Cho hàm số $f\left( x \right)$có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;1
\right]$thỏa mãn $f\left( 1 \right)=0$và ${{\int\limits_{0}^{1}{\left[ f'\left(
x \right) \right]}}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1
\right){{e}^{x}}dx=\frac{{{e}^{2}}-1}{4}.}$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left(
x \right)dx.}$