Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
$a^3+b^3+\dfrac{\sqrt{3}}{9} \geq 3\sqrt[3]{a^3b^3.\dfrac{\sqrt{3}}{9}}=3ab.\dfrac{1}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$
Tương tự: $b^3+c^3+\dfrac{\sqrt{3}}{9} \geq 3bc.\dfrac{1}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$
$c^3+a^3+\dfrac{\sqrt{3}}{9} \geq 3ca.\dfrac{1}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:
$2(a^3+b^3+c^3)+3.\dfrac{\sqrt{3}}{9} \geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}.(ab+bc+ca)$
$⇔ 2(a^3+b^3+c^3) \geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$⇔ 2(a^3+b^3+c^3) \geq \dfrac{3\sqrt{3}-\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}{\sqrt{3}.\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$
$⇔ 2(a^3+b^3+c^3) \geq \dfrac{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}.(\sqrt[3]{(3\sqrt{3})^2}-1)}{\sqrt{3}.\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$
$⇔ 2(a^3+b^3+c^3) \geq \dfrac{2}{\sqrt{3}}$
$⇔ a^3+b^3+c^3 \geq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ (đpcm)
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
