
Dựa vào BBT suy ra hàm số () y f x đạt giá trị nhỏ nhấ t trên khoảng 0;2 tại 1 x .
Ví dụ 6. Cho hàm số y f x có đạo hàm fx liên tục trên và đồ thị của hàm số fx trên
đoạn 2;6 như hình v ẽ bên. Tìm khẳ ng định đúng trong các khẳ ng định sau.
A.
2;6
max 2
x
f x f
. B.
2;6
max 2
x
f x f
. C.
2;6
max 6
x
f x f
. D.
2;6
max 1
x
f x f
.
Lời giải
Chọn C.
Từ đồ thị hàm số ta lậ p được bảng biến thiên như sau:
Do vậ y hàm số đạt giá trị lớn nhấ t chỉ có thể tại 1 x hoặc 6 x .
Gọi
1
S là diện tích hình phẳ ng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục
1 2 Ox x ,
2
S là diện tích hình phẳ ng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục
2 6 Ox x . Ta có
26
12
12
d d 2 1 6 2 1 6 S S f x x f x x f f f f f f
.
Vậ y
2;6
max 6
x
f x f
.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình v ẽ dưới đây
y
y
x
2 1 0 6
0
0
O x
y
2 4 6
2
1
2
3
1
Đặt
44
max 2 sin cos M f x x ,
44
min 2 sin cos m f x x . Tổng Mm bằng
A. 6 . B. 4 . C. 5 . D. 3 .
Câu 2: Cho hàm số fx . Biết hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Trên đo ạn
4;3 ,
hàm số
2
21 g x f x x đạt giá trị nhỏ nhấ t tại điểm
A.
0
4 x . B.
0
1 x . C.
0
3 x . D.
0
3 x .
Câu 3: Cho hàm số y f x có đạo hàm cấ p hai trên . Biết 03 f , 2 2018 f và
bảng xét dấ u của fx như sau:
Hàm số 2017 2018 y f x x đạt giá trị nhỏ nhấ t tại điểm
0
x thuộc khoảng nào sau
đây?
A. ; 2017 . B. 2017; . C. 0;2 . D. 2017;0 .
Câu 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có đồ thị như hình v ẽ. Đặt hàm số
3
21 y g x f x x m . Tìm m để
0;1
maxg 10 x
A. 13 m . B. 3 m . C. 12 m . D. 1 m .
Câu 5: Cho hàm số y f x có đồ thị y f x như hình v ẽ.
Xét hàm số
32
11
2 2018
48
g x f x x x x . Mệnh đề nào đưới đây đúng?
A.
3;1
min 0 g x g
. B.
3;1
min 1 g x g
.
C.
3;1
31
min
2
gg
gx
. D. gx đồng biến trên khoảng 3;0 .
Câu 6: [2D1-3] Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình v ẽ bên. Đặt
2;6
max M f x
,
2;6
min m f x
, T M m . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 02 T f f . B. 52 T f f .
O 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7
x
y
4
2
2
1
O x
y
3
2
1
4
C. 56 T f f . D. 02 T f f .
Câu 7: [2D1-3] Cho hai hàm số y f x , y g x có đạo hàm là fx , gx . Đồ thị
hàm số y f x và gx được cho như hình v ẽ bên dưới.
Biết rằng 0 6 0 6 f f g g . Giá trị lớn nhấ t, giá trị nhỏ nhấ t của hàm số
h x f x g x trên đoạn
0;6 lần lượt là
A. 6 h , 2 h . B. 2 h , 6 h . C. 0 h , 2 h . D. 2 h , 0 h .
Câu 8: [2D1-3] Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số ' y f x như hình bên. Đ ặt
g x f x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 1 1 2 g g g . B. 2 1 1 g g g .
C. 2 1 1 g g g . D. 1 1 2 g g g .
Câu 9: [2D1-4] (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Một cái ao hình ABCDE (như hình
vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính 10 m. Người ta muốn bắc một
câu cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiếu l của cây cầu biết :
- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳ ng vuông góc với nhau, hai đường thẳ ng này
cắt nhau tại điểm O ;
- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là đường
thẳ ng OA ;
x
O
y
2 6
fx
gx
- Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40 m và 20 m;
- Tâm I của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳ ng AE và BC lần lượt 40 m và 30 m.
A. 17,7 l m. B. 25,7 l m. C. 27,7 l m. D. 15,7 l m.
DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH HAI ĐỒ THỊ
1. Phương pháp:
- Biến đổi bài toán và cô lậ p tham số, đưa bài toán về tìm min, max của hàm số y h x
trên đoạn ; ab .
- Dựa vào đồ thị hàm số y f x và y g x nào đó để xét dấ u biểu thức
h x k f x g x
trên đoạn ; ab .
- Tìm đư ợc min, max của hàm số y h x trên đoạn ; ab và kết luậ n.
2. Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f x có đồ thị như hình v ẽ.
Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m để bấ t phương trình
3
3 6 0 f x x x m đúng
với mọi 2;2 x
A. 3 2 4 mf . B. 3 2 4 mf . C. 30 mf . D. 3 2 4 mf
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
3
3 6 0 f x x x m đúng với mọi 2;2 x
3
2;2
3 6 , 2;2 min h x f x x x m x m h x
.
Ta có
2
32 h x f x x
.
Vẽ hai đồ thị hàm số y f x và
2
2 yx trên cùng một hệ trục tọa độ (hình vẽ)
Từ đồ thị ta thấ y
2
3 2 0, 2;2 h x f x x x
và hx liên tục trên đoạn
2;2 do đó hàm số hx nghịch biến trên 2;2 . Suy ra
2;2
min 2 3 2 4 h x h f
.
Vậ y 3 2 4 mf
Ví dụ 2. [1D1-4] Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và hàm số y f x có đồ thị như hình
dưới.
Trên đoạn 4;3 , hàm số
2
21 g x f x x đạt giá trị nhỏ nhấ t tại điểm
A.
0
4 x . B.
0
1 x . C.
0
3 x . D.
0
3 x .
Lời giải
Chọn B.
Trên đoạn 4;3 , ta có 2 2 1 g x f x x . Ta có đồ
thị hàm số y f x và 1 yx như hình bên
Từ đồ thị suy ra
4
0 1 1
3
x
g x f x x x
x
.
0 1 1 ;3 g x f x x x .
0 1 1 ;3 g x f x x x .
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số gx
Suy ra hàm số gx đạt giá trị nhỏ nhấ t tại điểm
0
1 x .
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: [1D1-4] Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và hàm số y f x có đồ thị như hình
dưới.
Trên đoạn 4;3 , hàm số
2
21 g x f x x đạt giá trị nhỏ nhấ t tại điểm
A.
0
4 x . B.
0
1 x . C.
0
3 x . D.
0
3 x .
Câu 2: Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f x có đồ thị như hình v ẽ.
Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m để bấ t phương trình
3
6 2 6 0 f x x x m
đúng với mọi 3; 3 x
.
A.
63 mf . B.
63 mf .
C. 30 mf . D.
6 3 6 3 f m f
Câu 3: [1D1-3] Cho hàm số y f x và y g x có đạo hàm liên tục trên có đồ thị hàm số
y f x là đường cong nét đ ậ m và y g x là đường cong nét mảnh như hình v ẽ dưới
đây.
Gọi ba giao điểm A , B , C của hai đương cong trên hình v ẽ lần lượt có hoành độ a , b , c
. Khẳ ng định nào sau đây là đúng?
A.
;
min 0
ac
h x h . B.
;
min
ac
h x h a . C.
;
min
ac
h x h b . D.
;
min
ac
h x h c .
DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TƯƠNG GIAO, TỊNH TIẾN
1. Phương pháp :Nắm vững cách xét số nghiệm của phương trìn h bằng số giao điểm của hai đồ thị
và kết hợp một số kiến thức liên quan.
2. Ví dụ minh hoạ :
Câu 1: Cho đường cong trong hình bên là đ ồ thị của hàm số y f x . Hỏi có bao nhiêu điểm trên
đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trình
cos2 0? f f x
A. 3 điểm.
B. 4 điểm.
C. 2 điểm.
D. 1 điểm.
Lời giải
Chọn B.
Từ đồ thị ta có:
1, f x x và
cos2 f x a
1 a hoặc
cos2 0 fx .
*) Nếu cos2 1 f x a , phương trình vô nghi ệm.
*) Nếu cos2 1 f x a thì cos 2 1 x , phương trình vô nghi ệm.
*) Nếu cos2 0 fx cos2xa (vô nghiệm) và cos2 0 x . Do đó, tậ p nghiệm có 4
điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Câu 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y f x là hình vẽ
sau
Đặt
2
2
x
g x f x . Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số y g x cắt trục hoành tại
bốn điểm phân biệt là
A.
00
10
g
g
. B.
00
10
1 . 2 0
g
g
gg
. C.
00
20
g
g
D.
00
20
10
g
g
g
.
Lời giải
Chọn B.
Từ đồ thị suy ra 0 0; 1 0; 2 0 g x f x x g g g
Mặt khác từ đồ thị suy ra , 0;1 ; 2 f x x x và
, 1; 2;0 f x x x
Bảng biến thiên
Từ BBT suy ra Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số
y g x cắt trục hoành tại bốn điểm
phân biệt là
00
10
1 . 2 0
g
g
gg
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: (Đoàn Thượng – Hải Dương – Lần 1 - 2018) Cho đồ thị hàm số y f x như hình v ẽ
dưới đây:
Gọi S là tậ p tấ t cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
2
1
2018
3
y f x m có 5 điểm cực trị. Tổng tấ t cả các giá trị của các phần tử của tậ p
S bằng:
A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 9 .
Câu 2: (Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như
hình vẽ
Hỏi phương trình 2017 2018 2019 fx có bao nhiêu nghiệm ?
A. 6 . B. 2 . C. 4 . D. 3 .
Câu 3: Cho hàm số y f x có đạo hàm y f x liên tục trên và có đồ thị hàm số y f x
như hình v ẽ.
x
y
c
b
a
f x ( ) = x
3
+ 1 ∙x
2
3 ∙x 1
O
Biết 0 fa , hỏi đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại nhiều nhấ t bao nhiêu điểm?
A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Chủ đề 6: Tương giao
Câu 1. (Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 1 – 2017) Cho hàm số
32
y f x ax bx cx d
có bảng biến thiên như sau:
Khi đó f x m có bốn nghiệm phân biệt
1 2 3 4
1
2
x x x x khi và chỉ khi
A.
1
1
2
m . B.
1
1
2
m . C. 01 m . D. 01 m .
Câu 2. Cho hàm số
32
2 3 6 7 4 3 y x x m x m m và đường thẳng :1 d y x . Tìm các
giá trị thực m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt ,, A B C sao
cho 1
A
x và diện tích tam giác OBC bằng 5 , với O là gốc tọa độ.
A. 2;4 . B. 2;4 . C. 2;3 . D. 2;5 .
Câu 3. Cho hàm số
32
3
3
2
f x x x x .Phương trình
1
21
f f x
fx
có bao nhiêu nghiệm thực
phân biệt?
A. 4 . B. 9 . C. 6 . D. 5 .
Câu 4. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa – Lần 3) Cho hàm số
32
3 3 4 y f x x x x . Gọi
m là số nghiệm thực của phương trình
2 2 3 f f x f x . Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. 7 m . B. 4 m . C. 6 m . D. 9 m .
Câu 5. (SGD Bắc Ninh) Cho hàm số
32
f x x ax bx c . Nếu phương trình 0 fx có ba
nghiệm thực phân biệt thì phương trình
2
2. f x f x f x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 .
Câu 6. Trong các hàm số
3 2 3 2 3
( ) 2 1, ( ) 1, ( ) 2 3 1 f x x x g x x x x h x x x số hàm số
có hai cực trị đồng thời các giá trị cực trị trái dấ u là
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 7. Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
32
4 y x mx cắt trục
hoành tại ba điểm phân biệt
A. A. 0 m B. B. 3 m C. C. 3 m D. D. 0 m
Câu 8. Cho hàm số
32
y x mx x m , tấ t cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có hai cực
trị đồng thời các giá trị cực trị trái dấ u là:
A. A. 1 m B. B. 1 m
C. C. \1 D. D. 1;1 m
Câu 9. Tìm tấ t cả các giá trị thực của m để đường thẳ ng : d y mx cắt đồ thị của hàm số
32
32 y x x m C tại ba điểm phân biệt , , A B C sao cho AB BC .
A. A. 1; m B. B. ;3 m C. C. ;1 m
D.D. m
Câu 10. Số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
32
3 6 8 y x mx mx cắt trục hoành
tại ba điểm phân biệt có hoành độ lậ p thành cấ p số cộng.
A. A. 0 B. B. 1 C. C. 2 D.D. 3
Câu 11. Tất cả giá trị tham số m để đồ thị
4 2 2
34 y x m x m cắt trục hoành tại bốn điểm phân
biệt là:
A.
5
; 4 ;0 0;
4
m . B. 1 ;0 0; m .
C.
4
;0 0;
5
m . D. \ 0 . m
Câu 12. Cho hàm số
42
43 f x x x . Tìm m để đường thẳ ng ym cắt đồ thị hàm số y f x
tại 4 điểm phân biệt.
A. 1 3. m B. 3. m C. 0. m D. 1;3 0 . m
Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m m để đường thẳng 1 y cắt đồ thị hàm số
42
3 2 3 y x m x m tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 .
A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2
Câu 14. Cho hàm số
4 2 2
34 y x m x m có đồ thị là
m
C . Tìm tổng các giá trị m để đồ thị
m
C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lậ p thành một cấ p số cộng.
A.
216
19
B.
240
19
C. 1 D. 12
Câu 15. Gọi m là số thực dương sao cho đường thẳ ng ym 1 cắt đồ thị hàm số
42
32 y x x
tại đúng hai điểm phân biệt , AB thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ).
Kết luậ n nào sau đây đúng?
A.
79
;
44
m
. B.
79
;
44
m
. C.
35
;
44
m
. D.
57
;
44
m
Câu 16. Cho hàm số
42
1 y x mx m có đồ thị
m
C . Xác định tấ t cả các giá trị của m để đồ thị
hàm số
m
C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
A. 1;2 2; m . B. 1; m . C. 2 m . D. ;2 2; m
Câu 17. Cho hàm số
42
4 1 4 3 y x m x m . Với giá trị m không âm đồ thị hàm số cắt trục
hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là
1 2 3 4
, , , x x x x . Tìm giá trị nhỏ nhấ t của
biểu thức
4 4 4 4
1 2 3 4
T x x x x .
A. 2 MinT . B. 3 MinT . C. 8 MinT . D. 20 MinT
Câu 18. Cho đường cong
42
3 1 3 1 y x m x m . Tính tổng của hai giá trị nguyên liên tiếp nhỏ
nhấ t của m để đường thẳ ng 1 y cắt đường cong trên tại bốn điểm phân biệt trong đó có
hai điểm có hoành độ lớn hơn
1
3
.
A. 3 . B. 6 . C. 1. D. 5 .
Câu 19. Cho hàm số
4 2 2
10 9 y x m x có đồ thị
m
C . Với giá trị
0
mm thì đ ồ thị
m
C của
hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là
1 2 3 4
, , , x x x x thỏa mãn
2 2 2 2
1 2 3 4
20 x x x x .
A.
0
1;1 m . B.
0
5
;4
2
m
. C.
0
2;0 m . D.
0
1;3 m .
Câu 20. Cho hàm số
4 2 2
10 9 y x m x có đồ thị
m
C . Với giá trị
0
mm thì đ ồ thị
m
C của
hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là
1 2 3 4
, , , x x x x thỏa mãn
1 2 3 4
8 x x x x .
A.
0
2;1 m . B.
0
3
1;
2
m
. C.
0
5
;1
2
m
. D.
0
1
;3
2
m
.
Câu 21. Cho hàm số
42
4 1 4 3 y x m x m . Với giá trị m không âm đồ thị hàm số cắt trục
hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là
1 2 3 4
, , , x x x x . Tìm giá trị nhỏ nhấ t của
biểu thức
4 4 4 4
1 2 3 4
T x x x x .
A. 2 MinT . B. 3 MinT . C. 8 MinT . D. 20 MinT
Câu 22. Phương trình
22
2 x x m có đúng 6 nghiệm thực khi:
A. 1 m B. 0 m C. 01 m D. 0 m
Câu 23. Cho hàm số
42
: 4 1 C y x x và đường thẳ ng :1 d y m . Giá trị của m để đường
thẳ ng d và đồ thị C có bốn điểm chung là:
A. 03 m B. 4 m C.
0
3
m
m
D.
1
4
m
m
Câu 24. Cho C là đồ thị hàm số
4 3 2
1 y x mx x mx . Giá trị của m để C cắt trục hoành
tại ít nhấ t hai điểm có hoành độ âm là:
A. 22 m B.
3
2
m C. 23 m D.
3
1
2
m
Câu 25. Cho hàm số
42
6 4 6 y x x x có đồ thị C . Đường thẳ ng d tiếp xúc với C tại 2
điểm phân biệt có hoành độ là
12
; xx . Khi đó
12
xx bằng:
A. 2 B. 0 C. 2 D. 4
Câu 26. Cho hàm số
432
4 2 11 1 y x x x x có đồ thị C . Giá trị m để C giao với đường
thẳ ng : d y x m tại 2 điểm phân biệt là:
A. 10 6 m B.
10
6
m
m
C. 10 m D.
10
6
m
m
Câu 27. [2D1-2]. Biết rằng đồ thị hàm số
3
1
x
y
x
và đường thẳ ng 2 yx cắt nhau tại hai điểm
phân biệt ; , ;
A A B B
A x y B x y . Tính .
