Đáp án:
1) $d(A;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt6}{9}$
2) $V_{M.NPQ} = \dfrac{1}{27}V$
3) $V_{ABC.A'B'C'} = \dfrac{a^3\sqrt3}{8} \, (đvtt)$
Giải thích các bước giải:
1) Ta có:
$V_{S.ABC} = V_{A.SBC} = \dfrac{1}{3}S_{SBC}.d(A;(SBC))$
$\Rightarrow d(A;(SBC)) = \dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{SBC}} = \dfrac{3.\dfrac{a^3\sqrt2}{36}}{\dfrac{a^2\sqrt3}{4}} = \dfrac{a\sqrt6}{9}$
2) Gọi $E, F, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC, BC$
Ta được: $\dfrac{DN}{DF} = \dfrac{DP}{DE} = \dfrac{DQ}{DK} = \dfrac{2}{3}$ (tính chất của trọng tâm)
$\Rightarrow \dfrac{V_{D.PNQ}}{V_{D.EFK}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$
Ta lại có:
$\dfrac{V_{D.PNQ}}{V_{M.NPQ}} = \dfrac{\dfrac{1}{3}S_{PNQ}.d(D;(PNQ))}{\dfrac{1}{3}S_{PNQ}.d(M;(PNQ))} = \dfrac{d(D;(PNQ))}{d(M;(PNQ))} = 2$
$\Rightarrow V_{M.NPQ} = \dfrac{4}{27}V_{D.EFK}$
Mặt khác:
$S_{EFK} = S_{ABC} - S_{AEF} - S_{BEK} - S_{CFK} = \dfrac{1}{4}S_{ABC}$
$\Rightarrow \dfrac{V_{D.EFK}}{V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{4}$
hay $V_{D.EFK} = \dfrac{1}{4}V$
Do đó $V_{M.NPQ} = \dfrac{4}{27}.\dfrac{1}{4}.V = \dfrac{1}{27}V$
3) Gọi $G'$ là trọng tâm của $ΔA'B'C'$
$\Rightarrow AG'\perp (A'B'C') \, (gt)$
Ta có: $ΔA'B'C'$ đều, $G'$ là trọng tâm
$\Rightarrow G'A' = G'B'$
$\Rightarrow AA' = AB'$
$\Rightarrow ΔAA'B'$ cân tại $A$
Gọi $M$ là trung điểm $A'B'$
$\Rightarrow AM\perp A'B'$
Mặt khác: $ΔA'B'C'$ đều, $M$ là trung điểm $A'B'$
$\Rightarrow C'M\perp A'B'$
$\Rightarrow G'M = \dfrac{1}{3}C'M = \dfrac{1}{3}.A'B'\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{6}$
Ta được:
$\begin{cases}(A'B'C')\cap(ABB'A') = A'B'\\AM\subset (ABB'A')\\ AM\perp A'B'\\C'M \subset (A'B'C') \\ C'M \perp A'B'\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{((ABB'A');(A'B'C'))} = \widehat{AMC'} = 60^o$
$\Rightarrow AG' = G'M.\tan60^o = \dfrac{a\sqrt3}{6}.\sqrt3 = \dfrac{a}{2}$
Do đó:
$V_{ABC.A'B'C'} = S_{A'B'C'}.AG' = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{8} \, (đvtt)$
