1) Do $CD\perp AB$
nên ta được $ΔDAC, \, ΔDBC$ vuông tại $D$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BD^2 + DC^2 = BC^2$
$AD^2 + DC^2 = AC^2$
$AD^2 + DC^2 = AC^2 = AB^2$
Cộng vế theo vế tha được:
$(BD^2 + DC^2) + (AD^2 + DC^2) + (AD^2 + DC^2) = BC^2 + AC^2 + AB^2$
$\Leftrightarrow BD^2 + 2AD^2 + 3DC^2 = AB^2 + BC^2 + AC^2$
2) Từ $A$ kẻ $AE//BD$ cắt $CD$ tại $E$
$\Rightarrow AE\perp AC$
Xét tứ giác $ABDE$ có:
$AE//BD$ (cách dựng)
$AB//DE \, (AB//CD)$
$\Rightarrow ABDE$ là hình bình hành
$\Rightarrow AE=BD = 12 \, cm$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$EC^2 = AE^2 + AC^2$
$\Rightarrow EC = \sqrt{AE^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20 \, cm$
Kẻ $AH\perp CD \, (H \in CD)$
$\Rightarrow AH$ là chiều cao của hình thang
Ta có: $AE.AC = AH.EC = 2S_{AEC}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{AE.AC}{EC} = \dfrac{12.16}{20} = \dfrac{48}{5} \, cm$
