Vận dụng cao - Hàm đặc trưng
Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Vận dụng cao - Hàm đặc trưng". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.
T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 1
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
V Ậ N D Ụ N G C A O : H À M Đ Ặ C T R Ư N G
A . T Ó M T Ắ T L Ý T H U Y Ế T
B ài t o án 1. C ho hàm s ố ( ) y f x = l i ê n t ục v à đơ n đi ệ u ( đồng bi ế n hoặc nghị c h bi ế n) t r ê n k ho ảng
D . K hi đó, v ớ i m ọi , u v D Î s ao c ho ( ) ( ) f u f v u v = Û = .
V í d ụ 1. Giải phương trình
2
1 3 1 2
2 1 2 3 1
x x x
x x x
- - -
+ - = + - -
Xét hàm đặc trưng ( ) 2
t
f t t = +
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: ( ) 2 .ln 2 1 0
t
f t t
¢
= + > "
Do đó hàm số luôn đồng biến trên ¡ .
Từ đề bài
2
1 3 1 2
2 1 2 3 1
x x x
x x x
- - -
+ - = + - - suy ra ( ) ( )
2
1 3 1 f x f x x - = - -
2
1 3 1 x x x Û - = - -
2
4 0 x x Û - =
0
4
x
x
é
=
ê
Û
ê
=
ë
B ài t o án 2. C ho hàm s ố ( ) y f x = l i ê n t ục v à đồng bi ế n t r ê n k ho ảng D . K hi đó, v ớ i m ọi , u v D Î
s ao c ho:
( ) ( ) f u f v u v < Û <
( ) ( ) f u f v u v > Û >
V í d ụ 2. Giải bất phương trình sau
2
2
5
2
log 4 3 0
2 3
x x
x x
x
-
+ - + £
-
.
ĐKXĐ:
2
3
0 2
0
2
2 3
2
x x x
x
x
é
ê < < -
ê > Û
ê
-
> ê
ë
Khi đó, bất phương trình tương đương với
( ) ( )
2 2
5
log 2 log 2 3 2 2 3 0 x x x x x x - - - + - - + £
( ) ( )
2 2
5 5
log 2 2 log 2 3 2 3 x x x x x x Û - + - £ - + -
Xét hàm đặc trưng ( )
5
log f t t t = +
TXĐ: ( ) 0; D = + ¥
Đạo hàm ( )
1
1 0 0
.ln5
f t t
t
¢
= + > " >
Do đó hàm số đồng biến trên ( ) 0; + ¥
Theo bài
( ) ( )
2 2
5 5
log 2 2 log 2 3 2 3 x x x x x x - + - £ - + - suy ra
( ) ( )
2 2
2 2 3 2 2 3 f x x f x x x x - £ - Û - £ -
2
4 3 0 1 3 x x x +T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 2
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Kết hợp với ĐKXĐ, ta được tập nghiệm của bất phương trình là ( ]
3
1; 2;3
2
T
÷
ê = È
÷
÷
ê ø
ë
.
B ài t o án 3. C ho hàm s ố ( ) y f x = l i ê n t ục v à nghị c h bi ế n t r ê n k ho ảng D . K hi đó, v ớ i m ọi , u v D Î
s ao c ho:
( ) ( ) f u f v u v < Û >
( ) ( ) f u f v u v > Û <
V í d ụ 3. Cho x là số thực thỏa mãn điều kiện
2
1
2
2
1
1 2 5 log
2 5
x
x x x
x x
+
+ - + - ³
+ -
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của hàm số
3
3 y x x = - .
Giải bất phương trình
2
1
2
2
1
1 2 5 log
2 5
x
x x x
x x
+
+ - + - ³
+ -
ĐKXĐ:
2
1 6
2 5 0
1 6
1 6
1 0
1
x
x x
x
x
x
x
ì é
ï
> - +
ï
ê
ì ï
ï + - >
ï ê ï
> - +
< - -
ê
ë
+ >
î
ï
> -
ï
î
Bất phương trình tương đương với:
( ) ( )
2 2
1 1
2 2
1 2 5 log 1 log 2 5 x x x x x x + - + - ³ + - + -
( ) ( )
2 2
1 1
2 2
log 2 5 2 5 log 1 1 x x x x x x Û + - - + - ³ + - +
Xét hàm đặc trưng ( )
1
2
log f t t t = -
TXĐ: ( ) 0; D = + ¥
Đạo hàm ( )
1 1
0 0
1
2
.ln
2
f t t
t
t
¢
= - < " >
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 0; + ¥
Do đó
( ) ( )
2 2
2 5 1 2 5 1 f x x f x x x x + - ³ + Û + - £ +
2
6 0 3 2 x x x - -
Kết hợp với ĐKXĐ ta được tập nghiệm
(
1 6;2 S
ù
= - +
ú
û
Xét hàm số
3
3 y x x = - trên nửa khoảng
(
1 6;2
ù
- +
ú
û
Đạo hàm
(
2
3 3 0 1 1 6;2 y x x
ù
¢
= - = - +
ú
û
Ta có
( )
1 6 16 6 6 y - + = - + và ( ) 2 2 y =
Vậy
(
1 6;2
min 16 6 6 1 6 y x
ù
- +
ú
û
= - + Û = - + .T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 3
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
B . B À I T Ậ P Á P D Ụ N G
V Ấ N Đ Ề 1 . G I Ả I P H Ư Ơ N G T R Ì N H , B Ấ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H
B ài 1. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực
2
3 1 2 2
2 2 4 3 0
x x x
x x
?
A . 1 B . 2 C . 3 D . 0
L ờ i gi ải
Ta có
2
3 1 2 2
2 2 4 3 0
x x x
x x
2
3 1 2 2
2 3 1 2 2
x x x
x x x
Xét hàm đặc trưng 2
t
f t t
TXĐ: D
Đạo hàm 2 .ln 2 1 0
t
f t t
Do đó f t là hàm đồng biến trên .
Vì vậy
2 2 2
1
3 1 2 3 1 2 4 3 0
3
x
f x x f x x x x x x
x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.
B ài 2. Gọi
1 2
, x x là hai nghiệm của phương trình
2
1 2 1
5 2 1 25
x x
x x
. Tính giá trị biểu thức
2 2
1 2
1 1
P
x x
.
A . 6 P . B . 2 P . C . 6 P . D . 2 P .
L ờ i gi ải
Phương trình tương đương:
2
1 2 2 2
5 1 5 2 2
x x
x x
.
Xét hàm đặc trưng 5
t
f t t
TXĐ: D
Đạo hàm 5 ln 5 1 0
t
f t x
Hàm số đồng biến trên .
Ta có:
2
1 2 2 2 2 2
5 1 5 2 2 1 2 2 1 2 2
x x
x x f x f x x x
.
1 2
2 2
1 2
2
1 2
1 1
2 1 0 6
1 2
x
x x P
x x
x
.
B ài 3. Gọi
0
3 a b
x
c
là một nghiệm lớn hơn 1 của phương trình
1 1
2
1
2 3 1 2 1
3
x
x
x x
. Giá trị của P a b c là
A . 6 P . B . 0 P . C . 2 P . D . 4 P .
L ờ i gi ải
ĐKXĐ: 0 x T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 4
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Ta có
1 1
2
1
2 3 1 2 1
3
x
x
x x
1
1
2
1
3 3 1
2
x
x
x
x
(chia cả 2 vế cho 2 0 x )
1
1
2
1
3 3 1
2
x
x
x
x
Xét hàm đặc trưng 3
t
f t t
TXĐ: D
Đạo hàm 3 .ln 3 1 0
t
f t t
Do đó f t là hàm đồng biến trên .
Vì vậy
2
1 1 1 3
1 1 2 2 1 0
2 2 2
f f x x x x x
x x
Theo bài thì
0
1 3
1, 1, 2 4
2
x a b c P
.
B ài 4. Phương trình
3 2
23 3 2
2 .2 1024 23 10
x x x
x x x có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới
đây
A . 0,35. B . 0,40. C . 0,50. D . 0,45.
