Đáp án:
Ta chứng minh đẳng thức đúng với mọi n
+) Khi n=1 thì:
VT=1; $VP = \frac{{1.\left( {1 + 1} \right)\left( {2 + 1} \right)}}{6} = 1 = VT$
=> đúng với n=1
+)Khi n=k
$ \Rightarrow {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} = \frac{1}{6}.k.\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)$
Ta chứng minh nó đúng với n=k+1
$\begin{array}{l}
{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} + {\left( {k + 1} \right)^2}\\
= \frac{1}{6}.k.\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + {\left( {k + 1} \right)^2}\\
= \frac{1}{6}.\left( {k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k + 1} \right) + 6\left( {k + 1} \right)} \right]\\
= \frac{1}{6}\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)\\
= \frac{1}{6}.\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)\\
= \frac{1}{6}\left( {k + 1} \right)\left( {k + 1 + 1} \right)\left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\\
= \frac{1}{6}n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\left( {khi:n = k + 1} \right)
\end{array}$
Vậy đúng với n=k+1
Vậy biểu thức đúng với mọi n
${1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}$
