Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( \frac{5+\sqrt{3}}{2};\frac{7-\sqrt{3}}{2};3 \right)\], \[B\left( \frac{5-\sqrt{3}}{2};\frac{7+\sqrt{3}}{2};3 \right)\] và mặt cầu \[(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=6\]. Xét mặt phẳng \[(P):ax+by+cz+d=0\], \[\left( a,b,c,d\in \mathbb{Z}:d<-5 \right)\] là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm \[A,B\]. Gọi \[(N)\] là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu \[(S)\] và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của \[(P)\] và \[(S)\]. Tính giá trị của \[T=\left| a+b+c+d \right|\] khi thiết diện qua trục của hình nón \[(N)\] có diện tích lớn nhất.