L ờ i gi ải
Ta có
3 2 3 2
23 3 2 23 3 10 2
2 .2 1024 23 10 2 23 2 10
x x x x x x
x x x x x x
Xét hàm đặc trưng 2
t
f t t
TXĐ: D
Đạo hàm 2 .ln 2 1 0
t
f t t
Do đó f t là hàm đồng biến trên .
Theo bài ta thấy
3 2 3 2
23 10 23 10 0 f x x f x x x x x hoặc
5 2
23
x
Tổng các nghiệm bằng
10
0,4347
23
B ài 5. Tập nghiệm của bất phương trình
2 2
2 15 100 10 50 2
2 2 25 150 0
x x x x
x x
là:
A . 10;15 B . 10;15 C .
10;15 D . 15; 10
L ờ i gi ải
Ta có
2 2
2 15 100 10 50 2
2 2 25 150 0
x x x x
x x
2 2
2 15 100 2 10 50 2
2 2 15 100 2 10 50
x x x x
x x x x
Xét hàm đặc trưng 2
t
f t t
TXĐ: D T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 5
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Đạo hàm 2 .ln 2 1 0
t
f t t
Do đó f t là hàm đồng biến trên .
Vì vậy
2 2 2 2
2 15 100 10 50 2 15 100 10 50 f x x f x x x x x x
2
25 150 0 x x
10 15 x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 10;15 S .
B ài 6. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình
2
2
3 2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
bằng ?
A . 5 B . 4 C . 1 D . 10
L ờ i gi ải
TXĐ: D
Ta có
2
2
3 2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
2 2 2 2
3 3
log 3 3 log 2 4 5 2 4 5 x x x x x x x x
Xét hàm đặc trưng
3
log f t t t
TXĐ: 0; D
Đạo hàm
1
1 0 0
ln 3
f t t
t
Do đó f t là hàm đồng biến trên 0; .
Vì vậy
2 2 2 2 2
1
3 2 4 5 3 2 4 5 3 2 0
2
x
f x x f x x x x x x x x
x
Vậy tổng bình phương các nghiệm bằng 5.
B ài 7. Biết
1
x ,
2
x là hai nghiệm của phương trình
2
2
7
4 4 1
log 4 1 6
2
x x
x x
x
và
1 2
1
2
4
x x a b với a , b là hai số nguyên dương. Tính . a b
A . 16 a b . B . 11 a b . C . 14 a b . D . 13. a b
L ờ i gi ải
Điều kiện xác định:
0
1
2
x
x
Ta có
2
2
2 2
7 7
2 1 4 4 1
log 4 1 6 log 4 4 1 2
2 2
x x x
x x x x x
x x
2 2
7 7
log 2 1 2 1 log 2 2 1 x x x x
Xét hàm đặc trưng
7
log f t t t T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 6
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
TXĐ: 0; D
Đạo hàm
1
1 0
ln 7
f t
t
với mọi 0 t
Vậy hàm số đồng biến trên 0; . Phương trình 1 trở thành
2 2
3 5
4
2 1 2 2 1 2
3 5
4
x
f x f x x x
x
Vậy
1 2
9 5
4
2 9; 5 9 5 14.
9 5
4
L
x x a b a b
T M
B ài 8. Gọi
1 2 1 2
, x x x x là hai nghiệm của phương trình
2
3 2
2 1
log 3 8 5
1
x
x x
x
. Tính giá trị
của biểu thức
1 2
3 T x x ?
A .
16
3
B .
10
3
C . 4 D . 0
L ờ i gi ải
ĐKXĐ:
2
1
2 1
0
2
1
1
x x
x
x
Ta có
2 2 2
3 3 3 2
2 1
log 3 8 5 log 2 1 log 2 1 3 8 5
1
x
x x x x x x x
x
2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
3 3
log 2 1 log 2 1 3 2 1 2 1 1
log 2 1 2 1 log 2 1 1 3 6 3
log 2 1 2 1 log 3 6 3 3 6 3
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
C H Ú Ý
T ại s ao t a l ại bi ế t c ác h t ác h
2 2
3 8 5 3 2 1 2 1 1 x x x x x ?
Giả sử
2 2
3 8 5 2 1 2 1 x x x x x . Đi đồng nhất các hệ số ta được:
2 2
3 8 5 2 2 x x x x
3 3
2 2 8 1
5 1
Xét hàm đặc trưng
3
log f t t t T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 7
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
TXĐ: 0; D
Đạo hàm
1
1 0 0
ln 3
f t t
t
Do đó f t là hàm đồng biến trên 0; .
Vì vậy
2 2 2
2
2 1 3 6 3 2 1 3 6 3 3 8 4 0
2
3
x T M
f x f x x x x x x x
x T M
B ài 9. Phương trình
2 2
3 3
log 2 3 7 log 1 x x x x x có số nghiệm là T và tổng các
nghiệm là S . Khi đó T S bằng
A . 2 . B . 4 . C . 3. D . 1.
L ờ i gi ải
Điều kiện xác định:
2
2 3 0
1
1 0
x x
x
x
.
Ta có
2 2
3 3
log 2 3 7 log 1 x x x x x
2 2
3 3
log 2 3 2 3 3 1 1 log 1 x x x x x x
2 2
3 3
log 2 3 2 3 log 1 1 3 1 x x x x x x
2 2
3 3
log 2 3 2 3 log 3 3 3 3 x x x x x x
Xét hàm đặc trưng
3
log f t t t
TXĐ: 0; D
Đạo hàm
1
1 0 0
ln 3
f t t
t
Do đó f t là hàm đồng biến trên 0; .
Suy ra
2 2 2
3
2 3 3 3 2 3 3 3 6 0
2
x T M
f x x f x x x x x x
x L
Vậy 4 T S .
B ài 10. Có bao nhiêu nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình
2
4 1
log 2
2
x
x x
x
?
A . 2 B . 1 C . 3 D . 0
L ờ i gi ải
ĐKXĐ:
4 1
0
0
2
0
x
x
x
x
T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 8
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Do đó
1 1
2 2
x
x
.
Ta có
2
4 1
log 2
2
x
x x
x
2 2
log 4 1 log 2 2 x x x x
2 2
log 1 2 log 2 2 x x x x
2 2
log 1 2 1 log 2 2 2 x x x x
Xét hàm đặc trưng
2
log 2 f t t t trên nửa khoảng 1;
Đạo hàm
1
2
ln 2
f t
t
. Vì 1 t nên
1 1
2
ln 2 ln 2 t
. Do đó 0 f t .
Hàm số nghịch biến trên
1;
Suy ra
1 5
1 2 1 2 1 0 0
2
f x f x x x x x x
3 5
0
2
x
+
<
Kết hợp với ĐKXĐ ta được
3 5
0
2
x
. Vậy có ba nghiệm nguyên là 0; 1; 2 x .
B ài 11. Cho phương trình
2
2 2
1 2 1 1
log 2 3 log 1 2 2
2
x
x x x
x x
. Gọi S là tổng tất
cả các nghiệm của nó. Khi đó, giá trị của S là
A . 2 S . B .
1 13
2
S
. C . 2 S . D .
1 13
2
S
.
L ờ i gi ải
Điều kiện xác định:
1
2
2
0
x
x
.
Ta có:
2
2 2
1 2 1 1
log 2 3 log 1 2 2
2
x
x x x
x x
2
2 2
1 1
log 2 2 2 2 1 log 2 1 x x x
x x
2
2
2 2
1 1
log 2 2 1 log 2 2 1 x x
x x
Xét hàm đặc trưng
2
2
log 1 f t t t .
TXĐ: 0; D T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 9
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Đạo hàm
1
2 1
ln 2
f t t
t
2
2ln 2. 2ln 2. 1
0
.ln 2
t t
t
, 0 t
Do đó hàm số f t đồng biến trên khoảng 0; .
Suy ra
1
2 2 f x f
x
1
2 2 x
x
3 2
2 4 1 0 x x x
1
3 13
2
3 13
2
x
x
x
Kết hợp với điều kiện ta được
1
3 13
2
x
x
.
