1)

a) Trong $\Delta SAN$ qua $Q$ dựng đường thẳng song song với $SN$ cắt $AN$ tại $E$

$\Rightarrow QE\parallel SN\Rightarrow QE\parallel(SBN)$ (1)

Trong $\Delta SAB$ qua Q dựng đường thẳng song song với $SB$ cắt $AB$ tại $F$

$\Rightarrow QF\parallel SB\Rightarrow QF\parallel(SBN)$ (2)

Mà $QF,QE\subset(\alpha)$ từ (1) và (2) suy ra $(QEF)\parallel(SBN)\Rightarrow (\alpha)$ là $(QEF)$

Gọi $G=EF\cap DC\Rightarrow$ thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ là tam giác $QGF$.

b) Gọi $H$ là trung điểm của $SC\Rightarrow NH$ là đường trung bình của $\Delta SCD\Rightarrow NH\parallel SD\Rightarrow  NH\parallel(SAD)$

Và có $MN\parallel AD\Rightarrow MN\parallel (SAD)$

Mà $HN, MN\subset(HNM)$ từ hai điều trên suy ra $(NHM)\parallel (SAD)$

$\Rightarrow (\phi)$ là $(HNM)$

Thiết diện của hình chóp cắt bởi $(\phi)$ là tam giác $HNM$

2. a) $B\in(ABC)\cap(BA'C'), AC//A'C'$

$\Rightarrow (ABC)\cap(BA'C')=Bx//AC//A'C'$

b) Gọi $D$ là trung điểm của $AA'\Rightarrow\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{2}{3}$

Gọi $F$ là trung điểm của $CC'\Rightarrow\dfrac{BP}{BF}=\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BP}{BF}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow MP//DF$ (Ta-lét)

Mà $DF$ là đường trung bình của hình bình hành $AA'C'C\Rightarrow DF//A'C'$

$\Rightarrow MP//A'C'$

Tương tự $\dfrac{FP}{FB}=\dfrac{FN}{FA'}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow NP//A'B$

$MP,NP\subset(MNP),A'C',A'B\subset(BA'C')\Rightarrow(MNP)//(BA'C')$

$\Rightarrow MN//(BA'C')$

 Qua N dựng đường thẳng $HK//A'C',H\in AA',K\in CC'$

$MH\cap AB=I, KP\cap BC=J$

$\Rightarrow IJKH$ là thiết diện của lăng trụ cắt bởi $(MNP)$

Thiết diện là hình thang có hai đáy $IJ=\dfrac13.AC=\dfrac13A'C'=\dfrac a3,HK=AC=a$

Gọi $G=HI\cap KJ\Rightarrow GHK=\Delta BA'C'$ (g.c.g)

(do $\widehat{GHK}=\widehat{BA'C'}, HK=A'C',\widehat{GKH}=\widehat{BC'A'}$)

$\Delta BA'C'$ đều gọi $O$ là trung điểm của $A'C'$ suy ra $BO\bot A'C'$

Gọi đường cao của thiết diện là $h\Rightarrow\dfrac{h_{\Delta GHK}-h}{h_{\Delta GHK}}=\dfrac{IJ}{HK}$

$\Rightarrow h=\dfrac a{\sqrt3}$

$\Rightarrow S_{\text{Thiết diện}}=\dfrac{2a^2}{3\sqrt3}$

3. a) Ta có $AM=AQ,AB=AA'\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AQ}{AA'}\Rightarrow MQ//BA'$ (Ta-lét)

Tương tự ta có: $\dfrac{C'N}{C'C}=\dfrac{C'P}{C'D'}\Rightarrow NP//CD'$

Mà $BA'//=CD'\Rightarrow MQ//NP$

và $MQ=NP$

$\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành $\Rightarrow M,N,P,Q$ đồng phẳng.

b) Tứ giác $AQC'N$ có $AQ//=C'N\Rightarrow AQC'N$ là hình bình hành nên $AC'\cap QN=I,I$ là trung điểm của $AC',QN$ cố định.

$MNPQ$ là hình bình hành nên $MP\cap QN=I$ trung điểm AC' nên cố định.

c) $\Delta QNP$, qua I là trung điểm của QN ta vẽ đường thẳng $Im$ song song với NP, do NP//CD'

$I\in A'C$ nên $Im\cap A'D'=K$ là trung điểm của A'D',

$Im\cap BC=H,H$ là trung điểm của BC

Suy ra $MHNPKQ$ là thiết diện của hình chóp cắt bởi $MNPQ$

Ta có:

$MH=\sqrt{\dfrac {a^2}4+(a-x)^2}$

$NP=x\sqrt2$

$HN=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+(a-x)^2}$

Chu vi của thiết diện là:

$P_{MHNPKQ}=2MH+2HN+2NP=2x\sqrt2+2\sqrt{5a^2+4x^2-8ax}$

Khi $x=\dfrac a2$ thì $P_{min}=3a\sqrt2$

Khi $x=a$ thì $P_{max}=2a\sqrt2+2a$.