AB
yy
A. 2
AB
yy . B. 0
AB
yy . C. 4
AB
yy . D. 2
AB
yy
Câu 28. [2D1-3]. Cho hàm số
2
21
x
y
x
. Tìm tất cả các giá thực của tham số m để đường thẳ ng
1 y mx m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc về hai nhánh của đồ thị.
A. 0 m . B. 0 m . C. 0 m . D. 1 m .
Câu 29. [2D1-2]. Cho hàm số
45
1
x
y
x
có đồ thị C và điểm 1;4 M . Xét điểm A bất kì trên C có
A
xa . Đường thẳng MA
cắt C tại điểm B khác A . Hoành độ điểm B là:
A. 1 a . ` B. 1 a . C. 2 a . D. 21 a .
Câu 30. [2D1-2]. Cho hàm số
24
1
x
y
x
có đồ thị là C . Biết rằng đường thẳ ng 2 y x m luôn
cắt C tại hai điểm phân biệt , AB . Tìm m để đoạn AB là nhỏ nhấ t.
A. 1 m . B. 2 m . C. 3 m . D. 4 m .
Câu 31. [2D1-2]. Cho hàm số
21
1
x
y
x
có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm tất cả các giá thực của tham số m để phương trình
21
1
x
m
x
có hai nghiệm thực phân biệt.
A. 0;2 2; m . B. 2 m .
C. 2 m . D. 2 m .
Câu 32. [2D1-3]. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
2
3 yx và đường thẳ ng
1 y m x cắt nhau tại ít nhất một điểm.
A. : 1 . m B.
3
: 1 ; .
2
m
C.
3
;.
2
m
D.
3
;1 .
2
m
Câu 33. [2D1-3]. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
2
3 yx và đường thẳ ng
1 y m x cắt nhau tại đúng một điểm.
A. : 1 . m B.
3
;.
2
m
C. ; 1 1; . m D.
3
;1 .
2
m
Câu 34. [2D1-3]. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
2
3 yx và đường thẳ ng
1 y m x cắt nhau tại đúng hai điểm.
A. : 1 . m B.
3
;1 .
2
m
C.
3
;1 .
2
m
D.
3
;1 .
2
m
Câu 35. [2D1-3]. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số ln yx và đường thẳ ng y mx cắt
nhau tại đúng hai điểm.
A.
1
;. m
e
B.
1
0; . m
e
C.
0;1 . m D.
1
0; . m
e
Câu 36. [2D1-3]. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số ln yx và đường thẳ ng y mx cắt
nhau tại ít nhất một điểm .
A.
1
;. m
e
B.
1
;. m
e
C.
0;1 . m D.
1
0; . m
e
Câu 37. Cho hàm số
2
33
22
xx
y
x
có đồ thị là ( ). C Gọi T là tậ p tấ t cả các tham số m sao cho
đường thẳ ng ym cắt () C tại hai điểm phân biệt A và B thoả 2. AB Tổng tấ t cả các
phần tử của T bằng
A. 2. B. 1. C. 0. D. 1.
Câu 38. Cho hàm số
2
1
x
y
x
có đồ thị là ( ). C Có bao nhiêu giá trị nguyên của 2019 m sao cho
đường thẳ ng 9 ym cắt () C tại các điểm có hoành độ
12
xx thoả
12
1 2 ?. xx
A. 2021. B. 2022 . C. 2024. D. 2023.
Câu 39. Gọi
0
m là giá trị của tham số m để Parabol
2
( ) : P y x m tiếp xúc vơi đồ thị hàm số
2
1
( ) .
1
xx
y f x
x
Tính
0
( ). fm
A.
0
1
( ) .
2
fm B.
0
2
( ) .
3
fm C.
0
3
( ) .
2
fm D.
0
( ) 2. fm
Câu 40. Cho hàm số
2
22
1
xx
y
x
có đồ thị là () C và đường thẳ ng ( ) : . d y x m Gọi
0
m là
giá trị của m sao cho () d cắt () C tại hai điểm T và R đối xứng nhau qua đường thẳ ng
( ) : 3. yx Tính tích
0
..
TR
m x x ( ;
TR
xx lần lượt là hoành độ các điểm T và R ).
A.
99
2
. B.
11
2
. C.
99
4
. D.
11
4
.
CHUYÊN ĐỀ: TIẾP TUYẾN VÀ TIẾP XÚC
A. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm ( Biết tọa độ điểm, biết hoành độ, biết tung
độ, tại giao điểm,….)
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc ( cho hệ số góc, hệ số góc lớn nhất nhỏ
nhất, tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc,…)
Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua ( đi qua điểm, từ 1 điểm trên đường thẳng hoặc trên các trụ c tọa độ
kẻ được một số tiếp tuyến
Dạng 4: Tiếp tuyến chung
Dạng 5: Bài toán tiếp xúc giữa hai đồ thị
NỘI DUNG CHÍNH
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm
1. Phương pháp
Phương trình ti ếp tuyến tại điểm
0 0 0
; M x y có dạng
0 0 0 0 0 0
: ' ' y y f x x x y f x x x y
Điểm
0 0 0
; M x y được gọi là tiếp điểm.
0
x là hoành độ tiếp điểm và
0
y là tung độ tiếp điểm.
0
fx được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến tại
0
M .
Chú ý
Nếu cho
0
x thì tìm
00
. y f x Nếu cho
0
y thì tìm
0
x là nghiệm của phương trình
0
. f x y
Tính '' y x f x . Suy ra
00
' ' . y x f x
2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Gọi S là tậ p hợp tấ t cả các giá trị thực của tham số m sao cho tiếp tuyến của đồ thị
2
:
1
xm
Cy
x
tại điểm M có hoành độ bằng 2 chắn hai trục toạ độ một tam giác có diện
tích bằng
1
2
. Tính tổng các phần tử của tậ p S .
A.
22
9
. B. 3 . C. 1 . D.
49
9
Phân tích
Điểm MC nên từ 2
M
x thay vào hàm số ta được 2;4 Mm .
Viết phương trình ti ếp tuyến của đồ thị tại điểm 2;4 Mm .
Để ý rằng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm , AB tạo thành tam giác vuông.
Do đó
1
.
2
OAB
S OAOB .
Lời giải
Chọn D
TXĐ \{ 1 } D . Ta có
2
2
'
1
m
y
x
, 2;4 Mm
Với 24
MM
x y m và '(2) 2 fm .
Phương trình ti ếp tuyến tại M có dạng : 2 2 4 y m x m .
83
3 8;0 ; 0; .
2
m
Ox A m Oy B
m
Ta có:
22
1 1 8 3
S . . 1 3 8 . 1 9
2 2 2
3
OAB
m m
OAOB OAOB m
m
m
22
;3
9
S
.
Vậ y tổng các phần tử của S là
22 49
3
99
.
Bài tập tương tự:
Câu 1: Cho hàm số
42
2 y x mx m , có đồ thị C với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc
đồ thị C có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị C tại A cắt đường
tròn
2
2
: 1 4 xy tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhấ t
A.
16
13
. B.
13
16
. C.
13
16
. D.
16
13
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3
3 y x x có đồ thị là () C .
1
M là điểm trên () C có hoành độ bằng 1
.
Tiếp
tuyến tại điểm
1
M cắt () C tại điểm
2
M
khác
1
M . Tiếp tuyến tại điểm
2
M cắt () C tại điểm
3
M
khác
2
M . Tiếp tuyến tại điểm
1 n
M
cắt () C tại điểm
n
M
khác
1
4,
n
M n n N
?
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện
21
3 2 0.
nn
yx
A. 7 n . B. 8 n . C. 22 n . D. 21. n
Phân tích
Từ đề bài ta thấ y cần quy đổi ,
nn
xy theo n .
Mặt khác hoành độ các điểm
1 2 1
, ,..., ,
nn
M M M M
có thể có mối liên hệ với nhau và ta cần
tìm mối liên hệ này.
Các điểm
21
,..., ,
nn
M M M
là giao điểm của của các tiếp tuyến tại
1 2 1
, ,...,
n
M M M
với () C
nên ta có thể thực hiện như sau:
+ Viết phương trình ti ếp tuyến của () C tại điểm ;
n n n
M x y .
+ Tìm giao đi ểm
1 n
M
của tiếp tuyến với () C từ đó chỉ ra mối liên hệ giữa
n
x và
1 n
x
từ
đó thiết lậ p liên hệ giữa
n
x và n .
Lời giải
Chọn B
Phương trình ti ếp tuyến
n
của C tại điểm
3
;3
n n n n
M x x x :
23
: 3 3 3 .
n n n n n
y x x x x x
Gọi
1 n
M
là giao điểm khác
n
M của C và tiếp tuyến
n
.
Hoành độ
1 n
x
của
1 n
M
là nghiệm phương trình:
3 2 3
3 3 3 3
n n n n
xx xx x x x
22
. 2 0
n n n
x x x x x x
2
n
n
xx
xx
Do đó
1
2
nn
x x
nên hoành độ các điểm
1 2 1
, ,..., ,
nn
M M M M
lậ p thành cấ p số nhân
n
x có
1
1 x và công bội 2 q
11
1
2 2 .
nn
n
x x
Từ giả thiết
21
3 2 0
nn
yx
Suy ra
3 21
20
n
x
33
21
2 2 0
n
8. n
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
2
x
y
x
có đồ thị C và điểm
00
; M x y C
0
0 x . Biết rằng khoảng
cách từ 2;2 I đến tiếp tuyến của C tại M là lớn nhấ t, mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
00
20 xy . B.
00
22 xy . C.
00
22 xy . D.
00
24 xy .
Phân tích
+ Viết phương trình ti ếp tuyến của C tại
00
; M x y theo ẩn
0
x .
+ Tính khoảng cách d từ 2;2 I đến ta được một biểu thức với biến
0
x .
+ Tìm giá trị lớn nhấ t của biểu thức vừa lậ p ta chỉ ra được
0
x .
Lời giải
Chọn D
Phương trình ti ếp tuyến của C tại M có dạng
0 0 0
:. y y x x x y .
Ta có
00
; M x y C
0
0
0
2
2
x
y
x
Lại có
2
4
2
y
x
0 2
0
4
2
yx
x
.
Do đó
0
0 2
0
0
2 4
:.
2
2
x
y x x
x
x
2
0 0 0 0
: 2 4 4 2 2 y x x x x x
2
2
00
: 4 2 2 0 x x y x
2
2
00
4
2
0
8 2 2 2
;
42
xx
dI
x
0
4
0
16 8
2 16
x
x
2
0 2
0
8
16
2
2
x
x
.
Áp dụng bấ t đẳ ng thức Côsi ta có
22
0022
00
16 16
2 2 2 . 8 0
22
xx
xx
;1 d I d .
Dấ u “ ” xảy ra
2
0 2
0
16
2
2
x
x
2
0
24 x
0
0
0
4
x
x
Do
0
0 x nên
0 0 0 0
4 4 2 4 x y x y .
Bài tập tương tự:
Câu 1: Cho hàm số
2
3 y x x có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị C thỏa mãn
tiếp tuyến của C tại M cắt C tại điểm A (khác M ) và cắt Ox tại điểm B sao cho M
là trung điểm của đoạn AB ?
A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 .
Ví dụ 4: Cho các hàm số y f x ,
y f f x ,
2
4 y f x có đồ thị lần lượt là
1
C ,
2
C ,
3
C . Đường thẳ ng 1 x cắt
1
C ,
2
C ,
3
C lần lượt tại M , N , P . Biết phương trình
tiếp tuyến của
1
C tại M và của
2
C tại N lần lượt là 32 yx và 12 5 yx . Phương
trình tiếp tuyến của
3
C tại P là
A. 43 yx . B. 81 yx . C. 25 yx . D. 34 yx .
Phân tích
Để viết phương trình ti ếp tuyến của
2
3
:4 C y h x f x ta cần tính 1 h và
15 hf
Phương trình ti ếp tuyến của
1
: C y f x là 32 yx suy ra 13 f và 15 f .
Phương trình ti ếp tuyến của
2
: C y g x f f x là 12 5 yx tính được 1 h và
5 f
Lời giải
Chọn B
Tiếp tuyến của
1
C tại
1; 1 Mf là 3 2 3 1 5 y x y x nên suy ra
13
15
f
f
.
Tiếp tuyến của
2
C tại
1; 1 M f f là 12 5 12 1 7 y x y x nên suy ra
1 . 1 12 54
57 17
f f f f
f ff
.
Do đó
1; 5 Pf hay 1;7 P .
Hơn nữa
22
4 2 . 4 f x x f x
, do đó 1 2. 5 8 ff .
Phương trình ti ếp tuyến 8 1 7 8 1 y x y x .
Ví dụ 5: Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị là đường
cong C và fx có đồ thị như hình v ẽ. Tiếp tuyến của
đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt C tại hai
điểm phân biệt lần lượt có hoành độ là , ab . Chọn khẳ ng
định đúng trong các khẳ ng định sau:
A. 44 ab . B. ,3 ab .
C.
22
10 ab . D. .0 ab .
Phân tích
Từ đồ thị fx ta có thể lậ p được bảng biến thiên của hàm số y f x và suy ra 10 f
.
Phương trình ti ếp tuyến của C tại điểm có hoành độ bằng 1 là
1 1 1 1 y f x f f
Như vậ y giao điểm của tiếp tuyến và C là giao điểm của đường thẳ ng 1 yf và C
nên ta có thể sử dụng bảng biến thiên để chỉ ra giá trị của , ab .
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị của fx ta có bảng biến thiên
Dễ thấ y 10 f do đó phương trình ti ếp tuyến của C tại điểm có hoành độ bằng 1 là
1 1 1 1 y f x f f .
Phương trình hoành đ ộ giao điểm của tiếp tuyến và C : 1 f x f .
Từ bảng biến thiên suy ra 1 a và 3 b nên
22
10 ab .
3. Bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Cho hàm số
3
2018 y x x có đồ thị là C .
1
M là điểm trên C có hoành độ
1
1 x
. Tiếp tuyến của C tại
1
M cắt C tại điểm
2
M khác
1
M , tiếp tuyến của C tại
2
M cắt
C tại điểm
3
M khác
2
M , tiếp tuyến của C tại điểm
1 n
M
cắt C tại điểm
n
M khác
1 n
M
4; 5;... n , gọi ;
nn
xy là tọa độ điểm
n
M . Tìm n để:
2019
2018 2 0
nn
xy .
A. 647 n . B. 675 n . C. 674 n . D. 627 n .
Bài tập 2: Cho hàm số
32
3x 2x 5 yx có đồ thị C . Có bao nhiêu cặp điểm thuộc đồ thị
C mà tiếp tuyến với đồ thị tại chúng là hai đường thẳ ng song song?
A. Không tồn tại cặp điểm nào. B. 1.
C. 2 . D. Vô số cặp điểm.
Bài tập 3: Biết rằng hàm số
2
xm
y
x
đồng biến trên các khoảng ;2 và 2; và tiếp
tuyến của đồ thị tại điểm
0
1 x cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác vuông cân. Tìm
giá trị của tham số m .
A. 3 m . B. 4 m . C. 5 m . D. 0 m .
Bài tập 4: Cho hàm số
4
2
5
3
22
x
y x C và điểm MC có hoành độ
M
xa . Có bao nhiêu
giá trị nguyên của a để tiếp tuyến của C tại M cắt C
tại hai điểm phân biệt khác M .
A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
Bài tập 5: Cho hàm số
21
22
x
y
x
có đồ thị C . Gọi
00
; M x y với
0
1 x là điểm thuộc C .
Biết tiếp tuyến của C tại M cắt tiệm cậ n đứng và tiệm cậ n ngang lậ n lượt tại A và B
sao cho 8
OIB OIA
SS
, trong đó I là giao điểm hai tiệm cậ n. Tính giá trị của
00
4 S x y .
A. 8 S . B.
17
4
S . C.
23
4
S . D. 2 S .
Bài tập 6: Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên thỏa mãn
23
1 2 1 f x x f x
. Viết phương trình ti ếp tuyến của đồ thị hàm số y f x
tại điểm có hoành độ bằng 1.
A.
16
77
yx . B.
18
77
yx . C.
18
77
yx . D.
6
7
yx .
Bài tập 7: Cho hàm số y f x xác định và nhậ n giá trị dương trên . Biết tiếp tuyến tại điểm
có hoành độ
0
1 x của hai đồ thị hàm số y f x và
2
fx
y
fx
có hệ số góc lần lượt là
1 và 2 . Tính 1 f
A. 12 f . B. 11 f . C. 14 f . D.
1
1
2
f
Bài tập 8: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Gọi
12
, dd lần lượt là tiếp tuyến của
đồ thị hàm số y f x và
2
34 y x f x tại điểm có hoành độ 2 x . Biết rằng hai đường
thẳ ng
12
, dd vuông góc với nhau. Khẳ ng định nào sau đây là đúng
A.
3 2 2 f . B.
23 f . C.
23 f . D.
2 2 2 3 f
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc.
1. Phương pháp
Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của c : y f x , biết có hệ số góc k cho
trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
Gọi
00
; M x y
là tiếp điểm. Tính
0
'. fx
có hệ số góc k
0
' f x k (1)
Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính
00
y f x . Từ đó viết phương trình của .
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
Phương trình đường thẳng có dạng: y kx m .
tiếp xúc với c khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
()
'( )
f x kx m
f x k
(*)
Giải hệ (*), tìm được m . Từ đó viết phương trình của .
