Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại \[A\] với \[AB=a,\text{ }BC=2a.\]

Điểm \[H\] thuộc cạnh \[AC\] sao cho \[CH\text{ }=\frac{1}{3}\text{ }CA,\text{ }SH\] là đường cao hình chóp \[S.ABC\] và $SH=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$ Gọi \[I\] là trung điểm \[BC.\] Tính diện tích thiết diện của hình chóp \[S.ABC\] với mặt phẳng đi qua \[H\] và vuông góc với \[AI.\]