Bài 1:
+ Kẻ tiếp tuyến chung $Ax$ cắt đường thẳng $BC$ tại $F$.
+ Ta có: $\widehat{FAC} = \widehat{ABC}$ (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung).
+ Mà: $\widehat{FMA} = \widehat{A_{1}} + \widehat{ABM}$ (tính chất góc ngoài tam giác).
⇒$\widehat{FAM} = \widehat{A_{2}} + \widehat{FAC}$.
+ Mặt khác: $\widehat{FMA} = \widehat{FAM}$ (vì $∆FAM$ cân tại $F$).
+ Nên: $\widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}}$ hay $AM$ là tia phân giác góc $BAC$.
Bài 2:
+ Ta có: $\widehat{CBM} = \widehat{MAB}$ (tính chất tiếp tuyến).
+ Mà: $\widehat{O_{2}BI} = \widehat{ABO_{1}}$ (phụ $\widehat{IBA}$).
⇒$\widehat{O_{1}AB} = \widehat{O_{2}CB}$
⇒$\widehat{O_{1}AM} = \widehat{O_{2}CM}$
⇒$\widehat{O_{1}MA} + \widehat{CMA} = \widehat{CNO_{2}} + \widehat{CMA} = 180°$
⇒$O_{1}$, $M$, $C$ thẳng hàng.
⇒$AB$ chia $BC$ thành hai đoạn bằng nhau.