Ch ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau:
+ tạo với chiều dương trục hoành góc thì tan k .
+ song song với đường thẳng d: y ax b thì ka .
+ vuơng góc với đường thẳng d: y ax b ( 0) a thì
1
k
a
+ tạo với đường thẳng d: y ax b một góc thì tan
1
ka
ka
2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số
32
1
( 1) (4 3 ) 1
3
y mx m x m x có đồ thị là
m
C . Tìm tấ t cả các giá
trị thực của tham số m sao cho trên đồ thị
m
C tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương
mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳ ng : 2 3 0 d x y .
A.
1 1 2
0; ;
3 2 3
m
. B.
1 1 5
0; ;
2 2 3
m
.
C.
1 1 8
0; ;
2 2 3
m
. D.
1 1 2
0; ;
2 2 3
m
.
Phân tích
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳ ng
13
:
22
d y x 22 ky
Trên đồ thị
m
C tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương 2 y có đúng 2 nghiệm
dương phân biệt.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
2( 1) 4 3 y mx m x m ;
13
:
22
d y x .
Theo yêu cầu bài toán phương trình 2 y có đúng 2 nghiệm dương phân biệt
2
2( 1) 2 3 0 mx m x m có đúng 2 nghiệm dương phân biệt
0
0
0
0
m
S
P
1
0
2
12
23
m
m
.
Vậ y, với
1 1 2
0; ;
2 2 3
m
thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 2. Cho hàm số
3
62 y x x có đồ thị là C và đường thẳ ng :1 d y mx m . Tìm giá
trị của tham số m để d cắt C tại ba điểm , A , B C sao cho tổng các hệ số góc tiếp
tuyến của đồ thị C tại , A , B C bằng 6 .
A. 3 m B. 1 m C. 1 m D. 2 m
Phân tích
d cắt C tại ba điểm , A , B C phương trình hoành đ ộ giao điểm có 3 nghiệm phân
biệt
1 2 3
,, x x x . Áp dụng Vi –et.Tổng các hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị C tại , A , B C
bằng 6
1 2 3
6 y x y x y x .
Lời giải
Chọn D.
+ Phương trình hoành đ ộ giao điểm của C và đường thẳ ng : d
33
6 2 1 6 3 0 1 . x x mx m x m x m
+ Giả sử phương trình 1 có 3 nghiệm phân biệt
1 2 3
, , . x x x Khi đó:
1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3
0
6.
3
x x x
x x x x x x m
x x x m
+ Theo giả thiết ta có:
222
1 2 3
3 6 3 6 3 6 6 xxx
2
1 2 3 1 2 2 3 1 3
3 6 24 0(*) x x x x x x x x x
3.0 6 6 24 0 2. mm
+ Thử lại 2 m thoả mãn đề bài.
Ví dụ 3. Tìm một tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
: 3 2 C y x x , biết tiếp tuyến cắt trục Ox ,
Oy lần lượt tại , A B thoả mãn 9 OB OA .
A. 97 yx . B. 9 25 yx . C. 9 25 yx . D. 97 yx .
Phân tích
Dựa vào hình vẽ
tan 9
tan 9
OB
k
OA
k
Tìm đư ợc
0 o
xy .
Viết phương trình ti ếp tuyến.
Lời giải
Chọn A.
Gọi điểm
32
0 0 0
; 3 2 M x x x là toạ độ tiếp điểm. Do 9, OB OA suy ra
2
0 0 0 0
2
0 0 00
9 2 3 0 1 9
.
93 9 2 3 0
fx x x x k
kx fx xx
Suy ra
97
.
9 25
yx
yx
Ví dụ tương tự: Cho hàm số y =
21
1
x
x
có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn
4 OA OB .
Lời giải
Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại
00
( ; ) ( ) M x y C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho 4O OA B
.
Do OAB vuông tại O nên
1
tan
4
OB
A
OA
Hệ số góc của d bằng
1
4
hoặc
1
4
.
Hệ số góc của d là
0 22
00
1 1 1
( ) 0
( 1) ( 1) 4
yx
xx
00
00
3
1 ( )
2
5
3 ( )
2
xy
xy
Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:
1 3 1 5
( 1)
4 2 4 4
1 5 1 13
( 3)
4 2 4 4
y x y x
y x y x
Ví dụ 4. Cho hàm số
32
3 9 1 y x x x có đồ thị là C . Viết phương trình ti ếp tuyến của C ,
biết tiếp tuyến tạo với đường thẳ ng :1 d y x một góc thỏa
5
cos
41
.
A.
1 9 321
9
99
yx
. B.
1 9 321
34
99
yx
.
C.
1 9 321
7
99
yx
. D. Đáp án khác.
Phân tích
Tiếp tuyến có hệ số góc
0
k y x .
Gọi
00
( ; ) M x y là tiếp điểm. Phương trình ti ếp tuyến tại M
.
Từ đó suy ra vecto pháp tuyến.
Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳ ng. Tìm đư ợc
k
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
' 3( 2 3) y x x . Gọi
00
( ; ) M x y là tiếp điểm
Phương trình ti ếp tuyến tại M :
0 0 0
'( )( ) y y x x x y
Hay 0 kx y b , Với
0
'( ) k y x
Theo bài ra ta có:
2
1
5
cos
41
1. 2
k
k
2 2 2
41( 1) 50( 1) 9 82 9 0 k k k k
1
9,
9
kk .
2
0 0 0 0
9 2 0 0, 2 k x x x x
Từ đó ta tìm đư ợc hai tiếp tuyến: 91 yx và 93 yx .
2
0 0 0
1 9 321
27 54 80 0
99
k x x x
.
Từ đó ta tìm đư ợc hai tiếp tuyến là:
0
1 9 321
()
99
y x y x
.
Ví dụ tương tự: Cho hàm số
2
23
x
y
x
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
rằng tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc bằng 45
0
Lời giải
Ta có:
'
2
1
(2 3)
y
x
Vì tiếp tuyến tạo với Ox một góc 45
0
nên hệ số góc là: 1 k
Khi đó gọi
00
; M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có
'
0
( ) 1 yx
0
2
0 0
2
1
1
1 (2 3)
x
x x
Với
0
1 x thì
0
1 y lúc đó tiếp tuyến có dạng yx
Với
0
2 x thì
0
4 y lúc đó tiếp tuyến có dạng 2 yx
Vậy tiếp tuyến cần tìm là yx và 2 yx
Ví dụ 5. Cho hàm số
32
1
( 1) (4 3 ) 1
3
y mx m x m x có đồ thị là
m
C . Tìm tấ t cả các giá trị
thực của tham số m sao cho trên đồ thị
m
C tồn tại một điểm duy nhấ t có hoành độ âm
mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳ ng : 2 3 0 d x y .
A. 12 m hoặc
2
3
m . B. 0 m hoặc 1 m . C. 1 m hoặc
1
3
m . D. 0 m hoặc
2
3
m .
Phân tích: Dễ thấ y d có hệ số góc
1
2
tiếp tuyến có hệ số góc 2 k hay '2 y .
Giải và biện luậ n phương trình '2 y ta được giá trị m cần tìm {Lưu ý r ằng phương trình
'2 y phải có một nghiệm âm}
Lời giải
Chọn D
d có hệ số góc
1
2
tiếp tuyến có hệ số góc 2 k . Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì:
22
' 2 2( 1) (4 3 ) 2 2( 1) 2 3 0 y mx m x m mx m x m
Theo bài toán, phương trình có đúng một nghiệm âm.
Nếu 0 m thì 2 2 1 xx (không thỏa)
Nếu 0 m thì dễ thấ y phương trình có 2 nghiệm là 1 x hay
23m
x
m
.
Do đó để có một nghiệm âm thì
23
00
m
m
m
hoặc
2
3
m .
3. Bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho hàm số
32
6 9 4 y x x x có đồ thị C . Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhấ t
của C đi qua điểm nào dưới đây?
A. 1;5 . B. 2;4 . C. 3; 5 . D. 0; 4 .
Bài tập tương tự: Cho hàm số
3 2 2
1
1 3 2 2
3
y x m x m x m m , với m là tham
số. Gọi S là tậ p hợp tấ t cả các giá trị của m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhấ t của đồ thị
hàm số đi qua 1;3 A . Khi đó tổng các phầm tử của S bằng
A. 1. B. 9 . C. 9 . D. 1 .
Bài 2. Cho hàm số
3
1
x
y
x
có đồ thị C . Đường thẳ ng d tiếp xúc với C tại điểm có
tung độ dương, cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại A , B (AB ) mà 49 OA OB . Tính độ
dài đoạn AB .
A.
11 97
36
AB . B.
37 97
36
AB . C.
11 13
6
AB . D.
37 13
6
AB
Bài 3. Cho hàm số
32
1
x
y
x
có đồ thị C . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cậ n
của C . Viết phương trình ti ếp tuyến của C , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cậ n đứng,
tiệm cậ n ngang của C lần lượt tại , AB mà
5
cos
26
BAI .
A. 52 yx và 5 18 yx . B. 52 yx và 5 18 yx .
C. 52 yx và 5 18 yx . D. 52 yx và 5 18 yx
Bài 4. Cho hàm số
23
1
x
y
x
có đồ thị (C). Tìm các giá trị thực của k biết tồn tại hai tiếp
tuyến phân biệt của (C) có cùng hệ số góc bằng k , đồng thời đường thẳ ng đi qua hai tiếp
điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục , Ox Oy lần lượt tại , AB sao cho OA OB
A. 1 k . B. 1 k C. 2 k . D. 1 k và 1 k .
Bài 5. Cho hàm số
32
31 y x x có đồ thị (C). Trên (C) có hai điểm , AB sao cho tiếp
tuyến của C tại , AB song song với nhau và 42 AB . Tính
22
AB
yy .
A. 8 . B. 13. C. 10 . D. 17 .
Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua
1. Phương pháp
x
y
(C)
M(x
0
,y
0
)
N(x
1
,y
1
)
Để viết phương trình ti ếp tuyến của đồ thị() C của hàm số () y f x biết tiếp tuyến đi qua
00
( ; ) M x y ta có thể dùng 2 phương pháp sau:
Phương pháp 1:
ọi d là đường thẳ ng qua
00
( ; ) M x y với hệ số góc là k , khi đó d có phương trình:
00
() y k x x y
ều kiện để d tiếp xúc với () C là:
00
( ) ( )
'( )
k x x y f x
k f x
(I)
ải hệ (I) bằng cách thay k từ phương trình dư ới lên phương trình trên.
Chú ý: số nghiệm của hệ (I) chính là số tiếp tuyến kẻ từ
00
( ; ) M x y đến đồ thị () C
Phương pháp 2:
ọi
11
( ; ( )) ( ) N x f x C là tiếp điểm (nếu có) của tiếp tuyến cần tìm, phương trình ti ếp tuyến
tại N là:
1 1 1
'( )( ) ( ) (*) y f x x x f x .
ếp tuyến này qua
00
( ; ) M x y nên thay tọa độ M vào ta được một phương trình theo
1
x .
ải phương trình này, thay
1
x vừa tìm đư ợc vào phương trình (*) ta đư ợc phương trình các
tiếp tuyến cần tìm.
2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1:Cho hàm số
3
34 y x x có đồ thị (C). Từ điểm 1;3 M có thể kẻ được bao nhiêu
tiếp tuyến với đồ thị hàm số C ?
A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.
Phân tích:
Bài này hỏi số tiếp tuyến nên ta giả i theo cách tìm phương trình tiếp tuyến của () C đi qua
M . Ta có thể dùng phương pháp 1 hoặc phương pháp 2 đều được nhưng chỉ cần tìm ra bao
nhiêu hệ số góc k là được. Cụ thể:
Hướ ng dẫn giải
Chọn A
Đường thẳ ng đi qua 1;3 M có hệ số góc k có dạng: 1 3 y k x d .
Điều kiện để d là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3
2
3 4 1 3 1
3 12 2
x x k x
xk
. Thay 2 vào 1 ta được:
3 2 3 2
0
3
3 4 3 12 1 3 8 12 0
3
24
2
x
k
x x x x x x
k x
Vậ y có 2 tiếp tuyến.
Ví dụ tương tự: Cho đồ thị
3
( ) : 3 1 C y x x , phương trình ti ếp tuyến với C biết tiếp
tuyến đi qua điểm ( 2; 1) A có phương trình
A. 1, 9 17 y y x B. 9 17, 9 17 y x y x
C. 1, 9 17 y y x D. 9 17, 9 17 y x y x
Hướng dẫn giải :
Chọn A
Ta có:
2
' 3 3 yx
Gọi M
3
0 0 0
; 3 1 x x x là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến là
2
00
'( ) 3 3 y x x .
Phương trình tiếp tuyến với C tại M là :
32
0 0 0 0
3 1 (3 3)( ) y x x x x x
qua 2; 1 A nên ta có:
32
0 0 0 0
1 3 1 (3 3)( 2 ) x x x x
32
00
3 4 0 xx
00 2
0 0 0
00
11
( 1)( 4 4) 0
21
xy
x x x
xy
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: : 1; : 9 17 y y x
Ví dụ 2: Cho hàm số
21
1
x
y
x
có đồ thị là C . Gọi I là giao điểm hai tiệm cậ n của C
. Tìm đi ểm M thuộc C có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến của C tại M vuông góc
với đường thẳ ng MI .
A. 2;3 M . B.
5
3;
2
M
. C.
7
4;
3
M
. D. 5;3 M .
Phân tích:
Trước tiên xác định tọa độ I , sau đó viết phương trình tiếp tuyến tổng quát tại một điểm
() MC . Dùng điều kiện IM vuông góc với tiếp tuyến tại M để tìm M .
Chú ý: Đối với trắc nghiệm ta có thể thử tại các điểm M của đáp án. Tức là ta tính '( )
M
yx
và hệ số góc của đường thẳng IM . Nếu tích . '( ) 1
IM M
k y x thì điểm M đó thỏa yêu cầu
bài toán.
Hướ ng dẫn giải
Chọn A
Giao điểm của hai tiệm cậ n là 1;2 I . Gọi
0
0
0
2x 1
;
1
M x C
x
.
Phương trình ti ếp tuyến của C tại M là
0
0 2
00
21 1
( 1) 1
x
y x x
xx
.
Phương trình đ ường thẳ ng MI :
2
0
1
( 1) 2
( 1)
yx
x
.
Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có:
22
0
11
.1
11
o
xx
0
00
0 ( )
23
x loai
xy
.
Vậ y điểm cần tìm là 2;3 M .
Ví dụ 3: Gọi () C là đồ thị của hàm số:
22
1
x
y
x
, khoảng cách từ điểm 1;2 I đến các
tiếp tuyến của () C lớn nhấ t là:
A. 4 B. 22 C. 32 D.
33
2
Phân tích:
Bài này chúng ta cũng giải theo hướng viết phương trình tổng quát một tiếp tuyến bất kì của
() C , sau đó đánh giá khoảng cách từ I đến tiếp tuyến đó để suy ra khoảng cách lớn nhất.
Hướ ng dẫn giải:
Chọn A
Gọi là tiếp tuyến của đồ thị C tại tiếp điểm M
22
; , ( )
1
a
a M C
a
.
Ta có:
22
44
' '( ) , 1
( 1) ( 1)
y y a a
xa
Vậy
22
2
2 2 4
: ( ) 4 ( 1) 2 4 2 0 (*)
1 ( 1)
a
y x a x a y a a
aa
22
44
4( 1) ( 1) .2 2 4 2
81
;
4 ( 1) 4 ( 1)
a a a
a
dI
aa
.
Ta có:
2
4 2 2 2 4 2
4 ( 1) 2 ( 1) 2.2( 1) 4 ( 1) 2.2( 1) 2 1 a a a a a a
81
;4
21
a
dI
a
. Vậy ; dI lớn nhất khi ;4 dI
22
1 2 1
2 ( 1)
1 2 3
aa
a
aa
. Cả hai giá trị đều thỏa mãn 1 a
Vậy khoảng cách lớn nhất từ I đến các tiếp tuyến của () C là 4 .
Ví dụ 4:Có bao nhiêu điểm trên Oy mà từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đổ thị C :
2
2
x
y
x
?
A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
Phân tích :
Ta giả i theo hướng viết phương trình tiếp tuyến của () C biết tiếp tuyến đó đi qua một điểm
trên Oy , sau đó tìm điều kiện để hệ phương trình (nếu giả i theo phương pháp 1) hay phương
trình (nếu giả i theo phương pháp 2) có đúng một nghiệm.
Chú ý : Phương trình bậc hai có một nghiệm khi 0
Hướ ng dẫn giải:
Chọn A
Lấ y (0; ) A a Oy . Đường thẳ ng d đi qua A có hệ số góc k có phương trình y kx a .
d là tiếp tuyến với (C)
2
2
(1)
2
4
(2)
2
x
kx a
x
k
x
có nghiệm
Thay (2) vào (1) ta được:
2
2
24
( ) ( 1) 4( 1) 4 4 0 (*)
2
2
xx
a g x a x a x a
x
x
Để từ A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến () C thì phương trình (*) có duy nh ấ t 1 nghiệm x
khác 2.
Xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: 1 0 1 aa . Khi đó (*) trở thành: 8 8 0 1 xx (thỏa mãn)
Trường hợp 2:
10
(2) 8 0 1
' 8 8 0
a
ga
a
. Khi đó (*) có nghiệm 0 x ( thỏa mãn)
Vậ y tìm đư ợc 2 điểm thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 5:Cho hàm số
32
6 9 9 y x x x có đồ thị () C . Gọi() d là tiếp tuyến của () C tại
() AC có 4
A
x . Tìm trên () d các điểm M sao cho từ mỗi điểm ấ y vẽ được đúng 3 tiếp
tuyến với () C .
