1) Gọi $I$ là trung điểm cạnh $BC$
$\Rightarrow \vec{AG}=\dfrac{2}{3}\vec{AI}$
$=\dfrac{2}{3}(\vec{AB}+\vec{BI})$
$=\dfrac{2}{3}\vec{AB}+\dfrac{2}{3}\dfrac{1}{2}\vec{BC}$
$=\dfrac{2}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}(\vec{BA}+\vec{AC})$
$=\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}$
2) Gọi $I$ là điểm đối xứng của $A$ qua $M$
$\Rightarrow M$ là trung điểm của $AI$
Mà $M$ là trung điểm của $CD$
Do đó tứ giác $ACID$ là hình bình hành
Theo quy tắc hình bình hành
$\vec{AI}=\vec{AD}+\vec{AC}$
$=\vec{BC}+\vec{AC}$
$=\vec{BA}+\vec{AC}+\vec{AC}$
$=-\vec{AB}+2\vec{AC}$
$\Rightarrow \vec{AM}=\dfrac{1}{2}\vec{AI}$
$=\dfrac{1}{2}(-\vec{AB}+2\vec{AC})$
$=\dfrac{-\vec{AB}}{2}+\vec{AC}$
3) $AH=\dfrac{2}{3}AB$
$\Rightarrow \vec{AH}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}$
$AK=\dfrac{1}{3}AC$
$\Rightarrow \vec{AK}=\dfrac{1}{3}\vec{AC}$
$\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow \dfrac{BM}{MC+BM}=\dfrac{3}{4+3}$
$\Rightarrow\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{3}{7} $
$\Rightarrow BM=\dfrac{3}{7}BC$
$\Rightarrow\vec{BM}=\dfrac{3}{7}\vec{BC}$
$=\dfrac{3}{7}(\vec{BA}+\vec{AC})$
$=\dfrac{3}{7}(-\vec{AB}+3\vec{AK})$
$=-\dfrac{3}{7}\dfrac{3}{2}\vec{AH}+\dfrac{9}{7}\vec{AK}$
$=-\dfrac{9}{14}\vec{AH}+\dfrac{9}{7}\vec{AK}$
4) $\vec{DI}=\vec{DC}+\vec{CI}$
$=\vec{AB}+\dfrac{1}{2}\vec{CB}$
$=\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{BC}$
$=\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{AD}$
$=\vec a-\dfrac{1}{2}\vec b$
Gọi $E$ là trung điểm của $CI$
$\vec{IE}=\dfrac{1}{2}\vec{IC}$
$=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\vec{BC}$
$=\dfrac{1}{4}\vec b$
$G$ là trọng tâm $\Delta CDI$
$\Rightarrow DG=\dfrac{2}{3}DE$
$\Rightarrow \vec{DG}=\dfrac{2}{3}\vec{DE}$
$=\dfrac{2}{3}(\vec{DI}+\vec{IE})$
$=\dfrac{2}{3}(\vec a-\dfrac{1}{2}\vec b+\dfrac{1}{4}\vec b)$
$=\dfrac{2}{3}\vec a-\dfrac{1}{6}\vec b$
Vậy $\vec{AG}=\vec{AD}+\vec{DG}$
$=\vec b+\dfrac{2}{3}\vec a-\dfrac{1}{6}\vec b$
$=\dfrac{2}{3}\vec a+\dfrac{5}{6}\vec b$
