1.
Vì p là số nguyên tố>3⇒p có 2 dạng : 3k + 1 và 3k + 2(k∈N)
+)Nếu p=3k+1⇒5p+1=5.(3k+1)+1=15k+6⋮3
Suy ra 5p+1 có ít nhất 3 ước là 5p+1,1 và 3⇒5p+1 là hợp số.
+) Nếu p=3k+2⇒7p+1=7.(3k+2)+1=21k+15⋮3
Suy ra 7p+1 là hợp số.
2.
$\text{Với p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 là hợp số (loại)}$
$\text{Với p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5, p + 4}$
$\text{= 3 + 4 = 7 là các số nguyên tố (thỏa mãn).}$
$\text{Với p > 3: p là số nguyên tố nên}$
$\text{suy ra: p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈ N*).}$
$\text{ p = 3k + 1: Ta có: p + 2 = 3k + 1 + 2}$
$\text{= 3k + 3 = 3.(k + 1) ⋮ 3 là hợp số (loại)}$
$\text{p = 3k + 2: Ta có: p + 4 = 3k + 2 + 4}$
$\text{= 3k + 6 = 3(k + 2) ⋮ 3 là hợp số (loại).}$
$\text{Với p > 3 không có giá trị nào}$
$\text{thỏa mãn yêu cầu của bài toán.}$
$\text{KL: p = 3 là thỏa mãn yêu cầu bài toán.}$
3.
$\text{Ta có: p=42k+r=2.3.7.k+r}$
$\text{Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2;3;7.}$
$\text{Các hợp số nhỏ hơn 42 không chia hết cho 2 {9;15;21;25;27;33;35;39}}$
$\text{Loại bỏ các số chia hết co 3 và 7 ta còn có số 25}$
$⇒ r = 25$