A. Các điểm M có hoành độ m thỏa mãn
10
; 2 ; / 4 .
3
m
B. Các điểm M có hoành độ m thỏa mãn
10
; 2 ; .
3
m
C. Các điểm M có hoành độ m thỏa mãn
D. Không có điểm M nào thỏa mãn.
Phân tích:
Ví dụ này khá tương tự ví dụ 4,trước tiên ta viết phương trình của d . Sau đó viết phương
trình tiếp tuyến của () C biết tiếp tuyến đi qua 1 điểm trên d . Cuối cùng tìm điều kiện
để hệ phương trình (hoặc phương trình) có đủ ba nghiệm phân biệt.
Hướ ng dẫn giải:
Chọn A
Do A thuộc (C) nên (4;5) A . Phương trình ti ếp tuyến của C tại A là:
'(4)( 4) 5 9 41 y f x y x
Giả sử ( ; 9 41) M m m là một điểm trên () d . Xét đư ờng thẳ ng bấ t kì qua M và có hệ
số góc k khi đó : ( ) 41 9 y k x m m .
tiếp xúc với () C Hệ
32
2
6 9 9 ( ) 41 9 (1)
3x 12 9 (2)
x x x k x m m
xk
có nghiệm
Thay (2) vào (1) ta được:
3 2 2
2
2
6 9 9 3 12 9 41 9
4 2 2 3 8 0
4
2 2 3 8 0 (3)
x x x x m x x m
x x m x
x
x m x
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến với() C thì (3) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 4
2
2
9 12 60 0
10
48 12 0 3
4
m
mm
m
m
m
Vậy , những điểm trên() d mà từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến với () C là những điểm có hoành độ
m thỏa mãn:
10
; 2 ; \ 4 .
3
m
3. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Cho hàm số
3
1
x
y
x
có đồ thị là C , điểm M thay đổi thuộc đường thẳ ng
: 1 2 d y x sao cho qua M có hai tiếp tuyến của C với hai tiếp điểm tương ứng là , AB
. Biết rằng đường thẳ ng AB luôn đi qua điểm cố định là K . Độ dài đoạn thẳ ng OK là
A. 58 . B. 34 . C. 29 . D. 10
Bài tập 2: Cho hàm số
3
3 y x x có đồ thị C và điểm ;2 Aa . Gọi S là tậ p hợp tấ t cả các
giá trị thực của a để có đúng ba tiếp tuyến của C đi qua A . Tậ p hợp S bằng
A. ;1 S . B. S .
C.
2
; 2;
3
S
. D.
2
;2
3
S
Bài tập 3: Cho hàm số
32
31 y x x có đồ thị C . Hỏi trên trục Oy có bao nhiêu điểm A
mà qua A có thể kẻ đến C đúng ba tiếp tuyến?
A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2
Bài tập 4: Cho đồ thị
2
:1
2
x
C y x x . Gọi 0; Mm là điểm trên trục tung mà từ đó ta
kẻ được ít nhấ t một tiếp tuyến đến đồ thị C . Biết tậ p hợp các giá trị của m là nửa khoảng
; ab . Giá trị của ab bằng
A. 1. B.
1
2
. C.
1
2
. D. 1
Bài tập 5: Cho hàm số
2
1
x
y
x
có đồ thị (C) và điểm (0; ). Aa Gọi S là tậ p hợp tấ t cả các giá trị
thực của a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến AM, AN đến (C) với , MN là các tiếp điểm và
4 MN . Tổng các phần tử của S bằng
A. 4. B. 3. C. 6. D. 8.
Dạng 4: Tiếp tuyến chung của hai đường cong
Bài toán tổng quát: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số
1
: C y f x và
2
: C y g x .
1. Phương pháp
* Bướ c 1. Gọi d tiếp tuyến chung của
12
, CC và
0
x là hoành độ tiếp điểm của d với
1
C thì phương trình d có dạng:
0 0 0
. y f x x x f x *
* Bướ c 2. Dùng điều kiện tiếp xúc của d và
2
C , ta tìm đư ợc
0
x .
* Bướ c 3. Thế
0
x vào * ta được tiếp tuyến cần tìm.
* Chú ý. Số nghiệm
0
x chính là số tiếp tuyến chung của
1
C và
2
C .
2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho parabol
2
: 8 4 P y x x và đồ thị
32
:4 C y x x . Giả sử tiếp tuyến chung
của parabol P và đồ thị C có phương trình là y ax b . Giá trị của
3
ab bằng
A. 27. B. 27 . C. 64 D. 64 .
Phân tích:
Gọi d là tiếp tuyến chung của parabol P và đồ thị C .
Ta nên gọi
0
x là hoành độ tiếp điểm của d với P hay C ???
* Nếu ta gọi
0
x là hoành độ tiếp điểm của d với P thì đư ờng thẳ ng d có phương trình
dạng:
22
0 0 0 0 0 0
2 8 8 4 2 8 4 y x x x x x y x x x
Khi đó d tiếp xúc với C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3 2 2
00
2
0
4 2 8 4 1
3 8 2 8 2
x x x x x
x x x
Rút
0
x từ 2 rồi thay vào 1 ta được phương trình đa th ức theo ẩn x . Giải phương trình này
sẽ
tìm đư ợc x . Thay x vào 2 ta sẽ tìm đư ợc
0
x từ đó suy ra phương trình ti ếp tuyến.
* Nếu ta gọi
0
x là hoành độ tiếp điểm của d với C thì đư ờng thẳ ng d có phương trình
dạng:
2 3 2 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 8 4 3 8 2 4 y x x x x x x y x x x x x
Khi đó d tiếp xúc với P khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
2 2 3 2
0 0 0 0
2
00
8 4 3 8 2 4 3
2 8 3 8 4
x x x x x x x
x x x
Rút x từ 4 thay vào 3 ta được phương trình đa th ức theo
0
x . Giải phương trình này s ẽ
tìm đư ợc
0
x từ đó suy ra phương trình ti ếp tuyến.
* Như vậ y ta có thể gọi
0
x là hoành độ tiếp điểm của d với P hay C đều thực hiện được
lời
giải. Tuy nhiên cách gọi phía trên cho ta phép thế đơn giản hơn.
Lời giải
Chọn C
Gọi d là tiếp tuyến chung của parabol P và đồ thị C .
Gọi
0
x là hoành độ tiếp điểm của d với P thì đư ờng thẳ ng d có phương trình d ạng:
22
0 0 0 0 0 0
2 8 8 4 2 8 4 * y x x x x x y x x x
Khi đó d tiếp xúc với C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3 2 2
00
2
0
4 2 8 4 1
3 8 2 8 2
x x x x x
x x x
Thay
0
x từ 2 vào 1 ta có:
2
2
3 2 2
3 8 8
4 3 8 4 3
2
xx
x x x x x
Rút gọn phương trình 3 , ta được phương trình tương đương:
4 3 2
9 56 128 128 48 0 4 x x x x
32
2 9 38 52 24 0 x x x x
2
2
2 9 20 12 0 2 x x x x
Với 2 x thay vào 2 ta có
0
2 x thay vào * ta có phương trình ti ếp tuyến là: 4 yx .
Do
đó
3
4, 0 64 a b a b .
Bình luận:
* Mấ u chốt của bài toán là ta cần giải phương trình b ậ c cao (phương trình (4)):
+ Sử dụng mode 7 ta sẽ rà được nghiệm đẹp 2 x , từ đó đưa được về phương trình b ậ c 3, sử
dụng mode 5, 4 ta sẽ tìm đư ợc các nghiệm còn lại.
+ Nếu phương trình b ậ c cao có nghiệm vô tỷ (không có nghiệm hữu tỷ) thì ta thư ờng đưa về
nhân tử có chứa bậ c hai
2
ax bx c .
Bài tập tương tự ví dụ 1: Cho parabol
2
:1 P y x và đồ thị
42
:2 C y x x . Giả sử
các
tiếp tuyến chung của parabol P và đồ thị C có phương trình là , y ax b y cx d . Giá
trị
của a b c d bằng
A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 0 .
Hướ ng dẫn giải
Chọn D
Gọi d là tiếp tuyến chung của parabol P và đồ thị C .
Gọi
0
x là hoành độ tiếp điểm của d với P thì đư ờng thẳ ng d có phương trình d ạng:
2
0 0 0
21 y x x x x
2
00
2 1 * y x x x
Khi đó d tiếp xúc với C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
4 2 2
00
3
0
2 2 1 1
22
x x x x x
x x x
Thay
0
x từ 2 vào 1 ta có:
3 2 6 4 2 4 2
4 2 4 4 1 2 x x x x x x x
6 4 2
4 7 2 1 0 x x x
2
2
1
1
1
4
x
x
xl
Với 1 x thay vào 2 ta có
0
1 x thay vào * ta có phương trình ti ếp tuyến là: 2 yx . Do
đó 2, 0 ab .
Với 1 x thay vào 2 ta có
0
1 x thay vào * ta có phương trình ti ếp tuyến là: 2 yx
. Do đó đó 2, 0 cd .
Vậ y 0 a b c d .
Ví dụ 2: Cho các đồ thị
3
1
1
:3
3
C y x x và
32
2
1
:4
3
C y x x x . Giả sử tiếp tuyến
chung của các đồ thị
1
C và
2
C có phương trình là y ax b . Giá trị của . ab là
A. 1. B. 3 . C. 1. D. 3.
Phân tích:
Gọi d là tiếp tuyến chung của các đồ thị
1
C và
2
C .
Gọi
0
x là hoành độ tiếp điểm của d với
1
C thì đư ờng thẳ ng d có phương trình d ạng:
2 3 2 3
0 0 0 0 0 0
11
3 3 3 3 3 2
33
y x x x x x y x x x
Khi đó d tiếp xúc với
2
C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3 2 2 3
00
22
0
11
4 3 3 2 1
33
2 4 3 3 2
x x x x x x
x x x
Đến đây ta nhậ n thấ y các biến x và
0
x trong hai phương trình đ ều có bậ c lớn hơn hoặc bằng
2.
Do đó dùng phương pháp thế như trong ví dụ 1 sẽ không khả thi.
Cách giải quyết ???
Xét phương trình 2 ta có:
2
00
0
2
2 3 3 3,
0
2
1
2 1 3 3,
VP x x
x
x
VT x x
Sau đó ta sẽ suy ra kết quả.
Lời giải
Chọn A
Gọi d là tiếp tuyến chung của các đồ thị
1
C và
2
C .
Gọi
0
x là hoành độ tiếp điểm của d với
1
C thì đư ờng thẳ ng d có phương trình d ạng:
2 3 2 3
0 0 0 0 0 0
11
3 3 3 3 3 2 *
33
y x x x x x y x x x
Khi đó d tiếp xúc với
2
C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3 2 2 3
00
22
0
11
4 3 3 2 1
33
2 4 3 3 2
x x x x x x
x x x
Ta có:
2
00
2
2 3 3 3,
2 1 3 3,
VP x x
VT x x
Do đó
2
0
0
2
3 3 3
0
2
1
1 3 3
x
x
x
x
thay vào 1 thỏa mãn.
Với
0
0 x thay vào phương trình * ta có phương trình ti ếp tiếp tuyến chung của các đồ thị
1
C
và
2
C là:
1
3 . 1
3
y x a b .
Bình luận:
Mấ u chốt của cách giải bài toán là ta đánh giá được hai vế của phương trình 2 .
Bài tập tương tự ví dụ 2: Cho các đồ thị
32
1
1
:3
3
C y x x x và
3
2
11
:2
33
C y x x . Giả sử tiếp tuyến chung của các đồ thị
1
C và
2
C có phương
trình là y ax b . Giá trị của . ab bằng
A.
3
2
. B.
2
3
. C.
3
2
. D.
2
3
.
Hướ ng dẫn giải
Chọn B
Gọi d là tiếp tuyến chung của
1
C và
2
C .
Gọi
0
x là hoành độ tiếp điểm của d với
2
C thì đư ờng thẳ ng d có phương trình d ạng:
23
0 0 0 0
11
22
33
y x x x x x
23
00
21
2*
33
y x x x
Khi đó d tiếp xúc với
1
C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3 2 2 3
00
22
0
1 2 1
32
3 3 3
2 3 2 1
x x x x x x
x x x
Từ 1 ta có
22
0
2 3 2 x x x
2
2
0
12 xx
Vì
2
1 0, xx và
2
0
0, xx nên 2 có nghiệm
0
0 x .
Với
0
0 x thay vào * ta có tiếp tuyến
1
:2
3
d y x
1
2,
3
ab
Vậ y
2
.
3
ab
Ví dụ 3: Cho parabol
2
: 3 6 P y x x và đồ thị
32
:3 C y x x . Có bao tiếp tuyến
chung của parabol P và đồ thị C ?
A. 1. B. 4 . C. 3 D. 2 .
Phân tích:
Làm tương tự như ví dụ 1, sau đó đưa về bài toán tìm số nghiệm của phương trình b ậ c cao
(phương trình b ậ c 4).
Lời giải
Chọn D
Gọi d là tiếp tuyến chung của parabol P và đồ thị C .
Gọi
0
x là hoành độ tiếp điểm của d với P thì đư ờng thẳ ng d có phương trình d ạng:
22
0 0 0 0 0 0
2 3 3 6 2 3 6 y x x x x x y x x x
Khi đó d tiếp xúc với C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3 2 2
00
2
0
3 2 3 6 1
3 2 2 3 2
x x x x x
x x x
Thay
0
x từ 2 vào 1 ta có:
2
2
3 2 2
3 2 3
3 3 2 6 3
2
xx
x x x x x
Rút gọn phương trình 3 , ta được phương trình tương đương:
4 3 2 3 2
32
1
9 20 26 12 3 0 1 9 11 15 3 0
9 11 15 3 0
x
x x x x x x x x
x x x
Xét hàm số
32
9 11 15 3 f x x x x . Ta có
2
27 22 15 0, f x x x x suy ra hàm số
32
9 11 15 3 f x x x x đồng biến
trên
. Mà phương trình b ậ c ba luôn luôn có ít nhấ t một nghiệm thực. Do đó phương trình
32
9 11 15 3 0 x x x có duy nhấ t một nghiệm thực (nghiệm duy nhấ t này khác 1). Tức là
có
hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài.
Bình luận:
Chúng ta có thể sử dụng mode5,4 để biết phương trình
32
9 11 15 3 0 x x x có duy nhấ t
một
nghiệm khác 1.
Bài tập tương tự ví dụ 3:
Cho parabol
2
: 5 1 P y x x và đồ thị
32
: 2 4 C y x x x . Có bao tiếp tuyến chung
của parabol P và đồ thị C ?
A. 1. B. 4 . C. 3 D. 2 .
Ví dụ 4: Cho parabol
2
: P y x m và đồ thị
4
:
1
Cy
x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên
của
tham số m nhỏ hơn 2019 sao cho parabol P và đồ thị C có tiếp tuyến chung ?
A. 2025. B. 2026 . C. 2024 D. 2027.
Phân tích:
Làm tương tự ví dụ 1, sau đó quy về bài toán tìm đi ều kiện của tham số m để phương trình có
nghiệm.
Lời giải
Chọn B
Gọi d là tiếp tuyến chung của parabol P và đồ thị C .
Gọi
0
x là hoành độ tiếp điểm của d với P thì đư ờng thẳ ng d có phương trình d ạng:
22
0 0 0 0 0
22 y x x x x m y x x x m
Khi đó d tiếp xúc với C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
2
00
0 2
4
21
1
4
22
1
x x x m
x
x
x
1 x
Thay
0
x từ 2 vào 1 ta có:
2 4 4 2
4 1 4
4 4 4 4 4
11
1 1 1 1
x
x
mm
xx
x x x x
42
42
4 4 8 1
4 4 8 , 0 1
11
11
m t t t t
xx
xx
Xét hàm số
42
4 4 8 , 0 f t t t t t
Ta có
3 3 2
16 8 8 0 2 1 0 1 2 2 1 0 1 f t t t t t t t t t
Bảng biến thiên của
42
4 4 8 , 0 f t t t t t
YCBT 1 có nghiệm 0 t khi và chỉ khi 8; \ 0 m .
Do m nguyên nhỏ hơn 2019 nên có 2026 giá trị của m thỏa mãn đề bài.
Bình luận:
+ Sau khi thay
0
x từ 2 vào 1 ta đã đưa phương trình v ề phương trình đa th ức theo
1
1 x
.
+ Học sinh dễ mắc sai lầm khi không xét 0 m .
Bài tập tương tự ví dụ 4: Cho parabol
2
: P y x x m và đồ thị
2
:
1
x
Cy
x
. Có
bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m không lớn hơn 100 sao cho parabol P và đồ thị C có
tiếp
tuyến chung ?
A. 119 . B. 120. C. 121 D. 122 .
Ví dụ 5: Cho parabol
2
:4 P y x x m và đồ thị
85
:
21
x
Cy
x
. Tìm tấ t cả các giá trị
của
tham số m sao cho parabol P và đồ thị C có tiếp tuyến chung thỏa mãn hoành độ tiếp điểm
của tiếp tuyến chung đó với đồ thị C thuộc nửa khoảng
13
;
24
.
A. 0 m . B. 1 m . C. 1 m . D. 2 m .
Phân tích:
Làm tương tự ví dụ 4, sau đó quy về bài toán tìm đi ều kiện của tham số m để phương trình có
nghiệm thuộc một miền cho trước.
