Giả sử $\int\limits_{1}^{2}{\frac{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}{{{x}^{4}}}dx}=\frac{1}{c}\left( a\sqrt{a}-\frac{b}{b+c}\sqrt{b} \right)\,\,\,\,\left( a;b;c\in \mathbb{N}1\le a,b,c\le 9 \right).$ Tính giá trị biểu thức $S=C_{2a+c}^{b-a}.$