1, a, Áp dụng định lý Pi-ta-go vào $\Delta$ vuông $ABC$ có:
$AB^2+AC^2=BC^2\Leftrightarrow BC=20$ (cm)
Do AD là phần giác $\widehat A$ theo tính chất đường phân giác ta có:
$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow \dfrac{BD}{BD+CD}=\dfrac{3}{3+4}\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{3}{7}$
$\Rightarrow BD=\dfrac{3}{7}BC=\dfrac{60}{7}$
$\Rightarrow DC=BC-BD=\dfrac{80}{7}$
b, AH là đường cao $\Delta$ vuông ABC nên:
$S_{\Delta ABC}=\dfrac{AH.BC}{2}=\dfrac{AB.AC}{2}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{AB.C}{BC}=\dfrac{48}{5}$ (cm)
Ta có:
$BH^2=AB^2-AH^2\Rightarrow BH=\dfrac{36}{5}$ (cm)
$\Rightarrow DH=BD=BH=\dfrac{48}{35}$ (cm)
$AD^2=DH^2+AH^2\Rightarrow AD=\dfrac{48\sqrt2}{7}$ (cm)
Bài 2, a,
Xét hai $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$ có:
$\widehat A$ chung
$AB=AC$
$\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ $(=\dfrac{1}{2}\widehat B=\dfrac{1}{2}\widehat C)$
$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ACN$ (g.c.g)
$\Rightarrow AM=AN$ (hai cạnh tương ứng)
Ta có: AM=AN và AB=AC $\Rightarrow\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AM}{AC}\Rightarrow MN//BC$ (Ta-lét đảo)
b, Do BM là phân giác $\widehat B$ theo tính chất đường phân giác ta có:
$\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{6}$
$\Rightarrow\dfrac{AM}{AM+MC}=\dfrac{5}{5+6}\Rightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{5}{11}$
$\Rightarrow AM=\dfrac{5}{11}AC=\dfrac{25}{11}$ (cm)
$\Rightarrow MC=AC-AM=\dfrac{30}{11}$ (cm)
$MN//BC\Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{5}{11}$
$\Rightarrow MN=\dfrac{5}{11}BC=\dfrac{30}{11}$ (cm).