Lời giải
Chọn A.
Gọi d là tiếp tuyến chung của parabol P và đồ thị C .
Gọi
0
x là hoành độ tiếp điểm của d với P thì đư ờng thẳ ng d có phương trình d ạng:
22
0 0 0 0 0 0
2 4 4 2 4 y x x x x x m y x x x m
Khi đó d tiếp xúc với C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
2
00
0 2
85
2 4 1
21
2
2 4 2
21
x
x x x m
x
x
x
1 x
Thay
0
x từ 2 vào 1 ta có:
2
22
8 5 2 1
2
21
2 1 2 1
xx
m
x
xx
42
42
1 5 2 1
8 5 2 8, 0 1
2 1 2 1
2 1 2 1
m m t t t t
xx
xx
Ta có
1 3 1 1
; 0 2 1 2 2
2 4 2 2 1
x x t
x
.
YCBT 1 có nghiệm 2 t .
Xét hàm số:
42
5 2 8, 2 f t t t t t ta có:
32
4 10 2 2 2 5 2 0, 2 f t t t t t t
Do đó
42
5 2 8 f t t t t đồng biến 2 t .
Do đó 1 có nghiệm 2 t 20 mf .
Bài tập tương tự ví dụ 5: Cho parabol
2
1
:
2
P y x m và đồ thị
2
1
:
1
xx
Cy
x
. Có
bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 20 sao cho parabol P và đồ thị C có tiếp
tuyến chung ?
A. 20 . B. 21. C. 18 . D. 19 .
3. Bài tập tự luyện
Câu 42: Cho hàm số
2
22 y x x có đồ thị
1
C và hàm số
2
y x m có đồ thị
2
C . Có bao
nhiêu giá trị m nguyên dương để đồ thị
1
C và
2
C có đúng hai tiếp tuyến chung.
A. 0 . B. 1. C.2 . D. 3 .
Câu 43: Biết rằng đường thẳ ng : y ax b là tiếp tuyến chung của đồ thị hàm số
3
1
:2 C y x x và đồ thị hàm số
2
2
:3 C y x . Tính 3 P a b .
A. 7 . B. 10 . C. 12. D. 14 .
Câu 44: Đồ thị hàm số
3
1
: 3 1 C y x x và đồ thị hàm số
3
2
2
: 4 1
3
x
C y x x có bao nhiêu
đường tiếp tuyến chung?
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 45: S là tậ p tấ t cả các giá trị của tham số m để hai đồ thị hàm số
3
1
: 2 1 C y x x và đồ
thị hàm số
53
2
8
: 18
53
xx
C y x m có tiếp tuyến chung. Tính tổng các phần tử của S .
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 2 .
Câu 46: Cho các đồ thị
3
1
: 6 8 C y x x và
3
2
3
: C y x
x
. Có bao nhiêu tiếp tuyến
chung của các đồ thị
1
C và
2
C ?
A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1 .
Câu 47: Cho parabol
2
:2 P y x x và đồ thị
32
:1 C y x x x m ( m là tham số thực).
S là tậ p tấ t cả các số m đề parabol P và đồ thị C tiếp xúc với nhau. Tổng bình phương
tấ t cả các phần tử của tậ p S là
A. 13 . B. 8 . C.18 D. 9 .
Dạng 5: Bài toán tiếp xúc của hai đồ thị.
1. Phương pháp
Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị:
Hai đường cong y f x có đồ thị C và y g x có đồ thị C . Khi đó C tiếp xúc
với C khi và chỉ khi hệ phương trình
f x g x
f x g x
có nghiệm.
Chú ý: Cho đường thẳ ng :. d y k x m . Khi đó d tiếp xúc với C khi và chỉ khi hệ
phương trình
. k x m f x
k f x
có nghiệm và d được gọi là tiếp tuyến của đồ thị C .
2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Gọi ()
m
C là đồ thị của hàm số
32
2 3( 3) 18 8 y x m x mx ( m là tham số). Có bao
nhiêu giá trị m để đồ thị()
m
C tiếp xúc với trục hoành.
A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 .
Phân tích:
Trục hoành có phương trình là: 0 y 0 y .
32
2 3( 3) 18 8 y x m x mx
2
6 6 3 18 y x m x m .
Áp dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong ta có hệ sau
32
2
2 3( 3) 18 8 0
6 6( 3) 18 0.
x m x mx
x m x m
.
Bài toán trở thành tìm tham số m để hệ có nghiệm.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
' 6 6( 3) 18 . y x m x m Đồ thị()
m
C tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau
có nghiệm
32
2
2 3( 3) 18 8 0
6 6( 3) 18 0.
x m x mx
x m x m
.
Nhậ n thấ y PT thứ hai của hệ có biệt thức ' 9( 3) 0, mm nên luôn có hai
nghiệm 3; . x x m
Với 3, x thay vào PT đầu của hệ, ta được
35
54 27( 3) 54 8 0 .
27
m m m
Với , xm thay vào PT đầu của hệ và thu gọn, ta được
2
( 1)( 8 8) 0 m m m 1 m hoặc 4 2 6. m
Vậ y có bốn giá trị cần tìm của m là
35
;
27
m 1; m 4 2 6; m 4 2 6. m
Bài tập tương tự ví dụ 1: Tổng các giá trị của tham số m để đồ thị C của hàm số
4 2 2
34 y x m x m tiếp xúc với trục hoành.
A.
4
5
. B.
24
5
. C.
24
5
. D.
16
5
.
Lời giải
Chọn A
Ta có C tiếp xúc với trục hoành khi hệ sau có nghiệm
4 2 2
3
3 4 0, 1
4 2 3 4 0, 2
x m x m
x m x
.
Từ 2 ta có
2
2 2 3 4 0 x x m
2
0
1
34
2
x
xm
.
Với 0 x thay vào 1 ta có
2
00 mm .
Với
2
1
34
2
xm thay vào 1 ta có:
2
2
2
34
34
0
22
m
m
m
2
2
4 3 4 0 mm
4
5
4
m
m
4
5
m (vì
3 4 0 m ).
Vậ y ta có tổng các giá trị của tham số m là
44
0
55
.
Chú ý: Ta có
2
1
34
2
xm nên
4
3 4 0
3
mm .
Ví dụ 2: Cho hàm số
1
y
x
có đồ thị C và đường thẳ ng d có phương trình y ax b với
,0 ab . Đường thẳ ng d cắt trục Ox , Oy lần lượt tại M và N . Tính diện tích tam giác
OMN biết d tiếp xúc với C .
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Phân tích:
Ta có đường thẳ ng d cắt trục Ox , Oy lần lượt tại M và N nên ta có ;0
b
M
a
,
0; Nb .
Hay ta có
1
.
2
OMN
S OM ON
1
.
2
b
b
a
, ta thấ y diện tích tam giác OMN phụ thuộc vào a
và b .
Vậ y ta tìm mối liên hệ giữa a và b từ giả thiết d tiếp xúc với C .
Qua phân tích trên ta có hướng giải bài toán như sau.
Lời giải
Chọn A
+ Ta có d tiếp xúc với C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
2
1
1
ax b
x
a
x
2
2
1
1
ax bx
x
a
2
11
1
bx
ax
2
2
1
x
b
ax
2
40 ba
2
4 ba .
+ Ta có đường thẳ ng d cắt trục Ox , Oy lần lượt tại M và N nên ta có ;0
b
M
a
,
0; Nb .
Hay ta có
1
.
2
OMN
S OM ON
1
.
2
b
b
a
2
1
2
OMN
b
S
a
14
2
2
a
a
.
Ví dụ 3: Cho hàm số
22
2 1 1 y x m x m có đồ thị C . Biết đồ thị C luôn tiếp xúc với
một đường thẳ ng cố định : d y ax b với mọi giá trị tham số m . Tính T a b .
A. 0 T . B. 2 T . C. 1 T . D. 2 T .
Lời giải
Chọn A
Ta có đường thẳ ng d luôn tiếp xúc với C với mọi giá trị của tham số m khi hệ
22
2 1 1 , 1
2 2 1 , 2
x m x m ax b
a x m
có nghiệm với mọi m .
Thay 2 vào 1 ta có
22
1 x m b
2
1 x m b , (với 1 b ).
+ Với
2
1 x m b thay vào 2 ta có:
2
2 1 1 2 m b a m
2
2
4 1 1 2 m b a m
2
4 1 1 4 4 0 a m a b có nghiệm m
2
10
1 4 4 0
a
ab
1
1
a
b
.
+ Với
2
1 x m b thay vào 2 ta có:
2
2 1 2 1 m b m a
2
2
4 1 2 1 m b m a
2
4 1 1 4 4 0 a m a b có nghiệm m
2
10
1 4 4 0
a
ab
1
1
a
b
.
Vậ y đồ thị C luôn tiếp xúc với đường thẳ ng :1 d y x với mọi giá trị của tham số m .
Hay ta có T a b 1 1 0 .
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
2
1
x mx m
y
x
có đồ thị C . Xác định tấ t cả các giá trị của tham số m
sao cho qua điểm 0;1 A không có đường thẳ ng nào tiếp xúc với đồ thị C .
A. 1 m . B. 2 m . C. 1 m . D. 1 m .
Phân tích:
Gọi đường thẳ ng d đi qua 0;1 A có phương trình 1 y kx .
Đường thẳ ng d không tiếp xúc với C khi hệ phương trình
2
2
2
2
1
1
24
1
x mx m
kx
x
xx
k
x
vô
nghiệm.
Lời giải
Chọn A
Gọi đường thẳ ng d đi qua 0;1 A có phương trình 1 y kx .
Đường thẳ ng d không tiếp xúc với C khi hệ phương trình
2
2
2
2
1, 1
1
24
, 2
1
x mx m
kx
x
xx
k
x
vô nghiệm.
Thay 2 vào 1 ta có phương trình
2
3 2 1 1 0, 1 m x m x m x 3 .
Khi đó vô nghiệm khi phương trình 3 có nghiệm 1 x hoặc phương trình 3 vô
nghiệm.
+ Phương trình 3 có nghiệm 1 x 3 2 1 1 0 m m m 20 (vô lí).
+ Phương trình 3 vô nghiệm.
Với 3 m từ 3 ta có
1
4 2 0
2
xx , hay 3 m không thỏa mãn.
Với 3 m ta có phương trình 3 vô nghiệm khi 0 2 1 0 m 1 m .
KL: Vậ y 1 m thì d không tiếp xúc với C .
Ví dụ 5: Với các giá trị của tham số
1
mb và
2
mb thì đ ồ thị C hàm số
4
21 y x x và đồ
thị P của hàm số
2
2 y x m tiếp xúc với nhau. Tính
12
. T b b .
A. 3 T . B. 2 T . C. 0 T . D. 6 T .
Lời giải
Chọn A
Ta có P tiếp xúc với C khi hệ sau có nghiệm:
4 2 2
3
2 1 2
4 4 4
x x x m
x x x
4 2 2
2
2 1 2
0
2
x x x m
x
x
2
0
1
2
3
x
m
x
m
.
Hay ta có 1. 3 3 T .
3. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Tìm m để đồ thị hàm số
2
1
1
xx
y
x
tiếp xúc với parabol
2
y x m .
A. 2 m . B. 0 m . C. 1 m . D. 3 m .
Bài tập 2: Tìm m để đồ thị hai đồ thị hàm số
32
1
( ) : (1 2 ) 2 C y mx m x mx và
3
2
( ) : 3 3(1 2 ) 4 2 C y mx m x m tiếp xúc với nhau.
A.
1 3 6
,
22
mm
. B.
1 8 6
,
2 12
mm
. C.
5 3 6
,
2 12
mm
. D.
1 3 6
,
2 12
mm
.
Bài tập 3: Tìm m để
3
2
1
: 2 2 1
32
m
x
C y m x mx
tiếp xúc với đường thẳ ng 1 y .
A.
2
0; ;2
3
m
. B.
2
4; ;6
3
m
. C. 0;4;6 m . D.
2
0; ;6
3
m
.
Bài tập 4: Viết phương trình ti ếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị H :
2
2
1 yx của hàm số tại
đúng 2 điểm phân biệt.
A. 2 yx . B. 0 y . C. 21 yx . D. 1 y .
Bài tập 5: Cho hàm số:
3
4 3 2 y x x , có đồ thị là C . Tìm những điểm trên đường thẳ ng 3 y
để từ đó có thể vẽ được ba đường thẳ ng tiếp xúc với đồ thị C .
A. 1 m hoặc
1
2
3
m . B. 1 m hoặc
11
32
m .
C. 2 m hoặc
11
32
m . D. 3 m hoặc
1
1
2
m .
CHỦ ĐỀ 8. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
Xét họ đường cong
m
C có phương trình , y f x m , trong đó f là hàm đa thức theo biến
x với m là tham số sao cho bậ c của m không quá 2. Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ
đường cong khi m thay đổi?
Phương pháp giải:
o Bướ c 1: Đưa phương trình , y f x m về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau:
0 Am B hoặc
2
0 Am Bm C .
o Bướ c 2: Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và gi ải hệ phương trình:
0
0
A
B
hoặc
0
0
0
A
B
C
.
o Bướ c 3: Kết luậ n
Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong
m
C không có điểm cố định.
Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của
m
C .
II. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:
Cho đường cong C có phương trình y f x (hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có
tọa độ nguyên của đường cong?
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó
đều là số nguyên.
Phương pháp giải:
o Bướ c 1: Thực hiện phép chia đa th ức chia tử số cho mẫu số.
o Bướ c 2: Lí luậ n để giải bài toán.
III. Bài toán tìm điểm có tính ch ất đối xứng:
Cho đường cong C có phương trình y f x . Tìm những điểm đối xứng nhau qua một
điểm, qua đường thẳ ng.
Bài toán 1: Cho đồ thị
32
: C y Ax Bx Cx D trên đồ thị C tìm những cặp điểm đối
xứng nhau qua điểm ( , )
II
I x y .
Phương pháp giải:
Gọi
3 2 3 2
; , ; M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D là hai điểm trên C đối
xứng nhau qua điểm I .
Ta có
3 3 2 2
2
22
I
I
a b x
A a b B a b C a b D y
.
Giải hệ phương trình tìm đư ợc , ab từ đó tìm đư ợc toạ độ M, N.
Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị
32
: C y Ax Bx Cx D . Trên đồ thị C tìm những
cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Phương pháp giải:
Gọi
3 2 3 2
, , , M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D là hai điểm trên C đối
xứng nhau qua gốc tọa độ.
Ta có
3 3 2 2
0
20
ab
A a b B a b C a b D
.
Giải hệ phương trình tìm đư ợc , ab từ đó tìm đư ợc toạ độ , MN .
Bài toán 2: Cho đồ thị
32
: C y Ax Bx Cx D trên đồ thị C tìm những cặp điểm đối
xứng nhau qua đường thẳng
11
: d y A x B .
Phương pháp giải:
Gọi
3 2 3 2
; , ; M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D là hai điểm trên C đối
xứng nhau qua đường thẳ ng d .
Ta có:
(1)
. 0 (2) d
Id
MN u
(với I là trung điểm của MN và d u là vectơ chỉ phương của
đường thẳ ng d ).
Giải hệ phương trình tìm đư ợc M, N.
IV. Bài toán tìm điểm đặc biệt liên quan đến hàm số
ax b
y
cx d
có đồ thị C :
Gọi
00
; M x y là điểm thuộc đồ thị C của hàm số
ax b
y
cx d
, nên
0
0
0
;
ax b
Mx
cx d
Đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
có tiệm cậ n đứng:
1
: 0,
d
x
c
tiệm cậ n ngang
2
:0
a
y
c
.
Khoảng cách từ M đến
1
,
2
là:
0
10
cx d d
dx
cc
,
20
0
a ad bc
dy
c c cx d
Ta có kết quả sau:
0
12
0
..
()
cx d ad bc
d d p
c c cx d
, với
2
ad bc
p
c
thì p const
Bài toán 1: Tìm trên đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
những điểm M sao cho tổng khoả ng cách
từ điểm M đến
1
và
2
nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
0
12 2
0
2
cx d ad bc ad bc
dd
c c cx d c
2
min 2
ad bc
d
c
Dấ u "" xảy ra khi
0
0
()
cx d ad bc
c c cx d
2
0
() cx d ad bc
0
d
x ad bc
c
Bài toán 2: Tìm trên đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
những điểm M sao cho khoả ng cách từ
điểm M đến
1
bằng 0 k lần khoả ng cách từ M đến
2
.
Phương pháp giải:
0
1 2 0
0
()
cx d ad bc d
d kd k x kp
c c cx d c
Bài toán 3: Tìm trên đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
những điểm M sao cho khoả ng cách từ
điểm M đến I là ngắn nhất, biết I là giao điểm hai đường tiệm cận.
Phương pháp giải:
0
0
0
; , ; min 2
ax b da
M x I IM p
cx d c c
khi
0
d
xp
c
Bài toán 4: Tìm trên đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
những điểm M sao cho tiếp tuyến của đồ
thị hàm số tại M vuông góc với đường thẳng , IM I là giao điểm hai đường tiệm cận.
Phương pháp giải:
Hệ số góc đường thẳng IM là
0
2
00
()
I
I
yy ad bc
k
x x cx d
; tiếp tuyến của đồ thị
Bài toán 5: Biết rằng M là điểm thuộc đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
; tiếp tuyến () t của đồ thị
hàm số tại M cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt , AB và diện tích AIB luôn là
hằng số không đổi, I là giao điểm hai đường tiệm cận.
