Đáp án+ Giải thích các bước giải:
Đặt $t=\sin x+ \cos x$ \Rightarrow t^2= \sin^2 x+2\sin x. \cos x+ \cos^2 x=1+\sin 2x $
$\Rightarrow \sin 2x=t^2-1$
Thay vào phương trình ta được:
$(1-\sqrt{2})(1+t)=t^2-1$
$\Rightarrow t^2-(1-\sqrt{2})t-2+\sqrt{2}=0$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t=-1\\t= 2-\sqrt{2}\end{array} \right.$
- Nếu $t=-1$ thì $ \sin x+ \cos x=-1 \Rightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}.\sin (x+\dfrac{\pi}{4})=-1$
$\Rightarrow \sin (x+\dfrac{\pi}{4})=-\sqrt{2} (L)$
- Nếu $t=-1$ thì $ \sin x+ \cos x=2-\sqrt{2} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}.\sin (x+\dfrac{\pi}{4})=2-\sqrt{2}$
$\Rightarrow \sin (x+\dfrac{\pi}{4})=2\sqrt{2}-2$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=arcsin(2\sqrt{2}-2)-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\\x=\dfrac{3\pi}{4}-arcsin(2\sqrt{2}-2)+k2\pi\end{array} \right.$
