“Chứng minh rằng \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ”. Một học sinh đã lập luận như sau:

Bước 1: Giả sử \(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ, thế thì tồn tại các số nguyên dương $m,n$ sao cho \(\sqrt 2 = \dfrac{m}{n}\) (1)

Bước 2: Ta có thể giả định thêm \(\dfrac{m}{n}\) là phân số tối giản.

Từ đó $2{n^2} = {m^2}$ (2).

Suy ra ${m^2}$ chia hết cho $2 \Rightarrow m$ chia hết cho $2 \Rightarrow $ ta có thể viết $m = 2p$.

Nên (2) trở thành ${n^2} = 2{p^2}$ .

Bước 3: Như vậy ta cũng suy ra n chia hết cho $2$ và cũng có thể viết $n = 2q$ .

Và (1) trở thành \(\sqrt 2 = \dfrac{{2p}}{{2q}} = \dfrac{p}{q} \Rightarrow \dfrac{m}{n}\) không phải là phân số tối giản, trái với giả thiết.

Bước 4: Vậy \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ.

Lập luận trên đúng tới hết bước nào?