Phương pháp giải:
0 0 0
( ) : '( )( ) t y y y x x x
0
1
00
2 2( )
( ) ;
( ) ( )
bc ad acx d ad bc
t A IA
c c cx d c cx d
00
2
2 2( )
( ) ;
d acx cx d a
t B IB
c c c
, M luôn luôn là trung điểm AB
AIB vuông tại I nên:
1
. . 2
2
AIB
S IA IB p
và
..
4
AIB
IA IB AB
S
R
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp AIB nên 8 minR p
2
min 8
ad bc
AB
c
hàm số tại M có hệ số góc:
0 2
0
'( )
()
ad bc
yx
cx d
Theo bài toán, ta phả i có:
2
00
'( ). 1 ( ) y x k cx d ad bc
V. Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:
1. Lí thuyết:
Loại 1. Cho hai điểm
22
1 1 2 2 2 1 2 1
; ; ; P x y Q x y PQ x x y y .
Cho điểm
00
; M x y và đường thẳ ng :0 d Ax By C , thì khoảng cách từ M
đến d là
00
22
;
Ax By C
h M d
AB
.
Loại 2. Khoảng cách từ
00
; M x y đến tiệm cậ n đứng xa là
0
h x a .
Loại 3. Khoảng cách từ
00
; M x y đến tiệm cậ n ngang yb là
0
h y b .
Chú ý: Những điểm cần tìm thư ờng là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao của một
đường thẳ ng với một đường cong C nào đó. Vì v ậ y trước khi áp dụng công thức, ta cần
phải tìm tìm đi ều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ của chúng.
2. Các bài toán thường gặp:
Bài toán 1: Cho hàm số
0, 0
ax b
c ad bc
cx
y
d
có đồ thị C . Hãy tìm trên C
hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoả ng cách AB ngắn nhất.
Phương pháp giải:
C có tiệm cậ n đứng
d
x
c
do tính chấ t của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai
phía của tiệm cậ n đứng. Nên gọi hai số , là hai số dương.
Nếu A thuộc nhánh trái thì
AA
d d d
xx
c c c
; ()
AA
y f x .
Nếu B thuộc nhánh phải thì
BB
d d d
xx
c c c
; ()
BB
y f x .
Sau đó tính
2 2 2 2
2
B A B A B A
AB x x y y a a y y
.
Áp dụng bấ t đẳ ng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả.
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số C có phương trình y f x . Tìm tọa độ điểm M thuộc
() C để tổng khoả ng cách từ M đến hai trụ c tọa độ nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Gọi ; M x y và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì d x y .
Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên
trục hoành, trên trục tung.
Sau đó xét t ổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ
hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đ ến.
Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhấ t của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm
rồi tìm đư ợc giá trị nhỏ nhấ t của d .
Bài toán 3: Cho đồ thị () C có phương trình y f x . Tìm điểm M trên () C sao cho
khoả ng cách từ M đến Ox bằng k lần khoả ng cách từ M đến trụ cOy .
Phương pháp giải:
Theo đầu bài ta có
f x kx
y kx
y k x
y kx f x kx
.
Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số C có phương trình
( ) 0, 0
ax b
y f x c ad bc
cx d
. Tìm tọa độ điểm M trên C sao cho độ dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm
cận).
Phương pháp giải:
Tiệm cậ n đứng
d
x
c
; tiệm cậ n ngang
a
y
c
.
Ta tìm đư ợc tọa độ giao điểm ;
da
I
cc
của hai tiệm cậ n.
Gọi ;
MM
Mx y là điểm cần tìm. Khi đó:
22
2
M M M
da
IM x y g x
cc
Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.
Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số C có phương trình y f x và đường thẳng
:0 d Ax By C . Tìm điểm I trên C sao cho khoả ng cách từ I đến d là ngắn nhất.
Phương pháp giải
Gọi I thuộc C
0 0 0 0
;; I x y y f x .
Khoảng cách từ I đến d là
00
0
22
( ) ;
Ax By C
g x h I d
AB
Khảo sát hàm số () y g x để tìm ra đi ểm I thỏa mãn yêu cầu.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: [2D1-7.5-3] Số điểm có tọa độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số
3
2
x
y
x
là:
A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1.
Câu 2: [2D1-7.5-3] Cho hàm số
2
25
1
xx
y
x
có đồ thị là C . Hỏi trên đồ thị C có bao nhiêu điểm
có tọa độ nguyên?
A. 4 . B. 6 . C. 3 . D. 5 .
Câu 3: [2D1-8.5-3] Trên đồ thị hàm số
25
31
x
y
x
có bao nhiêu điểm có tọa độ là các số nguyên?
A. 4 . B. vô số. C. 2 . D. 0 .
Câu 4: [2D1-8.4-3] Cho đồ thị C của hàm số
3
32 y x x và điểm 2;18 I . Gọi , AB là hai
điểm thuộc đồ thị C và đối xứng nhau qua I . Tính độ dài đoạn AB .
A. 2 101 . B. 2 257 . C. 4 101 . D. 257 .
Câu 5: [2D1-8.4-3] Cho đồ thị
m
C của hàm số
32
3 y x x m . Hỏi có tấ t cả bao nhiêu giá trị
nguyên bé thua 10 của m để trên đồ thị
m
C tồn tại cặp điểm đối xứng với nhau qua gốc
tọa độ ?
A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 10 .
Câu 6: [2D1-8.1-3] Cho đồ thị C của hàm số
3
31 y x x và điểm ; A a b C . Tiếp tuyến
của C tại A cắt C tại điểm B khác A . Tìm hoành đ ộ điểm B .
A. a 2 . B. a 3 . C. a 4 . D. a 21 .
Câu 7: [2D1-7.4-3] Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
32
3 y x x m có
hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
A. 1 m . B. 0 m . C. 0 m . D. 01 m .
Câu 8: [2D1-7.4-3] Đồ thị hàm số
32
2 3 3 2 y x mx m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau
qua gốc tọa độ O khi m là.
A.
2
0,
3
mm . B.
1
3
m . C. 0 m
.
D.
1
,0
3
mm .
Câu 9: [2D1-7.3-3] Cho hàm số
2
2 6 2
2
x m x
y
mx
có đồ thị là
m
C . Hỏi đồ thị hàm số luôn
đi qua bao nhiêu điểm cố định ?
A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 10: [2D1-7.3-3] Cho họ đồ thị
42
:1
m
C y x mx m . Tọa độ các điểm mà mọi đồ thị của
họ
m
C luôn đi qua với mọi giá tri thực của m là:
A. 1;0 , 0;1 . B. 2;1 , 2;3 . C. 1;0 , 1;0 . D. 2;1 , 0;1 .
Câu 11: [2D1-8.1-3] Tìm m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số
32
( ) : ( 3) 1 C y x m x m trùng
với tâm đối xứng của đồ thị hàm số
14 1
( ) :
2
x
Hy
x
A. 2. m B. 1. m C. 3. m D. 0. m
Câu 12: [2D1-8.1-3] Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C của hàm số
21
1
x
y
x
sao cho khoảng cách
từ điểm M đến tiệm cậ n đứng bằng 1 là
A. 0;1 , 2;3 MM . B. 2;1 M . C.
3
1;
2
M
. D.
5
3;
2
M
.
Câu 13: [2D1-8.1-3] Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C của hàm số
1
2
x
y
x
mà có khoảng cách
đến tiệm cậ n ngang của C bằng 1 là
A. 3;2 M . B. 5;2 M .
C. 5;2 , 1;0 MM . D.
51
4; , 0;
22
MM
.
Câu 14: [2D1-8.1-3] Tọa độ các điểm thuộc đồ thị C của hàm số
21
1
x
y
x
mà có tổng khoảng
cách đến hai đường tiệm cậ n của C bằng 4 là
A.
4;3 , 2;1 . B.
2;5 , 0; 1 .
C.
2;5 , 0; 1 , 4;3 , 2;1 . D.
2;5 , 4;3 .
Câu 15: [2D1-8.1-3] Tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số
2
2
x
y
x
sao cho
tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cậ n của đồ thị hàm số đạt giá trị nhỏ nhấ t là
A. (4;3) M . B. (3;5) M . C. (1; 3) M . D. (0; 1) M .
Câu 16: [2D1-8.1-3] Cho điểm M thuộc đồ thị C của hàm số
7
1
x
y
x
, biết M có hoàng độ a
và khoảng cách từ M đến trục Ox bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy . Giá trị có
thể có của a là
A. 1 a hoặc
7
3
a . B. 1 a hoặc
7
3
x .
C. 1 a hoặc
7
3
a . D. 1 a hoặc
7
3
a .
Câu 17: [2D1-7.1-3] Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
sao cho khoảng cách từ
M
đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ M
đến trục hoành.
A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
Câu 18: [2D1-8.0-2] Cho hàm số
3
21 y x x . Tìm tấ t cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số sao
cho khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1.
A. 1; 0 M hoặc 1 ; 2 . M B. 1; 0 M .
C. 2; 1 . M D. 0; 1 M hoặc 2; 1 . M
Câu 19: [2D1-7.1-3] Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
sao cho khoảng cách từ
M
đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ M
đến trục hoành.
A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
Câu 20: [2D1-7.1-3] Tính tổng các hoành độ của những điểm thuộc đồ thị
32
: 3 2 C y x x cách
đều hai điểm 12;1 A , 6;3 B .
A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 0 .
Câu 21: [2D1-8.1-3] Khoảng cách nhỏ nhấ t giữa hai điểm bấ t kỳ thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số
21
1
x
y
x
là
A. 23 . B. 25 . C. 1. D. 22 .
Câu 22: [2D1-8.1-3] Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C):
49
3
x
y
x
các điểm
1
M ;
2
M để độ dài
12
MM đạt giá trị nhỏ nhấ t, giá trị nhỏ nhấ t đó bằng:
A. 25 . B. 22 . C. 26 . D. 32 .
Câu 23: [2D1-8.1-3] Hai điểm M , N thuộc hai nhánh của đồ thị
31
3
x
y
x
. Khi đó độ dài đoạn
thẳng MN ngắn nhất bằng?
A. 4 . B. 8 . C. 3 . D. 82 .
Câu 24: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
3
31 y x x có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm M thuộc C
sao cho khoảng cách từ M đến gốc tọa độ bằng 2 ?
A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1 .
Câu 25: [2D1-7.1-3] Hai điểm , AB thuộc hai nhánh của đồ thị
7
3
3
y
x
. Khi đó độ dài đoạn
thẳ ng AB ngắn nhấ t bằng bao nhiêu?
A. 4 14 . B. 28 . C. 14 . D. 2 14 .
Câu 26: [2D1-7.1-3] Cho
2
.
2
x
yC
x
Tìm M có hoành độ dương thuộc C sao cho tổng khoảng
cách từ M đến 2 tiệm cậ n nhỏ nhấ t.
A. 1; 3 M . B. 0; 1 M . C. 2;2 M . D. 4;3 M .
Câu 27: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
3
1
x
y
x
có đồ thị là C . Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm
cậ n của C . Tìm tọa độ điểm M trên C sao cho độ dài IM là ngắn nhấ t?
A.
1
0 ; 3 M và
2
2 ; 5 M . B.
1
1; 1 M và
2
3; 3 M .
C.
1
1
2;
3
M
và
2
7
4;
3
M
. D.
1
15
;
23
M
và
2
5 11
;
23
M
.
Câu 28: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
1
1
x
y
x
có đồ thị C và A là điểm thuộc C . Tìm giá trị nhỏ
nhấ t của tổng các khoảng cách từ A đến các tiệm cậ n của C .
A. 22 . B. 2 . C. 3 . D. 23
Câu 29: [2D1-8.1-3] Tọa độ điểm M thuộc đồ thị () C của hàm số
21
1
x
y
x
sao cho khoảng cách
từ điểm ) 2 ; 1 ( I đến tiếp tuyến của C tại M là lớn nhấ t.là
A.
12
1 3;2 3 , 1 3;2 3 MM .
B.
12
1 3;2 3 , 1 3;2 3 MM .
C.
12
1 3;2 3 , 1 3;2 3 MM .
D.
12
1 3;2 3 , 1 3; 2 3 MM .
Câu 30: [2D1-8.1-4] Cho hàm số
2
3
x
y
x
có đồ thị C . Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc
C đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhấ t bằng?
A. 2 . B.
2
3
. C. 1. D.
1
6
.
Câu 31: [2D1-8.1-4] Khoảng cách nhỏ nhấ t từ một điểm thuộc đồ thị C của hàm số
2
45
2
xx
y
x
đến đường thẳ ng : 3 6 0 d y x bằng
A. 2. B. 4 . C. 10 . D.
4
10
.
Câu 32: [2D1-8.1-4] Khoảng cách ngắn nhấ t từ điểm M thuộc đồ thị C của hàm số
2
22
1
xx
y
x
đến 1;4 I là
A. 2 . B. 22 . C. 2 2 2 . D. 2 2 2 .
Câu 33: [2D1-8.1-3] Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C của hàm số
2
2
x
y
x
cách đều hai đường
tiệm cậ n của C là
A. 2;1 M . B. 0; 1 , 4;3 MM .
C.
71
5; , 3;
35
MM
. D. 2;2 M .
Câu 34: [2D1-8.1-3] Tọa độ điểm M có hoành độ nguyên thuộc đồ thị C của hàm số
2
1
x
y
x
có khoảng cách đến đường thẳ ng : 1 0 xy bằng
1
2
là
A. 2;0 M . B. 2;4 M .
C. 2;4 ; 2;0 MM . D. 2; 2 M .
Câu 35: [2D1-8.1-3] Khi đồ thị hàm số
3
32 y x mx có hai điểm cực trị là A , B và đường tròn
C có phương trình là
22
1 1 3 xy cắt đường thẳ ng AB tại 2 điểm phân biệt M ,
N sao cho MN lớn nhấ t. Khi đó giá trị của m là.
A. 1. B.
3
2
. C. 2 m . D.
1
2
m .
Câu 36: [2D1-8.1-3] Khi đồ thị hàm số
3
31 y x mx có hai điểm cực trị là A , B và đường tròn
C có phương trình là
22
1 1 9 xy cắt đường thẳ ng AB tại 2 điểm phân biệt
, MN sao cho MN nhỏ nhất. Khi đó giá trị của m là.
A. 1. B.
1
4
. C.
1
2
. D.
1
8
m .
Câu 37: [2D1-8.1-3] Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
1 y x mx m
tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt đường tròn
22
2 3 11 xy theo một dây cung có
độ dài nhỏ nhất.
A.
10
3
. B. 2 . C.
1
3
. D.
11
3
.
Câu 38: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
23
2
x
y
x
có đồ thị C . Biết rằng tiếp tuyến tại điểm M bấ t kì
của C luôn cắt hai tiệm cậ n của C tại A và B . Độ dài ngắn nhấ t của đoạn thẳ ng AB
là
A. 4 . B. 22 . C. 2 . D. 2 .
Câu 39: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
2
1
x
y
x
C . Tiếp tuyến bất kì của đồ thị C tại M cắt hai
đường tiệm cận của đồ thị C lần lượt tại hai điểm A và B . Khi đó . MA k MB , giá trị
của k là
A. 1. B.
1
2
. C. 2 . D.
3
2
.
Câu 40: [2D1-8.1-3] Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳ ng y mx cắt đồ thị
hàm số
32
4 –12 8 y x x m tại ba điểm phân biệt ,, M N P sao cho MN NP .
A. ;) ( 3 m . B. ;) ( 1 m .
C. ( 12;) m . D. (12; ) m .
Câu 41: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
32
2
x
y
x
có đồ thị . C Đường thẳ ng yx cắt C tại hai điểm
, AB . Đường thẳ ng y x m cắt C tại hai điểm , CD sao cho ABCD là hình bình hành.
Chọn mệnh đề đúng.
A. Không tồn tại giá trị . m B. m là số nguyên tố.
C. m là số tự nhiên chia hết cho 3. D. m là số tự nhiên chia hết cho 5.
Câu 42: [2D1-7.1-4] Cho hàm số
2
1
1
xx
y
x
có đồ thị C . Gọi A , B là hai điểm phân biệt trên
đồ thị C có hoành độ
1
x ,
2
x thỏa
12
1 xx . Giá trị nhỏ nhấ t của AB là:
A. 8 2 8 . B.
3
12 4 . C. 8 2 8 . D. 25 .
Câu 43: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
2
2
2
xx
y
x
. Điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó lậ p với hai
đường tiệm cậ n một tam giác có chu vi nhỏ nhấ t thì có hoành đ ộ bằng
A.
4
2 10 . B.
4
26 . C.
4
2 12 . D.
4
28 .
Câu 44: [2D1-8.1-3] Tìm M trên
1
:
3
x
Hy
x
sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường
thẳ ng : 2016 d y x .
A. 1; 1 hoặc 2; 3 . B. 5;3 hoặc 2; 3 . C. 5;3 hoặc 1; 1 . D. 1; 1 hoặc
4;5 .
Câu 45: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
3
1
x
y
x
có đồ thị là () C . Tìm () MC sao cho M cách đều các
trục tọa độ.
A.
1;3
2; 3
M
M
. B.
2;2
3;3
M
M
. C.
4;4
4; 4
M
M
. D.
1;1
3; 3
M
M
.
Câu 46: [2D1-8.1-3] Tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số
31
1
x
y
x
cách đường tiệm cậ n đứng của
đồ thị hàm số một khoảng bằng 1 là
A. 0; 1 ; 2;7 . B. 1;0 ; 2;7 . C. 0;1 ; 2; 7 . D. 0; 1 ; 2;7 .
Câu 47: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
31
2
x
y
x
có đồ thị là C . Có bao nhiêu điểm trên C mà tổng
khoảng cách từ điểm đó đến hai tiệm cậ n của C bằng 6 ?
