Bài 1:
Ta có: $\widehat{BAC} = 90^o$ (nhìn đường kính $BC$
$\Rightarrow ∆ABC$ vuông tại $A$
$\Rightarrow 2S_{ABC} = AB.AC = BC.AH = AH.2R$
Ta lại có: $AD = 2R$
$\Rightarrow 2S_{ABC} = AH.AD$
$\Rightarrow AB.AC = AH.AD$
Xét tứ giác $ABDC$ có:
$AD\cap BC = O$
$OA = OB = OC = OD = R$
$\Rightarrow ABDC$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{BCD}$ (so le trong)
Ta lại có:
$\widehat{ABC} = \widehat{CAH}$ (cùng phụ $\widehat{BAH}$)
$\widehat{BCD} = \widehat{BAD}$ (cùng chắn $\overparen{BD}$)
nên $\widehat{CAH} = \widehat{BAD}$
Bài 2:
Sửa đề: $BHCK$ là hình bình hành
Ta có:
$\widehat{ACK} = 90^o$ (nhìn đường kính $AK$)
$\Rightarrow KC\perp AC$
Ta lại có:
$BH\perp AC$
$\Rightarrow BH//CK \, (\perp AC)$
Chứng minh tương tự ta được: $BK//CH \, (\perp AB)$
Do đó $BHCK$ là hình bình hành
Ta có:
$OM\perp BC$
$\Rightarrow M$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow M$ là trung điểm $HK$
($BC, HK$ là hai đường chéo của hình bình hành $BHCK$)
$\Rightarrow H,M,K$ thẳng hàng$
Xét $∆AHK$ có:
$AO = OK$
$HM = MK$
$\Rightarrow OM$ là đường trung bình
$\Rightarrow OM = \dfrac{1}{2}AH$
Hay $AH = 2OM$
Bài 3:
Đặt $IC = x$ $(x > 0)$
$\Rightarrow CD = AB = x + 7$
$\Rightarrow IB = AB - IA = x + 6$
Kẻ $OM\perp AB;\, ON\perp CD$
$\Rightarrow MA = MB = NC = ND = \dfrac{x + 7}{2}$
Ta được:
$OM = IN = CN - IC = \dfrac{x + 7}{2} - x$
$ON = IM = MA - IA = \dfrac{x + 7}{2} - 1$
Ta có:
$OB^2 = OC^2 = R^2$
$\Leftrightarrow BM^2 + OM^2 = CN^2 + ON^2$
$\Leftrightarrow OM^2 = ON^2$
$\Leftrightarrow \left(\dfrac{x + 7}{2} - x\right)^2 = \left(\dfrac{x + 7}{2} - 1\right)^2$
$\Leftrightarrow x = 1$
$\Rightarrow BM = 4\, cm; \, OM = 3\, cm$
$\Rightarrow R = \sqrt{BM^2 + OM^2} = 5\,cm$
