Thi học kì 1

Cho biết\[\int\limits_{0}^{4}{\frac{\sqrt{2x+1}}{1+\sqrt{2x+1}}dx}=a+b\ln 2,\,\left( a,b\in \mathbb{Q} \right)\]. Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 2 \right)=16,\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)dx=2.}$ Tích phân $\int\limits_{0}^{2}{xf'\left( x \right)dx}$ bằng:

Cho biết\[\int\limits_{0}^{4}{\frac{\sqrt{2x+1}}{1+\sqrt{2x+1}}dx}=a+b\ln 2,\,\left( a,b\in \mathbb{Q} \right)\]. Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng ?

Cho $f\left( x \right)=\frac{x}{c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x}$ trên $\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$ và $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $xf'\left( x \right)$

thỏa mãn $F\left( 0 \right)=0$. Biết $a\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$ thỏa mãn $\tan \,a=3.$ Tính $F\left( a \right)-10{{a}^{2}}+3a$.

Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)=\sin 2x$, biết $F\left( \frac{\pi }{6} \right)=0$.  

Cho hàm số $f\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2x+1$. Tìm $\int{f\left( x \right)dx}$.  

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên  và $\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)dt=x\sin x\left( \pi x \right)}.$ Tính $f\left( 4 \right)$.

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx.}$ 

Cho số thực $a>0$. Giả  sử hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và luôn dương trên đoạn $\left[ 0;a \right]$ thỏa mãn $f\left( x \right).f\left( a-x \right)=1,\,\,\forall x\in \left[ 0;a \right].$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f\left( x \right)}dx}.$

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right).f\left( x \right)={{x}^{4}}+{{x}^{2}}$. Biết $f\left( 0 \right)=2$. Tính ${{f}^{2}}\left( 2 \right).$