Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại \[B,\] \[AB=a,BC=a\sqrt{3},\] góc hợp bởi đường thẳng \[~AA'\]và mặt phẳng \[\left( A'B'C' \right)\] bằng \[45{}^\circ ,\] hình chiếu vuông góc của \[B'\] lên mặt phẳng \[\left( ABC \right)\] trùng với trọng tâm của tam giác \[ABC.\] Tính thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'.\]