Biết $\int\limits_{1}^{e}{\frac{\left( x+1 \right)\ln x+2}{1+x\ln x}dx}=a.e+b.\ln \left( \frac{e+1}{e} \right)$ trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó, tỷ số $\frac{a}{b}$ là: