Lời giải:
a) Ta có:
$\widehat{MNI} + \widehat{KNI} = 180^\circ$ (Hai góc kề bù)
$\Leftrightarrow \widehat{KNI} = 180^\circ - \widehat{MNI}$
$\Leftrightarrow \widehat{KNI} = 180^\circ - 120^\circ$
$\Leftrightarrow \widehat{KNI} = 60^\circ$
Xét $\triangle KNI$ vuông tại $I$ có:
$\widehat{KNI} = 60^\circ\quad (cmt)$
Do đó $KNI$ là nửa tam giác đều
$\Rightarrow NK = 2NI$
Ta lại có: $NK = 2NM\quad (gt)$
$\Rightarrow NI = NM$
Xét $\triangle NMI$ có:
$NI = NM \quad (cmt)$
Do đó $\triangle NMI$ cân tại $N$
b) Ta có:
$KNI$ là nửa tam giác đều, $\widehat{KNI} = 60^\circ$
$\Rightarrow \widehat{IKN} = 30^\circ\qquad (1)$
Ta lại có:
$\triangle NMI$ cân tại $N$ (câu a)
$\Rightarrow \widehat{NMI} = \dfrac{180^\circ - \widehat{MNI}}{2}$
$\Rightarrow \widehat{NMI} = \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2}$
$\Rightarrow \widehat{NMI} = 30^\circ\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow \widehat{IKN} = \widehat{NMI}$
hay $\widehat{IKM} = \widehat{IMK}$
Xét $\triangle IMK$ có:
$\widehat{IKM} = \widehat{IMK}\quad (cmt)$
Do đó $\triangle IMK$ cân tại $I$
c) Ta có: $\triangle IMK$ cân tại $I$ (câu b)
$\Rightarrow IM = IK\qquad (3)$
Xét $\triangle MNP$ có:
$\widehat{MNP} + \widehat{NMP} + \widehat{MPN} = 180^\circ$
$\Leftrightarrow \widehat{MPN} = 180^\circ - (\widehat{MNP} + \widehat{NMP})$
$\Leftrightarrow \widehat{MPN} = 180^\circ - (120^\circ + 45^\circ)$
$\Leftrightarrow \widehat{MPN} = 15^\circ$
Mặt khác:
$\quad \widehat{NMP} = \widehat{NMI} + \widehat{IMP}$
$\Leftrightarrow \widehat{IMP} = \widehat{NMP} - \widehat{NMI}$
$\Leftrightarrow \widehat{IMP}= 45^\circ - 30^\circ$
$\Leftrightarrow \widehat{IMP} = 15^\circ$
Do đó: $\widehat{MPN} = \widehat{IMP}$
hay $\widehat{IPM} = \widehat{IMP}$
Xét $\triangle IMP$ có:
$\widehat{IPM} = \widehat{IMP}\quad (cmt)$
Do đó $\triangle IMP$ cân tại $I$
$\Rightarrow IM = IP\qquad (4)$
Từ $(3)(4)\Rightarrow IK = IP$
Xét $\triangle IPK$ có:
$IK = IP\quad (cmt)$
Do đó $\triangle IPK$ cân tại $I$
Ta lại có: $\widehat{I} = 90^\circ$
$\Rightarrow \triangle IPK$ vuông cân tại $I$
$\Rightarrow \widehat{IKP} = 45^\circ$
Ta được:
$\quad \widehat{MKP} = \widehat{IKM} + \widehat{IKP}$
$\Leftrightarrow \widehat{MKP} = 30^\circ + 45^\circ$
$\Leftrightarrow \widehat{MKP} = 75^\circ$