Vậy
1 13
2
S
.
B ài 12. Số nghiệm của phương trình
2
sin 2 cos 1 log sin x x x trên khoảng 0;
2
là:
A . 4 . B . 3. C . 2 . D . 1.
L ờ i gi ải
Vì sin 0 x và cos 0 x , 0;
2
x
nên phương trình đã cho tương đương với
2 2 2
sin 2 cos log cos 1 log sin log cos x x x x x
2 2
log cos cos log sin 2 sin 2 * x x x x
Xét hàm đặc trưng
2
log f t t t , với 0;1 t ta có
1
1 0, 0;1
ln 2
f t t
t
.
Do đó, hàm số f t đồng biến trên khoảng 0;1 . Từ phương trình * , ta có
cos sin 2 cos sin 2 f x f x x x
1
sin
2
x
2
6
5
2
6
x k
x k
p
p
p
p
é
ê = +
ê
Û
ê
ê
= +
ê
ê
ë
( ) k Î ¢
Vì 0;
2
x
nên
6
x
.T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 10
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
B ài 13. Cho hàm số ( ) 2019 2019
x x
f x
-
= - .
Tìm số nguyên m lớn nhất để ( ) ( ) 2 2019 0 f m f m + + < ?
A . 673 - B . 674 - C . 673 D . 674
L ờ i gi ải
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2019 2019 2019 2019
x x x x
f x f x f x f x f x
- -
= - Þ - = - = - Þ = - -
Vì vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2019 0 2 2019 0 2 2019 f m f m f m f m f m f m + + < Û - - + + < Û + < -
Xét hàm số ( ) 2019 2019
x x
f x
-
= -
TXĐ: D
Đạo hàm ( ) 2019 .ln 2019 2019 .ln 2019 0
x x
f x x
Do đó f x là hàm đồng biến trên .
Suy ra ( ) ( ) 2 2019 2 2019 673 f m f m m m m + < - Û + < - Û < -
Vậy số nguyên m lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 674
B ài 14. Cho hàm số
2
( ) ln 1 . y f x x x Tập nghiệm của bất phương trình
1 ln 0 f a f a là
A .
0;1 B . 0;1 C . 1 ; D . 0;
L ờ i gi ải
Ta có
2 2
ln 1 ln 1 f x x x f x x x
2
1
ln
1 x x
1
2
ln 1 x x
2
ln 1 x x f x
Do đó 1 1 f x f x f a f a
Vậy nên 1 ln 0 1 ln 0 ln 1 f a f a f a f a f a f a
Xét hàm số
2
ln 1 f x x x
Vì
2
1 1 x x nên để
2
1 0 x x thì 1 x . Vậy TXĐ: 1; D
Đạo hàm
2
2 2
2 2 2
1
1
1
1 1
0
1 1 1
x x x
x x
f x x
x x x x x
.
Do đó hàm số luôn đồng biến trên khoảng 1; .
Suy ra ln 1 ln 1 ln 1 0 f a f a a a a a
Giải bất phương trình ln 1 0 a a
ĐKXĐ: 0 a
Xét hàm số ln 1 g a a a trên khoảng 0; T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 11
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Đạo hàm
1
1 0 0 g a a
a
. Đo đó hàm số đồng biến trên khoảng 0; .
Nhận thấy 1 0 g nên bất phương trình 1 1 g a g a
Kết hợp với ĐKXĐ ta được 0 1 a .
B À I T Ậ P T Ư Ơ N G T Ự D À N H C H O B Ạ N Đ Ọ C T Ự G I Ả I
B ài 15. Cho hàm số ( ) 3 3
x x
f x
-
= - . Gọi
1 2
, m m là các giá trị thực của tham số m để
( ) ( )
2
2 2
3log log 2 0 f m f m + + = . Tính
1 2
. T m m = .
A .
1
8
B .
1
4
C .
1
2
D . 2
B ài 16. Cho hàm số ( ) 2 2
x x
f x
-
= - . Gọi
0
m là số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn
( ) ( )
12
2 2 0 f m f m + - < . Mệnh đề nào sau đây đ ú n g ?
A . [ )
0
1;505 m Î B . [ )
0
505;1009 m Î C . [ )
0
1009;1513 m Î D . [ )
0
1513;2019 m Î
B ài 17. Cho hàm số
2
( ) ln 1
x x
f x x x e e
. Hỏi phương trình
( ) ( ) 3 2 1 0
x
f f x + - = có
bao nhiêu nghiệm thực ?
A . 1 B . 0 C . 2 D . 3
V Ấ N Đ Ề 2 . P H Ư Ơ N G T R Ì N H , B Ấ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H C H Ứ A T H A M S Ố
B ài 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân
biệt:
3 3
7 10 3 x x m x m + + = - ?
A . 1. B . 3. C . 2 . D . Vô số.
L ờ i gi ải
Ta có
3 3 3 3
7 10 3 10 3 10 3 x x m x m x x x m x m + + = - Û + = - + -
( )
3
3 3 3
10 3 10 3 x x x m x m Û + = - + -
Xét hàm đặc trưng
3
( ) 10 f t t t
TXĐ: D
Đạo hàm
2
( ) 3 10 0 f t t t
Do đó ( ) f t là hàm đồng biến trên .
Suy ra
3 3 3
3 3 3 f x f x m x x m x x m
Xét hàm số
3
( ) 3 g x x x
TXĐ: D
Đạo hàm
2
3 3 0 1 g x x x T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 12
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Bảng biến thiên
x 1 1
g x
0 0
g x
2
2
Từ BBT ta thấy, phương trình g x m có ba nghiệm phân biệt khi 2 2 2 2 m m
Vậy 0; 1 m .
B ài 2. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho phương trình
3
3
1 3 3 3 x m x m
có đúng hai nghiệm thực. Tính tổng tất cả phần tử của tập hợp S .
A . 4. B . 2. C . 6. D . 5.
L ờ i gi ải
Ta có
3 3
3 3
1 3 3 3 1 3 3 3 3 3 x m x m x x x m x m
3
3
3 3
1 3 1 3 3 3 x x x m x m
Xét hàm đặc trưng
3
3 f t t t
TXĐ: D
Đạo hàm
2
3 3 0 f t t t
Do đó f t là hàm đồng biến trên .
Suy ra
3 2 3 3
1 3 1 3 3 1 f x f x m x x m x x m
Xét hàm số
3 2
( ) 3 1 g x x x
TXĐ: D
Đạo hàm
2
0
3 6 0
2
x
g x x x
x
Bảng biến thiên
x 2 0
g x
0 0
g x
5
1
Từ BBT ta thấy, phương trình g x m có hai nghiệm khi 1; 5 1; 5 m S .
Vậy tổng các phần tử của tập S bằng 6.T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 13
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
B ài 3. Gọi S là tập hợp giá trị thực của tham số m sao cho phương trình
9 3 3
3 9 3 9 x x x m x m có đúng hai nghiệm thực. Tích tất cả phần tử của tập S là
A . 1 . B . 64 . C . 81 . D . 121 .
L ờ i gi ải
Ta có
9 3 3
3 9 3 9 x x x m x m
3
3
3 3 3 3
3 9 3 9 x x x m x m 1 .
Xét hàm đặc trưng
3
3 f t t t
TXĐ: D
Đạo hàm
2
3 3 0 f t t , t R nên nó đồng biến trên R .
Mặt khác, theo 1 ta có
3 3
9 f x f x m
3 3
9 x x m hay
9
9 m x x * .
Đặt
9
9 g x x x , ta có
8
9 9 g x x ; 0 g x 1 x .
Bảng biến thiên:
x
1 1
g x
0 0
g x
8
8
Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phương trình * có đúng hai nghiệm thực
8 m hoặc 8 m . Do đó 8; 8 S . Tích các phần tử của S bằng 64 .
B ài 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình
3 3
3 3cos cos m m x x có
nghiệm thực ?
