Lời giải:

a)

Xét tam giác $OBH$ và $OCA$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{O} -\text{chung}\\ \widehat{OHB}=\widehat{OAC}=90^0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow \triangle OBH\sim \triangle OCA(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{OB}{OH}=\frac{OC}{OA}\Leftrightarrow OA.OB=OC.OH\)

b)

Theo đề bài \(BM\perp CO\) tại \(H\) nên \(\widehat{OHB}=90^0\) là số đo không đổi.

c)

Xét tam giác $BOC$ có \(BH\perp OC, CA\perp BO\) và hai đường cao này cắt nhau tại $M$ nên $M$ là trực tâm tam giác $BOC$

Do đó \(OM\perp BC\)

Giả sử \(OM\cap BC=T\) thì \(OT\perp BC\)

Xét tam giác $BMT$ và $BCH$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{B}-\text{chung}\\ \widehat{BTM}=\widehat{BHC}=90^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle BMT\sim \triangle BCH(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{BM}{BT}=\frac{BC}{BH}\Rightarrow BM.BH=BT.BC(1)\)

Hoàn toàn tương tự: \(\triangle TCM\sim \triangle ACB\Rightarrow \frac{TC}{CM}=\frac{AC}{CB}\)

\(\Rightarrow CM.CA=TC.BC(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow BM.BH+CM.CA=BT.BC+CT.BC=BC.BC=BC^2\)

không đổi

Do đó ta có đpcm.