Đáp án:
$m=\pm2$
Giải thích các bước giải:
$x^2+2mx+4=0$
$Δ = (2m)^2 - 4.1.4 = 4m^2 - 16$
Để phương trình có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì $Δ\ge0$
$⇔ 4m^2 - 16 \ge 0 ⇔ m^2 -4\ge 0$
$\Leftrightarrow (m-2)(m+2)\ge0$
Với $(m-2)(m+2)=0\Leftrightarrow m=\pm2$ ta có bảng như hình vẽ
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m\ge2\\m\le-2\end{array} \right.\) (*)
Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = -2m\\x_1.x_2 = 4\end{cases}$
Ta có:
${x_1}^4 + {x_2}^4$
$=({x_1}^2 + {x_2}^2)^2 - 2{x_1}^2.{x_2}^2$
$=[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2 - 2{x_1}^2.{x_2}^2$
$=[(-2m)^2-2.4]^2 - 2.4^2$
$=(4m^2-8)^2 - 32$
Để ${x_1}^4 + {x_2}^4 ≤ 32$
thì $(4m^2-8)^2 - 32 ≤ 32$
$⇔ (4m^2-8)^2 ≤ 64 = 8^2$
$⇔ -8 ≤ 4m^2-8 ≤ 8$
$⇔ 0 ≤ 4m^2 ≤ 16$
$⇔ 0 ≤ m^2 ≤ 4$
$⇔ -2 ≤ m ≤ 2$ kết hợp với điều kiện (*)
Vậy $m=\pm2$.