A . 2 B . 1 C . 3 D . 4
L ờ i gi ải
Ta có
3 3 3 3
3 3cos cos 3 3cos cos m m x x m m x x
3 3
3
3 3 3
3cos 3 3cos cos 3cos
3cos 3 3cos cos 3cos
m x m x x x
m x m x x x
Xét hàm đặc trưng
3
3 f t t t
TXĐ: D
Đạo hàm
2
3 3 0 f t t t
Do đó f t là hàm đồng biến trên .
Suy ra
3 3 3
3cos cos 3cos cos cos 3cos 1 f m x f x m x x m x x
Đặt cos 1;1 u x u . Phương trình 1 trở thành:
3
3 m u u g u
Xét hàm số
3
3 g u u u
TXĐ: D T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 14
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Đạo hàm
2
3 3 0 1 1;1 g u u u
Bảng biến thiên
u
1 1
g u
0 0
g u
2
2
Từ BBT ta thấy, phương trình g u m có nghiệm khi 2 2 m .
Vậy 1; 2 m .
B à i 5. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
3 2 2
2 1 1 1
m m
e e x x x x có nghiệm là
A .
1
0; ln 2
2
B .
1
; ln 2
2
C .
1
0;
e
D .
1
ln 2;
2
L ờ i gi ải
Đặt
2
2 2
1 2
1
1 2 1
t
t x x
t x x
.
Khi đó:
3 2
e e 1
m m
t t
3 3
e e
m m
t t .
Xét hàm đặc trưng
3
f u u u
2
3 1 f u u . Hàm số luôn đồng biến.
3 3
e e
m m
t t
e
m m
f f t e t .
Phương trình có nghiệm khi
1
1 e 2 e 2 ln 2
2
m m
t m .
B ài 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số ; x y thỏa mãn
2 1 3 2
1
x y x y
e e x y
, đồng thời thỏa mãn
2 2
2 2
log 2 1 4 log 4 0 x y m x m .
A . 3. B . 4 . C . 5. D . 6 .
L ờ i gi ải
Ta có:
2 1 3 2
1
x y x y
e e x y
2 1 3 2
2 1 3 2
x y x y
e x y e x y
.
Xét hàm số
t
f t e t trên .
Ta có 1 0
t
f t e nên hàm số đồng biến trên .
Do đó phương trình có dạng: 2 1 3 2 f x y f x y 2 1 3 2 x y x y 1 y x .
Thế vào phương trình còn lại ta được:
2 2
2 2
log 4 log 4 0 x m x m .
Đặt
2
log t x , phương trình có dạng:
2 2
4 4 0 t m t m .
Để phương trình có nghiệm thì 0
2
3 8 0 m m
8
0
3
m .
Do đó có 3 số nguyên m thỏa mãn.T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 15
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
B à i 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
2
2
2
2 1
log 2 1 2
2
x m x
x m x x
x
có hai nghiệm thực phân biệt ?
A . 3. B . 4 . C . 2 . D . 1.
L ờ i gi ải
Điều kiện:
2
2 0
2 1 0
x
x m x
.
Ta có
2
2
2
2 1
log 2 1 2
2
x m x
x m x x
x
2 2
2 2
log 2 1 2 1 log 2 2 x m x x m x x x
2
2 1 2 f x m x f x 1
Xét hàm số
2
log f t t t với 0; t có
1
1 0
ln 2
f t
t
, 0; t
f t đồng biến trên 0; nên 1
2
2 1 2 x m x x .
Từ đó
2 2 2
2 2
4 3 0 2 2 1 2
x x
x m x x m x x
.
YCBT 2 có hai nghiệm phân biệt
1
x ,
2
x lớn hơn 2
2
1 2
1 2
4 12 0
2 2 0
2 2 0
m
x x
x x
1 2
1 2 1 2
4 0
2 4 0
m
x x
x x x x
4 4 0
3 2 4 4 0
m
m
m
8
9
9
2
2
m
m
m
Mà
*
1;2;3;4 m m .T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 16
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
B ài 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình:
2
2
2 2
3 3 1
log 5 2
2 1
x x m
x x m
x x
có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn 1.
A . Vô số B . 2 C . 4 D . 3
L ờ i gi ải
Ta có
2
2
2 2
3 3 1
log 5 2
2 1
x x m
x x m
x x
2 2 2
2 2
log 3 3 1 log 2 1 5 2 x x m x x x x m
2 2 2 2
2 2
log 3 3 1 log 2 1 2 2 1 3 3 1 1 x x m x x x x x x m
2 2 2 2
2 2
log 3 3 1 3 3 1 log 2 1 1 2 2 1 x x m x x m x x x x
2 2 2 2
2 2
log 3 3 1 3 3 1 log 4 2 2 4 2 2 x x m x x m x x x x
Xét hàm đặc trưng
2
log f t t t
TXĐ: 0; D
Đạo hàm
1
1 0 0
ln 2
f t t
t
Do đó f t là hàm đồng biến trên 0; .
Vì vậy
2 2
3 3 1 4 2 2 f x x m f x x
2 2
3 3 1 4 2 2 x x m x x
2
5 1 x x m
Xét hàm số
2
5 1 g x x x trên khoảng 1;
Đạo hàm
5
2 5 0 1;
2
g x x x
Bảng biến thiên
x 1 2,5
g x
0
g x
3
21
4
Từ BBT ta thấy, phương trình g x m có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi
21
3
4
m
Vậy 5; 4 m .T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 17
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
B ài 9. Cho phương trình
2
2
3 2
2
log 4 .
1
x x m
x x m
x
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
2018;2018 m để phương trình có hai nghiệm trái dấu?
A . 2022. B . 2021. C . 2016. D . 2015.
L ờ i gi ải
Ta có
2
2
3
2
2
log 4
1
x x m
x x m
x
2 2 2
3 3
log 2 log 1 4 x x m x x x m
2 2 2 2
3 3
log 2 log 1 3 1 2 1 x x m x x x x m
2 2 2 2
3 3
log 2 2 log 1 1 3 1 x x m x x m x x
2 2 2 2
3 3
log 2 2 log 3 3 3 3 x x m x x m x x
Xét hàm đặc trưng
3
log f t t t
TXĐ: 0; D
Đạo hàm
1
1 0 0
ln 3
f t t
t
Do đó f t là hàm đồng biến trên 0; .
Vì vậy
2 2 2 2 2
2 3 3 2 3 3 3 0 f x x m f x x x m x x x m
Phương trình
2
3 0 x x m có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 0 a c
3 0 3 m m
Từ 4 đến 2018 có 2015 số nguyên.
B à i 10. Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn
5
4 2 5
log 3 4
a b
a b
a b
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
2 2
T a b
A .
1
2
. B .
5
2
. C .
3
2
. D . 1.
L ờ i gi ải
Ta có
5
4 2 5
log 3 4
a b
a b
a b
5 5
log 4 2 5 log 5 5 4 2 5 a b a b a b a b
5 5
log 4 2 5 4 2 5 log 5 5 a b a b a b a b (*)
Xét hàm số
5
log f t t t
TXĐ: 0; D
Đạo hàm
1
1 0 0
ln 5
f t t
t
Do đó f t đồng biến trên 0; nênT r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 18
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
(*) 4 2 5 5 4 2 5 5 f a b f a b a b a b
5 3 a b
2 2
T a b
2
2
2 2
3 5 5
5 3 10 30 25 10
2 2 2
T b b b b b
.
Vậy GTNN
5
2
T .
B ài 11. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình sau
6 4 3 3 2
3 4 2 0 x x m x x m x đúng với mọi 1;3 x . Tổng tất cả các phần tử thuộc S bằng:
A . 3 B . 2 C . 1 D . 4
L ờ i gi ải
Ta có
6 4 3 3 2
3 4 2 0 x x m x x m x
6 4 2 3 3
3
6 4 2 2
3
3
2 2
3 4 2
3 3 1 1
1 1
x x x m x m x
x x x x m x m x
x x m x m x
Xét hàm số
3
f t t t
TXĐ: D
Đạo hàm
2
3 1 0 f t t t .
Do đó f t là hàm đồng biến trên .