A. 1. B. 4 . C. 0 . D. 2 .
Câu 48: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
2
21
x
y
x
có đồ thị C . Gọi M là một điểm trên C , có tung
độ lớn hơn 2 và cách đều hai điểm 2; 0 A và 4; 2 B . Điểm M thuộc đường thẳ ng nào
sau đây?
A. 2 1 0 xy . B. 2 5 0 xy . C. 2 1 0 xy . D. 2 7 0 xy .
Câu 49: [2D1-8.1-3] Cho đồ thị C của hàm số
22
1
x
y
x
. Gọi
00
; M x y là điểm nằm trên C
, có hoành độ dương và có tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cậ n của C nhỏ nhấ t. Tính
00
T x y .
A. 7 . B. 6 . C. 8 . D. 5 .
Câu 50: [2D1-8.1-4] Cho hàm số
2
2
x
y
x
có đồ thị C và điểm
00
; M x y C
0
0 x . Biết
rằng khoảng cách từ 2;2 I đến tiếp tuyến của C tại M là lớn nhấ t, mệnh đề nào sau
đây đúng?
A.
00
20 xy . B.
00
22 xy . C.
00
22 xy . D.
00
24 xy .
Câu 51: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
1
1
x
y
x
có đồ thị C . Điểm ; M a b di động trên C . Gọi d
là tổng khoảng cách từ điểm M đến hai trục tọa độ. Khi d đạt giá trị nhỏ nhấ t, tính P ab
.
A. 3 2 2 . B. 2 2 3 . C. 0 . D. 2 2 2 .
Câu 52: [2D1-8.1-4] Cho hàm số
21
1
x
y
x
có đồ thị là () C . Gọi I là giao của hai đường tiệm cậ n
. Gọi
0 0 0
; ;( 0) M x y x là một điểm trên () C . Khi khoảng cách từ điểm I
đến tiếp tuyến
với () C tại M lớn nhấ t thì tổng
00
xy bằng
A. 1. B. 31 . C. 23 . D. 1 .
Câu 53: [2D1-8.1-4] Cho hàm số
1
1
x
y
x
có đồ thị là C . Gọi ;y
MM
Mx là một điểm bấ t kỳ
trên C . Khi tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhấ t, tính tổng
MM
xy .
A. 2 2 1 . B. 1. C. 2 2 2 . D. 22 .
Câu 54: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
3
32 y x x . Tìm tấ t cả các điểm M thuộc C sao cho tiếp
tuyến của C tại M cắt C tại điểm thứ hai là N thỏa mãn 65 MN .
A.
2; 2 5 2 M và
2; 2 2 M . B.
2; 2 5 2 M và
2; 2 2 M .
C.
2; 2 5 2 M và
2; 2 2 M . D.
2; 2 2 M và
2; 2 5 2 M .
Câu 55: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
21
2
x
y
x
C . Số điểm M thuộc C sao cho tiếp tuyến của
C tại M cắt hai tiệm cậ n của C tại hai điểm A , B thỏa mãn 2 10 AB .
A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1 .
Câu 56: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
21
1
x
y
x
C . Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cậ n của C .
Điểm ; M a b thuộc C sao cho tiếp tuyến của C tại M cắt hai tiệm cậ n tại A , B thỏa
mãn
22
2 12 IA IB . Tổng của ab bằng ( với , ab là các số nguyên dương).
A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 3 .
Câu 57: [2D1-8.2-3] Cho hàm số
23
2
x
y
x
có đồ thị . C Tìm trên C những điểm M sao cho
tiếp tuyến với C tại M cắt hai tiệm cậ n của M tại , AB sao cho AB ngắn nhấ t.
A.
3
0;
2
B.
5
1; , 3;3
3
C. 3;3 , 1;1 D.
5
4; , 3;3
2
Câu 58: [2D1-8.2-3] Cho hàm số
32
3 9 5 y x x x có đồ thị C . Gọi , AB là giao điểm của C
và trục hoành. Số điểm MC không trùng với A và B sao cho 90 AMB là:
A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1.
Câu 59: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
2
2
x
y
x
có đồ thị C . Tìm tọa độ điểm M có hoành độ dương
thuộc C sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cậ n là nhỏ nhấ t.
A. 2;2 M . B. 4;3 M . C. 0; 1 M . D. 1; 3 M .
Câu 60: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
2
2
x
y
x
có đồ thị C . Tìm giá trị nhỏ nhấ t h của tổng khoảng
cách từ điểm M thuộc C tới hai đường thẳ ng
1
: 1 0 x ,
2
: 2 0 y .
A. 4 h . B. 3 h . C. 5 h . D. 2 h .
Câu 61: [2D1-8.1-3] Cho
2
: P y x và
1
2; .
2
A
Gọi M là một điểm bấ t kì thuộc . P Khoảng
cách MA bé nhấ t là:
A.
2
2
. B.
5
4
. C.
5
2
. D.
23
3
.
Câu 62: [2D1-8.1-3] Gọi ; M a b là điểm trên đồ thị hàm số
21
2
x
y
x
mà có khoảng cách đến
đường thẳ ng : 3 6 d y x nhỏ nhấ t. Khi đó
A. 21 ab . B. 2 ab . C. 2 ab . D. 23 ab .
Câu 63: [2D1-8.1-3] Gọi d là đường thẳ ng đi qua 1;0 A và có hệ số góc m . Tìm các giá trị của
tham số m để d cắt đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
tại hai điểm phân biệt , MN thuộc hai nhánh
của đồ thị.
A. 0. m B. 0. m C. 0. m D. 0 1. m
Câu 64: [2D1-8.1-3] Cho đồ thị C của hàm số
22
1
x
y
x
. Tọa độ điểm M nằm trên C sao cho
tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cậ n của C nhỏ nhấ t là
A. 1;0 M hoặc 3;4 M . B. 1;0 M hoặc 0; 2 M .
C. 2;6 M hoặc 3;4 M . D. 0; 2 M hoặc 2;6 M .
Câu 65: [2D1-8.4-3] Cho hàm số
1
1
x
y
x
. M và N là hai điểm thuộc đồ thị của hàm số sao cho
hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau. Khẳ ng định nào sau đây
là sai?
A. Hai điểm M và N đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
B. Đường tiệm cậ n ngang của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳ ng MN .
C. Hai điểm M và N đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cậ n.
D. Đường tiệm cậ n đứng của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳ ng MN .
Câu 66: [2D1-8.4-3] Cho hàm số
1
1
x
y
x
có đồ thị C . Giả sử , AB là hai điểm thuộc C và đối
xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cậ n. Dựng hình vuông AEBF . Tìm diện
tích nhỏ nhấ t của hình vuông AEBF .
A.
min
82 S . B.
min
42 S . C.
min
8 S . D.
min
16 S .
Câu 67: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
2
3 y x x có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị
C thỏa mãn tiếp tuyến của C tại M cắt C tại điểm A (khác M ) và cắt Ox tại điểm
B sao cho M là trung điểm của đoạn AB ?
A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 .
Câu 68: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
3
32 y x x có đồ thị C . Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường
thẳ ng : 9 14 d y x sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với C .
A. 3 điểm. B. 4 điểm. C. 2 điểm. D. 1 điểm.
Câu 69: [2D1-8.1-4] Cho hàm số
2
1
x
y
x
có đồ thị C và điểm 0; Aa . Hỏi có tấ t cả bao nhiêu
giá trị nguyên của a trong đoạn 2018;2018 để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến
C sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành?
A. 2017 . B. 2020 . C. 2018 . D. 2019 .
Câu 70: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
1
1
x
y
x
có đồ thị C và điểm ;2 . Aa Gọi S là tậ p hợp tấ t cả
các giá trị thực của a để có đúng hai tiếp tuyến của C đi qua điểm A và có hệ số góc
1
k
,
2
k thỏa mãn
22
1 2 1 2
10 0. k k k k Tổng giá trị tấ t cả các phần tử của S bằng
A. 7 . B.
75
2
. C.
55
2
. D.
7
.
2
Câu 71: [2D1-8.1-3] Cho đồ thị hàm số:
42
1
21
3
y x x có ba điểm cực trị ,, A B C A Oy . Gọi
, MN lần lượt là các điểm thuộc cạnh , AB AC sao cho đoạn thẳ ng MN chia tam giác
ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giá trị nhỏ nhấ t của MN là
A. 6 . B. 12.. C. 6.. D. 2 3.
Câu 72: [2D1-8.1-3] Cho đồ thị hàm số:
42
1
21
3
y x x có ba điểm cực trị ,, A B C A Oy . Gọi
, MN lần lượt là các điểm thuộc cạnh , AB AC sao cho đoạn thẳ ng MN chia tam giác
ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Gọi tung độ của M và N lần lượt là ,
MN
yy .
Ta có tổng
MN
T y y bằng :
A. 62 . B. 26 . C. 26 D. 0
Câu 73: :[2D1-8.1-3] Cho hàm số
3
1
x
y
x
có đồ thị là C . Tìm tọa độ điểm M trên C sao
cho diện tích tam giác ABM bằng 4 , biết 1;3 , 1;3 AB ?
A. 1; 1 M B. 3; 3 M C. 0; 3 M D. 2;5 M
Câu 74: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
3
2
x
y
x
có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm M thuộc C sao cho
OM là đường chéo của một hình chữ nhậ t có diện tích bằng
2
3
.
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 75: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
1
1
x
y
x
có đồ thị. Tổng hoành độ các điểm M thuộc C sao cho
OM là đường chéo của một hình chữ nhậ t có diện tích bằng
3
2
bằng:
A. 3 . B.
7
2
. C. 2. D.
5
2
.
Câu 76: [2D1-8.1-4] Cho hàm số
1
1
x
y
x
có đồ thị C như hình v ẽ. Các điểm , , , A B C D nằm
trên đồ thị C sao cho ABCD là hình chữ nhậ t có diện tích bằng 6. Tính độ dài đoạn thẳ ng
AB biết , AB là hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị C .
A. 33 . B. 22 . C. 3 . D. 2 .
Câu 77: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
3
1
x
y
x
có đồ thị là C . Tìm tọa độ điểm M trên C sao cho
diện tích tam giác ABM bằng 2 , biết 1;3 , 1;3 AB ?
A. 1; 1 M B. 3; 3 M C. 0; 3 M . D. 2;5 M
Câu 78: [2D1-8.1-3] Tìm đi ểm M trên đồ thị
: C
21
1
x
y
x
sao cho diện tích tam giác MAB đạt
giá trị nhỏ nhấ t với 0;1 , 3;2 AB .
A. 2;1 M . B.
2; 5 M . C.
1
1;
2
M
. D.
7
3;
2
M
.
Câu 79: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
32
15
3
33
y x x x C . Gọi , AB là giao điểm của đồ thị với
trục Ox . Trên đồ thị C có bao nhiêu điểm M nhìn AB dưới 1 góc vuông
A. 4 điểm. B. 3 điểm. C. 2 điểm. D. 0 điểm.
Câu 80: [2D1-8.1-3] Cho hàm số
23
2
x
y
x
. Tìm đi ểm M nằm trên đồ thị hàm số trên biết tiếp
tuyến tại M cắt tiệm cậ n đứng, tiệm cậ n ngang tại 2 điểm , AB sao cho
4
os
17
c ABI , với
I là giao điểm hai đường tiệm cậ n của đồ thị hàm số.
A. 1;1 M . B.
3
0;
2
M
hoặc
5
4;
2
M
.
C.
5
4;
2
M
. D. 3;3 M .
Câu 81: [2D1-8.1-3] Tìm m đ ể đồ thị
32
: 1 2 2 2 C y x m x m x m
có tiếp tuyến tạo
với đường thẳ ng : 7 0 d x y góc sao cho
1
os
26
c .
A.
1
4
m B.
3
4
m C.
3
4
1
m
m
D.
1
4
1
2
m
m
Câu 82: [2D1-8.1-3] Cho
21
C : y
1
x
x
. Trên C có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với C
tại M cắt trục , Ox Oy lần lượt tại , AB sao cho
1
tan
3
OAB
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 83: [2D1-8.1-3] Tọa độ 2 điểm ; B a b và ; C c d thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị hàm
số
31
1
x
y
x
sao cho tam giác ABC vuông cân tại 2;1 A . Khi đó a b c d bằng
A. 0 . B. 1 . C. 1 . D. 10
Chuyên đề : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN THỰC TẾ
DẠNG 1: BÀI TOÁN VỀ QUÃNG ĐƯỜNG
Câu 1: (THTT SỐ 673) Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí ,. AB Biết
khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m . Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đấ t
nằm giữa hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình v ẽ). Hỏi ta
phải đặt chốt ở vị trí nào đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhấ t?
A. 6 , 18 . AM m BM m B. 7 , 17 . AM m BM m
C. 4 , 20 . AM m BM m D. 12 , 12 . AM m BM m
Câu 2: Một màn ảnh hình chữ nhậ t cao 1,5m được đặt trên cao 2m so với tầm mắt (tính từ mép
dưới của màn hình). Đ ể nhìn rõ nhấ t phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhấ t.
Hãy xác định vị trí đó. ( Góc BAC goi là góc nhìn).?
A. 5m B. 2m C. 7m D. 3m
Câu 3: (ĐỒNG QUAN 1) Một kho hàng được đặt tại ví trí A trên bến cảng cần được chuyển tới
kho C trên một đảo, biết rằng khoảng cách ngắn nhấ t từ kho C đến bờ biển AB bằng độ dài
60 CB km và khoảng cách giữa 2 điểm , AB là 130 AB km . Chi phí để vậ n chuyển toàn
bộ kho hàng bằng đường bộ là 300.000 đồng/km, trong khi đó chi phí vậ n chuyển hàng bằng
đường thủy là 500.000 đồng/km. Hỏi phải chọn điểm trung chuyển hàng D (giữa đường bộ
và đường thủy) cách kho A một khoảng bằng bao nhiêu thì tổng chi phí vậ n chuyển hàng từ
kho A đến kho C là ít nhấ t?
A. 45km . B. 65km . C. 85km . D. 105km .
Câu 4: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Một vùng đấ t hình chữ nhậ t ABCD có 25 AB km ,
20 BC km và M , N lần lượt là trung điểm của AD , BC . Một người cưỡi ngựa xuấ t phát
từ A đi đến C bằng cách đi thẳ ng từ A đến một điểm X thuộc đoạn MN rồi lại đi thẳ ng
từ X đến . C Vậ n tốc của ngựa khi đi trên phần ABNM là 15 / , km h vậ n tốc của ngựa khi
đi trên phần MNCD là 30 / km h . Thời gian ít nhấ t để ngựa di chuyển từ A đến C là mấ y
giờ?
A.
25
.
3
B.
41
.
4
C.
4 29
.
6
D.
5
.
3
Câu 5: (HÀ NỘI – AMSTERDAM) Cho hai
vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm
về một phía bờ sông như hình v ẽ.
Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông
lần lượt là 118m và 487m. Một người
đi từ A đến bờ sông để lấ y nước mang
về B. Đoạn đường ngắn nhấ t mà
người đó có thể đi là:
A. 569,5 m B.671,4 m
C. 779,8 m D. 741,2 m
Câu 6: (PHÚ XUYÊN) Một ngọn hải đăng đặt tại
vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 5 km.
Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách
B một khoảng là 7km Người canh hải đăng
có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ
biển với vậ n tốc 4 km / h rồi đi bộ đến C với
vậ n tốc 6 km /h (xem hình vẽ ở dưới đây).
Tính độ dài đoạn BM để người đó đến kho
nhanh nhấ t.
A.
74
.
4
B.
29
.
12
C. 29. D. 2 5.
Câu 7: (HÀ HUY TẬ P) Có một bể bơi hình chữ nhật rộng 50m, dài 200m . Một vận động viên
chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ điểm A , chạy đến điểm M và bơi từ điểm M
đến điểm B (như hình vẽ). Hỏi nên chọn điểm M cách A gần bằng bao nhiêu mét để đến
B nhanh nhất (làm tròn đến hàng đ ơn vị)? Biết vận tốc chạy 4,8 / ms , vận tốc bơi 2,4 / ms .
A. 171 AM m . B. 182 AM m . C. 179 AM m . D. 181 AM m .
Câu 8: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuy ến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai con tàu cùng
khởi hành, một chạy về hướng Nam với vậ n tốc 6 hải lý/ giờ., còn tàu kia chạy về vị trí hiện
tại của tàu thứ nhấ t với vậ n tốc 7 hải lý/ giờ. Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách giữa
hai tàu là nhỏ nhấ t?
A.
2
17
t ( giờ). B.
7
17
t ( giờ). C.
5
17
t ( giờ). D.
1
17
t ( giờ).
Câu 9: Trên một đoạn đường giao thông có 2 con đường vuông góc với nhau tại O như hình v ẽ.
Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại M , vị trí M cách đường OE 125m và cách đường
Ox 1km . Vì lý do thực tiễn người ta muốn làm một đoạn đường thẳ ng AB đi qua vị trí M,
biết rằng giá trị để làm 100m đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí của A và B để hoàn
thành con đường với chi phí thấ p nhấ t. Hỏi chi phí thấ p nhấ t để hoàn thành con đường là
bao nhiêu?
