Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh \[m\in \left[ -5;2 \right)\]. Hình chiếu vuông góc của điểm ${A}'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường \[A{A}'\] và $BC$bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.