Suy ra
2 2
1 1 f x f m x x m x .
Vì 1;3 x nên
2
2
1
1
x
x m x m g x
x
Xét hàm số
2
1 x
g x
x
trên 1;3 .
Đạo hàm
2
2
1 1;3
1
0
1 1;3
x
x
g x
x x
Bảng biến thiên
x 1 3
g x
0
g x
10
3
2
Vì m g x nên
1;3
min 2 m g x . Do đó 1; 2 S .
Vậy tổng các phần tử của S bằng 3.T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 19
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
B ài 12. Tìm m để phương trình
6 4 3 3 2 2
6 15 3 6 10 0 x x m x m x m x có đúng hai nghiệm
phân biệt thuộc
1
;2 .
2
A .
11
4.
5
m B .
5
2 .
2
m C .
9
0 .
4
m D .
7
3.
5
m
L ờ i gi ải
Ta có
6 4 3 3 2 2
6 15 3 6 10 0 x x m x m x m x
3
3
2 2
2 3 2 1 3 1 x x m x m x
2
2 1 (*) f x f m x
Xét hàm số
3
3 f t t t .
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm
2
3 3 0, f t t t ¡
Hàm số f t đồng biến trên ¡ .
Nên
2
(*) 2 1 x m x
2
2
1
1 0
x
x m x m
x
(vì 0 x không là nghiệm của phương
trình(*))
Xét hàm số
2
1 x
g x
x
trên
1
;2 .
2
Ta có
2
1
1 g x
x
1
1 ;2
2
0
1
1 ;2
2
x
g x
x
Bảng biến thiên
x 1
2
1 2
g x
0
g x
5
2
5
2
2
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc
1
;2
2
khi
và chỉ khi
5
2 .
2
m T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 20
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
B ài 13. Cho hàm số
3 2 3
( ) 8 36 53 25 3 5 f x x x x m x m với m là tham số. Có bao nhiêu
số nguyên m thuộc đoạn 2019;2019 sao cho ( ) 0 f x 2;4 x .
A . 2020. B . 4038. C . 2021. D . 2022.
L ờ i gi ải
Ta có ( ) 0 f x
3 2 3
8 36 53 25 3 5 0 x x x m x m
3 2 3
8 36 56 30 3 5 3 5 0 x x x x m x m
3 2 3
8 36 56 30 3 5 3 5 x x x x m x m
3 2 3
8 3.4 .3 54 27 2 3 3 5 3 5 x x x x x m x m
3
3
3 3
2 3 2 3 3 5 3 5 x x x m x m
Xét hàm đặc trưng
3
f t t t
TXĐ: D
Đạo hàm
2
3 1 0 f t t t
Do đó f t là hàm đồng biến trên .
Suy ra
3
2 3 3 5 f x f x m
3
2 3 3 5 x x m
3 2
8 36 54 27 3 5 x x x x m
3 2
8 36 51 22 x x x m
Xét hàm số
3 2
8 36 51 22 g x x x x trên đoạn 2;4
Đạo hàm
2
6 2
2;4
4
24 72 51 0
6 2
2;4
4
x
g x x x
x
Bảng biến thiên
x 2 4
g x
g x
118
0
Từ BBT ta thấy
2; 4
min 0 m g x m g x .
Từ 2019 đến 0 có 2020 giá trị nguyên.T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 21
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
B ài 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có nghiệm thực?
3
sin 2 3sin 3 2 sin 2 sin 1
2 sin 6cos 9cos 6 2 2 1
x m x x x
x x x m
.
A . 22 . B . 20 . C . 24 . D . 21.
L ờ i gi ải
Ta có
3
sin 2 3sin 3 2 sin 2 sin 1
2 sin 6cos 9cos 6 2 2 1
x m x x x
x x x m
3
3
sin 2 3sin sin 2 sin 1
2 sin 2 3sin 8 2 2 1
x m x x x
x m x
3
3
sin 2 3sin sin 2
2 sin 2 3sin 2 1
x m x x
x m x
3 3
3sin 2 sin
2 3sin 2 2 sin
m x x
m x x
Xét hàm
3
2
t
f t t trên .
Đạo hàm
2
2 .ln 2 3 0,
t
f t t t
Do đó hàm số liên tục và đồng biến trên .
3sin 2 sin f m x f x 3sin 2 sin m x x *
Đặt sin t x , 1;1 t . Khi đó * trở thành:
3 2
6 9 8, 1;1 m t t t t .
Xét hàm
3 2
6 9 8, 1;1 g u u u u u
Ta có:
2
3 12 9 g u u u ,
3 1;1
0
1 1;1
u
g u
u
.
Bảng biến thiên
u
1 1
g u
g u
24
4
Vậy 4;24 m , có 21 giá trị nguyên của m thảo mãn điều kiện bài toán.
B ài 15. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2
1 2
2 2
2 .log 2 3 4 .log 2 2
x x m
x x x m
có đúng ba nghiệm phân biệt là
A .
1 3
;1;
2 2
S
B .
1 3
; 1;
2 2
S
C .
1 3
;1;
2 2
S
D .
1 3
;1;
2 2
S
L ờ i gi ải
Ta có
2
1 2
2 2
2 .log 2 3 4 .log 2 2
x x m
x x x m
2
2
1 2
2 2
2 .log 1 2 2 .log 2 2
x x m
x x m
2
1 2 f x f x m
Xét hàm số
2
2 .log 2
t
f t t trên nửa khoảng [ ) 0; + ¥T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 22
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Đạo hàm
2
1
2 .ln 2.log 2 2 . 0
2 ln 2
t t
f t t
t
, 0 t .
f t đồng biến trên
0;
2
1 2 x x m (1)
Khi x m , (1)
2
4 1 2 0 x x m (2)
Khi x m , (1)
2
2 1 x m (3)
T H 1: (2) có nghiệm kép
0
x , (3) có hai nghiệm phân biệt khác
0
x .
Khi đó
3
2
m thì (2) có nghiệm
3
2
2
x , (3) có hai nghiệm phân biệt
3
2
2
x .
T H 2: (3) có nghiệm kép
0
x , (2) có hai nghiệm phân biệt khác
0
x .
Khi đó
1
2
m thì (3) có nghiệm
1
0
2
x , (2) có hai nghiệm
1
2 2
2
x .
T H 3: (2) và (3) có chung một nghiệm
0
x , khi đó
0
x m 1 m , thử lại 1 m thỏa yêu cầu bài
toán.
Vậy
1 3
;1;
2 2
S
.
B ài 16. Cho phương trình
2
2 2
1
2
2
4 log 2 3 2 log 2 2 0
x m x x
x x x m
. Tìm tất cả các
giá trị thực của tham số m để phương trình trên có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
A .
1
2
m hoặc
3
2
m . B .
1
2
m .
C .
3
2
m . D .
3
2
m hoặc
1
2
m .
L ờ i gi ải
Ta có
2
2 2
1
2
2
4 log 2 3 2 log 2 2 0
x m x x
x x x m
2
1 2 2 2
2 2
2 log 2 3 2 log 2 2
x m x x
x x x m
2
2
2 2
3 2 2
3 2 3
log 2 3 log 2 2
2
2
x m
x x
x x x m
.
Xét hàm số
2 2
3
log 2 log
2 8
u
u
u u
f u
với 2 u .
Đạo hàm
2
1 2
2 .log .ln 2 0
8 .ln 2
u
u
f u u
u
, 2 u .
Suy ra hàm số f u đồng biến trên 2; nên
2
2 3 2 2 f x x f x m
2
1 2 x x m
2
2
4 1 2 0 1
1 2 0 2
x x m
x m
Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 23
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
T H 1: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, phương trình 2 vô nghiệm, suy ra
3 2 0
1
2 1 0 2
m
m
m
. Suy ra
1
2
m thỏa 1* .
T H 2: Phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt, phương trình 1 vô nghiệm, suy ra
3 2 0
3
2 1 0 2
m
m
m
. Suy ra
3
2
m thỏa 2* .
