Đáp án: $55^2$
Giải thích các bước giải:
Trước hết ta chứng minh bài toán:
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\left(*\right)$
Thật vậy
Với $n=1\to 1^3=1^2$ đúng
Với $n=2\to 1^3+2^3=9=\left(1+2\right)^2$ đúng
Giả sử $n=k\to \left(*\right)$ đúng
$\to 1^3+2^3+3^3+...+k^3=\left(1+2+3+...+k\right)^2$
Ta cần chứng minh $n=k+1$ cũng đúng
Mà: $1^3+2^3+3^3+...+\left(k+1\right)^3=1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3$
$\to 1^3+2^3+3^3+...+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+3+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3$
$\to 1^3+2^3+3^3+...+\left(k+1\right)^3=\left(\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right)^2+\left(k+1\right)^3$
$\to 1^3+2^3+3^3+...+\left(k+1\right)^3=\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3$
$\to 1^3+2^3+3^3+...+\left(k+1\right)^3=\left(k+1\right)^2\left(\dfrac{k^2}{4}+k+1\right)$
$\to 1^3+2^3+3^3+...+\left(k+1\right)^3=\left(k+1\right)^2\cdot\dfrac{k^2+4k+4}{4}$
$\to 1^3+2^3+3^3+...+\left(k+1\right)^3=\left(k+1\right)^2\cdot\dfrac{\left(k+2\right)^2}{4}$
$\to 1^3+2^3+3^3+...+\left(k+1\right)^3=\left(\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right)^2$
$\to 1^3+2^3+3^3+...+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+3+..+\left(k+1\right)\right)^2$
$\to n=k+1$ đúng
$\to đpcm$
Áp dụng biểu thức trên
$\to 1^3+2^3+...+10^3=\left(1+2+...+10\right)^2=\left(\dfrac{10\left(10+1\right)}{2}\right)^2=55^2$
