Cho hình lập phương \[ABCD.ABCD\] có cạnh bằng \[a\]. Điểm \[M\] thuộc đoạn thẳng \[BC\], điểm N thuộc đoạn thẳng \[MN=\frac{2a}{\sqrt{5}+1}\] tạo với mặt phẳng đáy một góc \[30{}^\circ \]. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng \[MN\].