T H 3: Phương trình 1 có nghiệm kép suy ra
3
2
m , khi đó nghiệm của phương trình 1 là 2 x ,
nghiệm của phương trình 2 là 2 x , suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm. Suy ra
3
2
m
không thỏa 3* .
T H 4: Phương trình 2 có nghiệm kép suy ra
1
2
m , khi đó nghiệm của phương trình 2 là 0 x ,
nghiệm của phương trình 1 là 2 2 x , suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm. Suy ra
1
2
m
không thỏa 4* .
T H 5: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt nhưng
hai phương trình này có nghiệm giống nhau.
Khi đó
3 2 0
1 3
2 1 0 2 2
m
m
m
.
Gọi a , b b a là hai nghiệm của phương trình 1 , theo định lí Vi-ét ta có
4
. 2 1
a b
a b m
3 .
Vì a , b cũng là nghiệm của phương trình 2 nên
0
. 2 1
a b
a b m
4
Từ 3 và 4 ta suy ra m 5* .
Từ 1* , 2* , 3* , 4* và 5* suy ra
1
2
m hoặc
3
2
m thỏa mãn ycbt.
B ài 17. Tìm m để phương trình
2
4 2
3
2tan
tan tan 3tan .
tan
x m
x x x m
x
có hai nghiệm phân biệt
thuộc nửa khoảng 0;
3
?
A . 1 3 m . B . 1 0 m . C . 1 0 m . D . 1 3 m .
L ờ i gi ải
Đặt
tan 0; 3 t x t
. Bài toán trở thành:T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 24
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Tìm m để phương trình
2
4 2
3
2
3 .
t m
t t t m
t
có hai nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng
0; 3
Ta có
2
4 2
3
2
3 .
t m
t t t m
t
4 2
3
3 . 2
m
t t t t m
t
Vì 0 t nên chia cả hai vế cho t ta được:
3
3 3
3 3 3
3 2 3 2 3 2
m m m m
t t t t t t t
t t t t
Xét hàm đặc trưng
3
3 f u u u
TXĐ: D
Đạo hàm
2
3 3 0 f u u u
Do đó f u là hàm đồng biến trên .
Suy ra
3 4 2
3 3
2 2 2 2
m m m
f t f t t t t t t t m
t t t
Xét hàm số
4 2
2 g t t t trên nửa khoảng
0; 3
Đạo hàm
3
0 0; 3
4 4 0 1 0; 3
1 0; 3
t
g t t t t
t
Bảng biến thiên
t
0 1 3
g t
0 0
g t
0 3
1
Từ BBT, phương trình g t m có hai nghiệm phân biệt khi 1 0 m .
B ài 18. Cho phương trình
3 3 3
sin 2 cos 2 2 2cos 1 2cos 2 3 2cos 2 x x x m x m x m .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm
2
0;
3
x
?
A . 3. B . 4 . C . 2 . D . 1.
L ờ i gi ảiT r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 25
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
ĐKXĐ:
3 3
2cos 2 0 2cos 2 x m m x
Vì
2
0;
3
x
nên
3 3
1 1 1
cos 1 cos 1 2 2cos
2 8 4
x x x
3
7
4 2cos 2
4
x
Mà
3
2cos 2 m x nên
7
4
m
Ta có
3 3 3
sin 2 cos2 2 2cos 1 2cos 2 3 2cos 2 x x x m x m x m
2 3 3 3
3
3 3 3
sin 2 1 2sin 2 2cos 2 1 2cos 2 3 2cos 2
2sin sin 2 2cos 2 2cos 2
x x x m x m x m
x x x m x m
Xét hàm đặc trưng
3
2 f t t t
TXĐ: D
Đạo hàm
2
6 1 0 f t t t . Vậy hàm số f t đồng biến trên
Suy ra
3 3
sin 2cos 2 sin 2cos 2 f x f x m x x m
Vì
2
0;
3
x
nên 0 sin 1 x , bình phương hai vế ta được:
2 3 2 3 3 2
sin 2cos 2 1 cos 2cos 2 2cos cos 1 x x m x x m x x m
Đặt
1
cos ;1
2
u x u
. Phương trình trở thành
3 2
2 1 u u m .
Xét hàm số
3 2
2 1 g u u u trên
1
;1
2
.
Đạo hàm
2
1
0 ;1
2
6 2 0
1 1
;1
3 2
u
g u u u
u
Bảng biến thiên
u 1
2
1
3
0 1
g u
0 0
g u
28
27
4
1 1T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 26
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Từ BBT, phương trình g u m có một nghiệm khi:
1 1
28 28
4 4
27 27
m m
m m
Kết hợp với điều kiện
7
4
m , ta được: 1 m hoặc
7 28
4 27
m . Vậy 1 m .
B À I T Ậ P T Ư Ơ N G T Ự D À N H C H O B Ạ N Đ Ọ C T Ự G I Ả I
B ài 19. Cho phương trình ( )
( )
3
12 4 4 4 3 x m x m x x m + - - = - - . Có bao nhiêu giá trị nguyên
của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt ?
A . 3 B . 4 C . 2 D . 1
B ài 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm với
mọi 1;2 x ?
3 3 2
1 3 4 2 0 m x x m x
A . 3 B . 2 C . 1 D . 4
B ài 21. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số 2019;2019 m để bất phương trình
3 3 3 2 3 3
1 3 2 13 3 10 0 m x m x m m x m m đúng với mọi 1;3 x . Số phần tử của
tập S là
A . 4038. B . 2021. C . 2022. D . 2020.
B ài 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
3 3
3 3sin sin m m x x có nghiệm thực ?
A . 1 B . 2 C . 4 D . 3
B ài 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m nhỏ hơn 10 sao cho phương
trình
x x
m m e e có nghiệm thực?
A . 9. B . 8. C . 10. D . 7.
B ài 24. Tìm các giá trị của m để phương trình ln ln m m x x có nhiều nghiệm nhất .
A . 0. m B . 1. m C . . m e D . 1. m
B ài 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
2
cos cos x x m m có nghiệm ?
A . 3 B . 5 C . 2 D . 4
B ài 26. Cho phương trình
3
3 log
x
m x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
15;15 m để phương trình đã cho có nghiệm.
A . 16. B . 9. C . 14. D . 15.
B ài 27. Cho phương trình
5
5 log
x
m x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
20;20 m để phương trình đã cho có nghiệm?
A . 20. B . 19. C . 9. D . 21.T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 27
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
B ài 28. Phương trình
3
2 3 3 2 2 1
2 6 9 2 2 1
x m x x x
x x x m
có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi ( ; ) m a b đặt
2 2
T b a thì:
A . 36 T . B . 48 T . C . 64 T . D . 72 T .
V Ấ N Đ Ề 3 . T Ì M G I Á T R Ị L Ớ N N H Ấ T – G I Á T R Ị N H Ỏ N H Ấ T
B ài 1. Xét các số thực dương , x y thoả mãn
2
2 1
2
2
2018
1
x y x y
x
. Giá trị nhỏ nhất
min
P của biểu
thức 2 3 P y x bằng
A .
min
3
4
P B .
min
5
6
P C .
min
7
8
P D .
min
1
2
P
L ờ i gi ải
Ta có
2 2
2 1 2 1
2018 2018 2 2
2 2
2018 log 2018 log
1 1
x y x y x y x y
x x
2
2
2018 2018
2 1 log 2 log 1 x y x y x
2 2
2018 2018
2 2
2018 2018
log 2 1 2 4 2 4 2 log 2
log 2 1 2 2 1 log 2 2 2
x x x x x y x y
x x x x x y x y
Xét hàm:
2018
log 2 , 0 f t t t t
Đạo hàm
1
2 0 , 0.
ln 2018
f t t
t
Do đó hàm f t đồng biến trên khoảng 0; .
Mà
2 2 2
* 2 1 2 2 1 2 1 f x x f x y x x x y y x
Khi đó:
2
2
3 7 7
2 3 2 3 2 2
4 8 8
P y x x x x
Vậy
min
7
8
P khi
3
4
x .