200m
50m
A M
B
A. 1,9063 tỉ đồng. B. 2,3965 tỉ đồng C. 2,0963 tỉ đồng. D. 3 tỉ đồng.
Câu 10: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một
hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km,
và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc
với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống
theo ACB thì số tiền ít nhấ t. Khi đó C cách A một đoạn bằng:
A. 6.5km. B. 6 km. C. 0 km. D. 9 km.
Câu 11: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuy ến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi
hành, một chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu kia chạy về vị trí hiện tại của tàu thứ
nhấ t với vậ n tốc 7 hải lý/ giờ. Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách của hai tàu là lớn
nhấ t?
A. d = 2,35 hải lý. B. d = 3,25 hải lý. C. d = 4,25 hải lý. D. d = 5,25 hải lý.
Câu 12: Chi phí nhiên liệu của một chiếc tầu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhấ t
không phụ thuộc vào vậ n tốc và bằng 480 nghìn đ ồng trên 1 giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuậ n
với lậ p phương của vậ n tốc, khi 10 v (km/giờ) thì phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng/giờ.
Hãy xác định vậ n tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường sông là nhỏ nhấ t
( kết quả làm tròn đến số nguyên).
A. 10 (km/giờ). B. 25 (km/giờ). C. 15 (km/giờ). D. 20 km/giờ).
DẠNG 2: BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Câu 1: Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhậ t không nắp có thể
tích bằng
3
288cm . Đáy bể là hình chữ nhậ t có chiều dài gấ p đôi chiều rộng, giá thuê nhân
9km
6km
đảo
bờ biển
biển
A
B
B'
công để xây bể là 500000 đồng/
2
m . Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lí
thì chi phí thuê nhân công sẽ thấ p nhấ t. Hỏi ông An trả chi phí thấ p nhấ t để xây dựng bể đó
là bao nhiêu?
A. 108 triệu đồng B. 54 triệu đồng C. 168 triệu đồng D. 90 triệu đồng
Câu 2: Bên cạnh hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 , chính giữa có một hình vuông đ ồng tâm với
ABCD . Biết rằng bốn tam giác là bốn tam giác cân. “Hỏi tổng diện tích của vuông ở giữa
và bốn tam giác cân nhỏ nhấ t bằng bao nhiêu?”
A. 6,61. B. 5,33 . C. 5,15 . D. 6,12
Câu 3: Cho một tam giác đều ABC cạnh a . Người ta dựng một hình chữ nhậ t MNPQ có cạnh
MN nằm trên cạnh BC , hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của
tam giác. Giá trị lớn nhấ t của diện tích hình chữ nhậ t là
A.
2
3
8
a
. B.
2
3
4
a
. C.
2
3
6
a
. D.
2
3
2
a
.
Câu 4: Thầy Tâm cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhậ t không nắp có thể tích
bằng
3
500
3
m . Đáy hồ là hình chữ nhậ t có chiều dài gấ p đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công
để xây hồ là
2
500.000 / đ o n g m . Khi đó, kích thước của hồ nước như thể nào để chi phí thuê
nhân công mà thầy Tâm phải trả thấ p nhấ t:
A. Chiều dài 20m , chiều rộng 15m và chiều cao
20
3
m .
B. Chiều dài 20m , chiều rộng 10m và chiều cao
5
6
m .
C. Chiều dài 10m, chiều rộng 5m và chiều cao
10
3
m .
D. Chiều dài 30m, chiều rộng 15m và chiều cao
10
27
m
Câu 5: Một nông dân muốn rào lại bãi cỏ hình chữ nhậ t dọc một con sông, cạnh dọc sông không
cần phải rào. Ông có 1000 m lưới sắt để rào. Tính diện tích bãi cỏ lớn nhấ t mô tả ở trên có
thể rào được.
A. 125 m
2
B. 1250 m
2
C. 12500 m
2
D. 125000 m
2
Câu 6: [2D1-3.10-3] Người ta muốn rào quanh một khu đấ t với một số vậ t liệu cho trước là am
thẳ ng hàng rào. Ở đó người ta tậ n dụng một bờ giậ u có sẵn để làm một cạnh của hàng rào.
Vậ y để rào khu đấ t ấ y theo hình chữ nhậ t sao cho có diện tích lớn nhấ t thì giá trị lớn nhấ t đó
tính theo a bằng.
A.
2
2
4
a
m . B.
2
2
6
a
m . C.
2
2
8
a
m . D.
2
2
12
a
m .
Câu 7: Một mảnh vườn hình elip có đ ộ dài trục lớn bằng 12m, độ dài trục bé bằng 8m . Người ta
dự định trồng hoa trong một hình chữ nhậ t nội tiếp của elip như hình v ẽ. Hỏi diện tích trồng
hoa lớn nhấ t có thể là?
AA'=12
BB'=8
B'
B
A' A
.
A.
2
576
m
13
. B.
2
48m . C.
2
62m . D.
2
46m .
Câu 8: Một lão nông chia đấ t cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn
miếng đấ t hình chữ nhậ t có chu vi bằng 800( ) m . Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó
bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhấ t?
A. 200 200 mm B. 300 100 mm C. 250 150 mm D. Đáp án khác
Câu 9: Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình
chữ nhậ t, có chu vi là () am ( a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu
vi hình chữ nhậ t trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhậ t là dây cung của hình bán
nguyệt). Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhấ t?
A. chiều rộng bằng
2
4
a
, chiều cao bằng
4
a
B. chiều rộng bằng
4
a
, chiều cao bằng
2
4
a
C. chiều rộng bằng (4 ) a , chiều cao bằng 2 (4 ) a
D. chiều rộng bằng
(4 )
a
, chiều cao bằng
(4 )
a
2x
S1
S2
Câu 10: Có một tấ m gỗ hình vuông cạnh 200 cm. Cắt một tấ m gỗ có hình tam giác vuông, có tổng
của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số 120cmtừ tấ m gỗ trên sao cho tấ m gỗ
hình tam giác vuông có diện tích lớn nhấ t. Hỏi cạnh huyền của tấ m gỗ này là bao nhiêu?
A. 40cm . B. 40 3cm. C. 80cm . D. 40 2cm .
Câu 11: Bạn A có một đoạn dây mềm và dẻo không đàn hồi 20 m , bạn chia đoạn dây thành hai phần,
phần đầu gấ p thành một tam giác đều. Phần còn lại gậ p thành một hình vuông. Hỏi độ dài
phần đầu bằng bao nhiêu m để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhấ t?
A.
120
9 4 3
m
. B.
40
9 4 3
m
. C.
180
9 4 3
m
. D.
60
9 4 3
m
Câu 12: Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính 3 R , người ta muốn cắt ra một hình hữ
nhậ t (xem hình) có diện tích lớn nhấ t. Diện tích lớn nhấ t có thể có của miếng tôn hình chữ
nhậ t là
A. 6 3 . B. 62 . C. 7. D. 9.
Câu 13: Một miếng bìa hình tam giác đ ều ABC , cạnh bằng 16 . Học sinh Trang cắt một hình chữ
nhậ t MNPQ từ miếng bìa trên đ ể làm biển trông xe cho lớp trong buổi ngoại khóa (với
, MN thuộc cạnh BC ; P , Q lần lượt thuộc cạnh AC và AB ). Diện tích hình chữ nhậ t
MNPQ lớn nhấ t bằng bao nhiêu?
A. 16 3. B. 8 3. C. 32 3. D. 34 3.
Câu 14: (TTLT ĐH DIỆU HIỀN) Một người nông dân rào một mãnh vườn hình chữ nhậ t có diện
tích là
2
10.000m . Biết rằng bờ rào ở các cạnh phía bắc và phía nam giá 1500 / m , bờ rào ở
các cạnh phía đông và phía tây giá 6000 / m. Để chi phí thấ p nhấ t thì kích thư ớc Đông -
Tây, Bắc - Nam của mãnh vườn là.
A. 50m; 200m B. 200m ; 50m. C. 40m ; 250m . D. 100m; 100m.
Câu 15:
Cho hình thang cân có đ ộ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng 1 mét. Khi đó hình thang
đã cho có diện tích lớn nhấ t bằng?
A.
2
3 3 m . B.
2
33
2
m . C.
2
33
4
m . D.
2
1 m .
Câu 16: Thầy Hồng dự định xây một bồn hoa có bề mặt là hình tròn có đư ờng kính 10 AB m , để
cho ấ n tượng thầy Hồng thiết kế có hai hình tròn nhỏ trong hình tròn lớn bằng cách lấ y điểm
M giữa A và B rồi dựng các đường tròn đường kính MA và MB . Trong hai đường tròn
nhỏ thầy định trồng loại hoa hồng đỏ, còn phần còn lại thầy trồng hoa hồng trắng. Biết giá
hoa hồng đỏ là 5.000 đồng, hoa hồng trắng là 4.000 đồng và ít nhấ t
2
0.5 m mới trồng được
một bông hoa. Hỏi chi phí thấ p nhấ t để trồng hoa của thầy là bao nhiêu?
A. 752000 đồng. B. 706858 đồng. C. 702000 đồng. D. 622000 đồng.
Câu 17: Trong các tam giác vuông có tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền là a 0 a , tam
giác có diện tích lớn nhấ t là
A.
2
56
a
. B.
2
36
a
. C.
2
65
a
. D.
2
63
a
.
Câu 18: Chu vi của một tam giác là 16cm, biết độ dài một cạnh của tam giác là 6 a cm. Tính độ
dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác đó có diện tích lớn nhấ t.
A. 5 , 5 cm cm. B. 3 , 7 cm cm. C. 2 , 8 cm cm. D. 4 , 6 cm cm .
Câu 19: Tìm các cạnh của hình chữ nhậ t có chu vi nhỏ nhấ ttrong số các hình chữ nhậ t có diện tích
bằng
2
48 m .
A. 84 m . B. 50 m. C. 48 m . D. 45 m .
Câu 20: Một sợi dây kim loại dài a cm . Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn có độ dài x
cm được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thánh hình vuông 0. ax
Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhấ t.
A. cm
4
a
x
. B.
2
cm
4
a
x
. C. cm
4
a
x
. D.
4
cm
4
a
x
.
Câu 21: Từ một bờ tường có sẵn, người ta muốn rào quanh một khu đấ t theo hình chữ nhậ t với một
số vậ t liệu cho trước là 100 m thẳ ng hàng rào. Khi khu đấ t được rào có diện tích lớn nhấ t
thì chiều dài và chiều rộng hình chữ nhậ t là
A. 50 m , 25 m . B. 35 m , 35 m . C. 75 m, 25 m . D. 50 m ,
DẠNG 3: BÀI TOÁN LIÊN HỆ DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH
Câu 1: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam
giác đều ABC có cạnh bằng 90 cm . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhậ t MNPQ từ
mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và
AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ . Thể tích lớn nhấ t của chiếc thùng mà
bạn A có thể làm được là:
A.
3
91125
4
cm
.
B.
3
91125
2
cm
.
C.
3
108000 3
cm
.
D.
3
13500. 3
cm
.
Câu 2: Ta có một miếng tôn phẳ ng hình vuông với kích thước (cm) a , ta muốn cắt đi ở bốn góc bốn
hình vuông cạnh bằng () x cm để uốn thành một hình hộp chữ nhậ t không có nắp. Phải cắt
như thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhấ t?
A. .
4
a
x . B. .
5
a
x C. .
6
a
x D. .
7
a
x
Câu 3: Từ một tấ m tôn hình tròn có đư ờng kính bằng 60 cm. Người ta cắt bỏ đi một hình quạt S
của tấ m tôn đó, rồi gắn các mép vừa cắt lại với nhau để được một cái nón không có nắp (như
hình vẽ). Hỏi bằng cách làm đó người ta có thể tạo ra cái nón có thể tích lớn nhấ t bằng bao
nhiêu?
A.
3
1800 3. ( ) cm . B.
3
2480 3. ( ). cm
C.
3
2000 3. ( ). cm
D.
3
1125 3. ( ). cm
S
A
B C M N
Q P
S
Câu 4: Một đĩa tròn b ằng thép trắng có bán kính bằng R . Người ta phải cắt đĩa theo m ột hình quạt,
sau đó gấ p lại thành hình nón đ ể làm một cái phễu. Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải
bằng bao nhiêu độ để thể tích cái phễu lớn nhấ t?
A. 66
o
B. 294
o
C. 12,56
o
D. 2,8
o
Câu 5: Để làm một máng xối nước, từ một tấ m tôn kích thước 0,9 3 mm người ta gấ p tấ m tôn
đó như hình v ẽ dưới biết mặt cắt của máng xối (bởi mặt phẳ ng song song với hai mặt đáy)
là một hình thang cân và máng xối là một hình lăng tr ụ có chiều cao bằng chiều dài của tấ m
tôn. Hỏi ( ) xm bằng bao nhiêu thì thể tích máng xối lớn nhấ t?
A. 0,5 xm . B. 0,65 xm . C. 0,4 xm . D. 0,6 xm
Câu 6: Cho một tấ m nhôm hình vuông cạnh 1 m như hình v ẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậ m
của tấ m nhôm rồi gậ p thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (m), sao cho bốn
đỉnh của hình vuông gậ p lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của x để khối chóp nhậ n được
có thể tích lớn nhấ t là
A.
22
5
x B.
1
2
x C.
2
4
x D.
2
3
x
Câu 7: Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhậ t không nắp có thể tích
bằng
3
1000 m . Đáy hồ là hình chữ nhậ t có chiều dài gấ p đôi chiều rộng. Giá để xây xung
quanh hồ là 500.000đồng/m
2
, giá để đổ bê tông đáy hồ là 375.000đồng/
2
m . Số tiền ít nhấ t
để xây được bể là:
A. 225.000.000 đồng. B. 1.150.900.000 đồng.
C. 7.500.150.000 đồng. D. 117.189.900.000 đồng.
3m
0,9m
0,3m
0,3m
xm
0,3m
3m
0,3m
x
x
(a) Tấ m tôn (b) Máng xối (c) Mặt cắt
Câu 8: Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh hình trụ với đáy cốc dày 1,5cm, thành xung quanh cốc
dày 0,2 cm và có thể tích thậ t (thể tích nó đựng được) là 480πcm
3
thì ngư ời ta cần ít nhấ t
bao nhiêu cm
3
thủy tinh?
A.
3
75,66 cm . B.
3
71,16 cm . C.
3
85,41 cm . D.
3
84,64 cm .
Câu 9: Một kênh dẫn nước theo góc vuông có bề rộng 3,0 m (như hình v ẽ). Cho bốn cây luồng
(thẳ ng) có độ dài là 6,2 m ; 8,3 m ; 8,4 m; 9,0 m trôi tự do trên kênh. Hỏi số cây luồng có
thể trôi tự do qua góc kênh là bao nhiêu?
m
3m
3m
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 10: Bên trong một khối gỗ đồ chơi dạng hình chóp đ ều có thể tích V người ta đục một khối
họp chữ nhậ t sao cho một mặt của khối hộp đó nằm trên mặt đáy của khối chóp, các đỉnh
còn lại của khối hộp lần lượt nằm trên các cạnh bên của khối chóp (như hình v ẽ). Thể tích
lớn nhấ t của khối hộp là
A.
2
V
. B.
4
V
. C.
4
9
V
. D.
8
27
V
.
Câu 11: Anh Minh muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậ y dạng hình hộp chữ nhậ t có thể tích
chứa được
3
3200cm , tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 . Xác định diện
tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên vậ t liệu nhấ t.
A.
2
170cm . B.
2
160cm . C.
2
150cm . D.
2
140cm .
Câu 12: Một mảnh vườn hình chữ nhậ t ABCD có 40m AB , 8m AD . Người ta muốn lát một
đường đi từ A đến C như sau: Chọn một điểm M trên AB và lát gạch trên AM , sau đó
lát tiếp trên đoạn MC . Biết chi phí trên AM là 60.000 đồng/mét; trên MC là 100.000
đồng/mét. Tính chi phí thấ p nhấ t để lát đường đi như trên.
A. 3.200.000 đồng. B. 3.040.000 đồng. C. 2.448.000 đồng. D. 4080.000 đồng.
Câu 13: Một sợi dây kim loại dài 1m , được cắt thành 2 đoạn. Đoạn dây thứ nhấ t có độ dài
1
l uốn
thành hình vuông, đo ạn dây thứ nhấ t có độ dài
2
l uốn thành đường tròn. Tính tỷ số
1
2
l
k
l
để tổng diện tích hình vuông và hình tròn là nhỏ nhấ t.
A.
4
k
. B.
1
24
k
. C.
4
k
. D.
1
2
k
.
Câu 14: Một người nông dân có 3 tấ m lưới thép B40 , mỗi tấ m dài m a . Ông muốn rào một mảnh
vườn dọc theo bờ sông có dạng hình thang cân ABCD (có đáy CD trùng với bờ sông không
phải rào). Diện tích vườn lớn nhấ t có thể rào được là bao nhiêu?
A.
22
3m a . B.
2
2
53
m
4
a
. C.
2
2
33
m
4
a
. D.
2
2
3
m
2
a
Câu 15: [2D1-4] Một đoạn dây thép dài 150cm được uốn thành khung có dạng như hình v ẽ.
Khi x thay đổi, tìm x để diện tích hình phẳ ng thu được đạt giá trị lớn nhấ t.
A.
25
cm
4
. B.
100
cm
4
. C.
10
cm
4
. D.
50
cm
4
.
A
F
A
C
D
E
5x 5x
6x
Đề xuất cho bạn
Tài liệu
33961 lượt tải
16094 lượt tải
9681 lượt tải
8530 lượt tải
7110 lượt tải
154178 lượt xem
115084 lượt xem
103443 lượt xem
81134 lượt xem
79270 lượt xem