B ài 2. Xét các số thực x , y 0 x thỏa mãn
3 1 1
3
1
2018 2018 1 2018 3
2018
x y x y x y
x y
x y x
Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 T x y . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A . 0;1 m . B . 1;2 m . C . 2;3 m . D . 1;0 m .
L ờ i gi ải
Ta có
3 1 1
3
1
2018 2018 1 2018 3
2018
x y x y x y
x y
x y x
3 3 1 1
2018 2018 3 2018 2018 1
x y x y x y x y
x y x y
3 1 f x y f x y 1T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 28
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Xét hàm số 2018 2018
t t
f t t
, với t
Đạo hàm 2018 ln 2018 2018 ln 2018 1 0
t t
f t
, t .
Do đó f t đồng biến trên nên 1 3 1 x y x y
3 1 y x x
1
3
x
y
x
2 1
3
x
T x
x
.
Xét hàm số
2 1
3
x
f x x
x
, với 0; x có đạo hàm
2
4
1
3
f x
x
2
2
6 5
0
3
x x
x
, 0; x .
Do đó f x đồng biến trên 0;
2
0
3
f x f .
Dấu “ ” xảy ra 0 x
2
3
m .
B ài 3. Cho các số thực x , y với 0 x thỏa mãn
3 1 1
3
1
5 5 1 1 5 3
5
x y x y x y
x y
x y y
. Gọi
m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 T x y . Mệnh đề nào sau đây là đ ú n g?
A . 0;1 m . B . 1;2 m . C . 2;3 m . D . 1;0 m .
L ờ i gi ải
Ta có:
3 1 1
3
1
5 5 1 1 5 3
5
x y x y x y
x y
x y y
3 3 1 1
5 5 3 5 5 1
x y x y x y x y
x y x y
.
Xét hàm số 5 5
t t
f t t
có 5 ln 5 5 ln 5 1 0
t t
f t
, t .
Do đó hàm số f t đồng biến trên
3 1 f x y f x y 3 1 x y x y
3 1 y x x
1
3
x
y
x
(do 0 x nên 3 0 x )
2 2
2 1 1
3
x
x y x
x
2
2 1
3
x x
T
x
.
Xét hàm số
2
2 1
3
x x
g x
x
với 0 x có
2
2
6 5
0
3
x x
g x
x
, 0 x .
Do đó:
1
0
3
g x g , 0 x hay
1
2 1
3
x y , 0 x . Vậy
1
0;1
3
m .
B ài 4. Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện:
2 2
2
2 2
1
3 .log 1 log 1
2
x y
x y x y
. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3
2 3 M x y x y .T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 29
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
A . 3. B . 7 . C .
17
2
. D .
13
2
.
L ờ i gi ải
Điều kiện:
1
x y
x y
.
Biến đổi điều kiện thành
2
2 1
2 2
1
3 .3 .log log 2 1
2
x y x y
x y x y
2
2
2 1
2 2
3 .log 3 .log 2 1
x y x y
x y x y
* .
Xét hàm số
2
3 .log
t
f t t với 0 t . Ta có
2
3
3 ln 3.log 0
ln 2
t
t
f t t
t
với mọi 0 t .
Suy ra hàm số f t luôn đồng biến và liên tục trên khoảng 0; .
Từ * ta có
2
2 1 x y x y
2 2
2 x y
2
2 2 x y x y
2
2
2
x y
x y
.
Đặt u x y , vì
2
2 2
2 4 x y x y nên 2 2 u .
Ta có
2 2
2 3 M x y x y x y x y 2 2 3 x y x y x y
2 2
2 2
2 2 3
2 2
u u
u
.
Xét hàm số
2 2
3 2
2 6 3 2
3
6 3
2 2
u u u
g u u u u
với 2 u .
Có đạo hàm
2
3 3 6 g u u u ; 0 g u
1
2
u
u
.
Ta có 2 7 g ;
13
1
2
g ; 2 1 g .
Vậy
2;2
13
max max
2
M g u
khi 1 u hay
2 2
1
2
x y
x y
1
1
2
x y
x y
Suy ra
1 3
2
1 3
2
x
y
hoặc
1 3
2
1 3
2
x
y
.
B à i 5. Cho hai số thực x , y thỏa mãn:
3 2
2 7 2 1 3 1 3 2 1 y y x x x y . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức 2 P x y .
A . 10 P B . 4 P . C . 6 P . D . 8 P .
L ờ i gi ải
ĐKXĐ: 1 x
Ta có
3 2
2 7 2 1 3 1 3 2 1 y y x x x y .
3 2
2 3 3 1 1 2 1 1 3 1 2 1 y y y y x x x x .T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 30
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
3
3
2 1 1 2 1 1 1 y y x x .
Xét hàm số
3
2 f t t t trên
0; .
Ta có:
2
6 1 f t t 0 với 0 t f t luôn đồng biến trên
0; .
Vậy 1 1 1 y x 1 1 y x .
2 2 2 1 P x y x x với 1 x .
Xét hàm số 2 2 1 g x x x trên
;1 .
Ta có:
1
1
1
g x
x
1 1
1
x
x
. 0 0 g x x .
Bảng biến thiên
x
0 1
g x
0
g x
4
3
Từ bảng biến thiên của hàm số g x suy ra giá trị lớn nhất của P là:
;1
max 4 g x
.
B à i 6. Cho hai số thực , x y thỏa mãn
3
9 2 3 5 3 5 0 x y x y x x y . Tìm giá trị nhỏ nhất
của
3 3 2
6 3 3 1 2 x y x x y P x y
A .
296 15 18
9
. B .
36 296 15
9
. C .
36 4 6
9
. D .
4 6 18
9
.
L ờ i gi ải
Ta có
3
9 2 3 5 3 5 0 x y x y x x y
3
27 6 3 5 3 5 2 3 5 x x x y x y x y .
Xét hàm
3
2 f t t t với 0; t
Đạo hàm
2
3 2 0 0; f t t t nên hàm số liên tục và đồng biến trên 0; .
Khi đó ta có 3 3 5 x x y 0 x và
2
9 3 5 x x y .
+) Với 0 x thì 0 5 l .
+) Với 0 x thì
3 3 2
6 3 3 1 2 x y x x y P x y
3 3 2
6 9 3 2 x y x x y x y
3 3
6 3 2 2 x y x y x y x y T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 31
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
3 3 2 2
3 3 2 4 x y x y x y x y
3
2 4 x y x y
Mà
2
9 5 5 5 4 5
4 2 4 .
3 3 3 3
x
x y x x x
x x x
. Đặt t x y thì
4 5
3
t .
Xét
3
2 4 f t t t với
4 5
3
t . Khi đó
2
3 2 0 f t t với
4 5
3
t .
Do đó
4 5 36 296 15
9 3
f t f
Suy ra
36 296 15
9
P
. Vậy GTNN của P là
36 296 15
9
.
B ài 7. Xét các số thực dương a , b thỏa mãn
2
1
log 2 3
a b
a b a b
a b
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của 2 P a b .
A .
min
2 10 3
2
P
. B .
min
3 10 7
2
P
. C .
min
2 10 1
2
P
. D .
min
2 10 5
2
P
.
L ờ i gi ải
ĐKXĐ:
1
0 1 0
a b
a b
a b
.
Ta có
2
1
log 2 3
a b
a b a b
a b
2 2
log 1 log 2 1 1 a b a b a b a b
2 2
log 1 1 2 1 log a b a b a b a b
2 2
log 2 2 2 2 log a b a b a b a b 1 .
Xét hàm số:
2
log f t t t , 0 t .
Đạo hàm
1
1 0
ln 2
f t
t
, với mọi 0 t .
Suy ra hàm số f t đồng biến trên khoảng 0; .
Do đó: 1 2 2 f a b f a b
2
2 2
1 2
b
a b a b a
b
.
Theo đề bài ta có: a , 0 b , suy ra 2 b .
Ta có
2
2 2
1 2
b
P a b b g b
b
, với 0;2 b .
Đạo hàm:
2
5
2
1 2
g b
b
;
10 2
0 0;2
4
g b b
.
Ta có:
0
lim 2
x
g x
;
10 2 2 10 3
4 2
g
;
2
lim 4
x
g x
.T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 32
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Vậy
min
2 10 3
2
P
.T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 33
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
B ài 8. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn
2
4
log 2 4 1
x y
x y
x y
. Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
4 2 2 2
3
2 2 6 x x y x
P
x y
bằng
A . 4 B .
9
4
C .
16
9
D .
25
9
L ờ i gi ải
Điều kiện :
4
0
x y
x y
Ta có
2
4
log 2 4 1
x y
x y
x y
2
4
log 1 2 4
x y
x y
x y
2
4
log 2 4
2 2
x y
x y
x y
2
4
log 2 2 2 2 4
2 2
x y
x y x y
x y
2 2
log 4 2 4 log 2 2 2 2 2 x y x y x y x y
Xét hàm số
2
log 2 f t t t với 0; t
Đạo hàm
1
2 0
ln 2
f t
t
với 0; t nên hàm số f t đồng biến trên 0; t .
Nên 4 2 2 2 x y x y x y .
Suy ra
4 2 2 2
3
2 2 6 8 8
9 9
x x y x
P y
y
x y
8 8
2 .
9 9
y
y
16
9
.
Vậy
min
16
9
P
B ài 9. Cho các số thực , x y thỏa mãn 0 , 1 x y và
3
log 1 1 2 0
1
x y
x y
x y
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của P với 2 P x y .
A .
1
2
B . 2 . C . 1 D . 0
L ờ i gi ảiT r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 34
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Điều kiện
0 , 1
0
1
x y
x y
x y
0 , 1
0
1 0
x y
x y
x y
.
Khi đó
3
log 1 1 2 0
1
x y
x y
x y
3 3
log log 1 1 0 x y x y x y x y
3 3
log log 1 1 x y x y x y x y (*)
Xét hàm số
3
( ) log f t t t với 0 t , ta thấy
1
( ) 1 0, 0
ln3
f t t
t
nên hàm số ( ) f t
đồng biến trên khoảng 0; . Suy ra (*) 1 x y x y .
Suy ra 2 P x y x x y 1 x x y 1 (1 ) 1 x y . Đẳng thức xảy ra khi 0 x , 1 y (thỏa
các điều kiện của đề bài).
Vậy, 1
M i n
P .
B ài 10. Xét các số thực dương x , y thỏa mãn
2 2 3
log 3 3
2
x y
x x y y x y
x y x y
. Tìm
giá trị
max
P của biểu thức
5 4 4
3
x y
P
x y
.
A .
max
0 P B .
max
1 P C .
max
2 P D .
max
3 P
L ờ i gi ải
Ta có:
2 2 3
log 3 3
2
x y
x x y y x y
x y x y
2 2
2 2 3 3
3
log log 3 3
2
x y
x y x y x y
x y x y
2 2 2 2
3 3
3 log 3 2 log 2 x y x y x y x y x y x y
* .
Xét hàm số
3
log f t t t , 0 t .
Đạo hàm
1
1 0, 0
ln 3.
f t t
t
f t là hàm số đồng biến trên khoảng 0; .
Do đó,
2 2
* 3 2 x y x y x y
2
3 2 x y x y x y .
Mặt khác, ta xét
2 2 2 2
2 2
2 2 6 4 5 3 5 S x y x y x y x y x y x y x y .
Khi đó, ta có:
3 2 1
6
x y
P
x y
3 2 1 6 P x P y P T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 35
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
2 2 2 2
2 2
1 6 3 2 3 2 P P x P y x y P P
2
5 2 10 13 P P
2
26 38 64 0 P P 0 1 P .
Vậy
max
2
1
1
x
P
y
.
B ài 11. Xét các số thực dương , x y thỏa mãn
2 2 3
log 3 3
2
x y
x x y y x y
x y x y
. Tìm
giá trị lớn nhất của
3 2 1
6
x y
P
x y
.
A . 2 B . 1 C . 3 D . 4
L ờ i gi ải
Ta có:
2 2 3
log 3 3
2
x y
x x y y x y
x y x y
2 2 2 2
3 3
log 3 2 log 2 2 x y x y x y x y x y x y
2 2 2 2
3 3 3
log 3 log 3 log 2 2 x y x y x y x y x y x y
2 2 2 2
3 3
log 3 3 log 2 2 x y x y x y x y x y x y
* .
Xét hàm số
3
log f t t t , với 0 t .
Đạo hàm
1
1 0
.ln 3
f t
t
, 0 t .
Vậy hàm số f t liên tục và đồng biến trên khoảng 0; .
Do đó:
2 2 2 2
3 2 3 2 f x y f x y x y x y x y x y 1 .
Từ 1
2
3 2 x y x y x y .
Ta có
2
1
1
2
x y
x x x y x y x y x y x y .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 x y .
Do đó từ 1 , suy ra:
2
2
1
3 2
4
x y
x x y x y .
Đặt u x y , 0 u .
Suy ra:
2
2
2
1
2 1 3 2
2 1 3 22 3
4
6 6 4 6
u
u u u
x y x u u
P g u
x y u u
.
Ta có:
2
2
3 36 135
0 3
4 6
u u
g u u
u
(nhận).T r u n g T â m L u y ệ n T h i SH A c a d e m y T h ạ c s ĩ P h ạ m V ă n H o a n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ Þ a c h Ø : S è n h µ 3 7 , n g ¸ c h 6 6 / 3 6 , n g â 6 6 ® ư ờ ng H å T ïn g M Ë u , Trang 36
q u Ë n C Ç u G i Ê y, T p H µ N éi . § i Ö n t h o ¹ i l i ª n h Ö : 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0 . F a c e b ook : S H A c a d e m y
T h Ç y c « c Ç n m u a f i l e W o r d x i n l i ª n h Ö q u a s è ® iÖn t h o a i 0 9 8 8 . 2 5 8 . 3 5 0
Bảng biến thiên
u
0 3 + ¥
( ) g u
¢ + 0 -
( ) g u
1
1
8
- - ¥
Dựa vào BBT, ta có
0;
max max 3 1 P g u g
khi và chỉ khi
1 2
3 1
x y x
x y y
.
B À I T Ậ P T Ư Ơ N G T Ự D À N H C H O B Ạ N Đ Ọ C T Ự G I Ả I
B ài 12. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
2 2
3 5
5 1 3 2
3 5
x y
x y x y
x y
x y x
.
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x y
A .
min
3 2 3 T . B .
min
2 3 2 T . C .
min
1 5 T . D .
min
5 3 2 T .
B ài 13. Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị ( ) C , với , x y là các số thực dương thỏa mãn
2
2
log 12 3 6 14
1
x y
x y x y
x y
-
= - + +
+
. Tiếp tuyến của ( ) C song song với đường thẳng
5 242 1 0 x y - + = có phương trình là
A . 5 242 14 0 x y - - = . B . 5 242 5 0 x y - + = .
C . 5 242 1 0 x y - + = . D . 5 242 12 0 x y - - = .
B ài 14. Cho , x y là các số thực dương thỏa mãn
2 2
2 2
2 2 2
5
log 1 10 9 0
10
x y
x x y y
x x y y
+
+ + - + £
+ +
. Gọi
, M m lần lượt là giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của
2 2
2
9 x x y y
P
x y y
.Tính 10 T M m ?
A . 60 . B . 95 . C . 104 . D . 50 .
B ài 15. Cho các số thực , , x y z thỏa mãn
16
2 2 2
log 2 2 2 .
2 2 2 1
x y z
x x y y z z
x y z
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
x y z
F
x y z
bằng
A .
1
.
3
B .
1
.
3
C .
2
.
3
D .
2
.
3
Đề xuất cho bạn
Tài liệu
33961 lượt tải
16094 lượt tải
9681 lượt tải
8530 lượt tải
7110 lượt tải
154181 lượt xem
115086 lượt xem
103445 lượt xem
81136 lượt xem
79271 lượt xem
