Bài làm:
Bài 1:
a) Ta có: $x^{2}$ + $y^{2}$ = $x^{2}$ + 2xy + $y^{2}$ - 2xy = $(x+y)^{2}$ - 2$x^{}$$y^{}$
= $a^{2}$ - 2$b^{}$
b) Ta có: $x^{3}$ + $y^{3}$ = (x+y) ($x^{2}$ - xy + $y^{2}$) = (x+y)($x^{2}$ + 2xy + $y^{2}$ - 3xy)
= (x+y)[ ($x+y)^{2}$ - 3xy ] = $(x+y)^{3}$ - 3$xy(x+y)^{}$ = $a^{3}$ - $3ab^{}$
c) Vì $x^{2}$ + $y^{2}$ = $a^{2}$ - 2b
⇒ $(x^2+y^2)^{2}$ = $(a^2-2b)^{2}$
⇔ $x^{4}$ + $y^{4}$ + 2$x^{2}$$y^{2}$ = $a^{4}$ - 4$a^{2}$b + $4b^{2}$
⇔ $x^{4}$ + $y^{4}$ + 2$(xy)^{2}$ = $a^{4}$ - 4$a^{2}$b + $4b^{2}$
⇔ $x^{4}$ + $y^{4}$ + $2b^{2}$ = $a^{4}$ - 4$a^{2}$b + $4b^{2}$
⇔ $x^{4}$ + $y^{4}$ = $a^{4}$ - 4$a^{2}$b + $2b^{2}$
d) Vì $x^{2}$ + $y^{2}$ = $a^{2}$ - 2b và $x^{3}$ + $y^{3}$ = $a^{3}$ - 3ab
⇒ ($x^{2}$ + $y^{2}$)( $x^{3}$ + $y^{3}$ ) = ($a^{2}$ - 2b)($a^{3}$ - 3ab)
⇔ $x^{5}$ + $y^{5}$ + $x^{2}$$y^{3}$ + $x^{3}$$y^{2}$ = $a^{5}$ - 3$a^{3}$b - 2$a^{3}$b + 6$ab^{2}$
⇔ $x^{5}$ + $y^{5}$ + $(xy)^{2}$(x+y) = $a^{5}$ - 5$a^{3}$b + 6$ab^{2}$
⇔ $x^{5}$ + $y^{5}$ + $ab^{2}$ = $a^{5}$ - 5$a^{3}$b + 6 $ab^{2}$
⇔ $x^{5}$ + $y^{5}$ = $a^{5}$ - 5$a^{3}$b + 5$ab^{2}$
Bài 2:
Với a + b = 1, ta có:
M = $a^{3}$ + $b^{3}$ + 3ab($a^{2}$ + $b^{2}$) + 6$a^{2}$$b^{2}$(a+b)
= $(a+b)^{3}$ - 3$ab(a+b)^{}$ + 3ab($a^{2}$ + $b^{2}$) + 6$a^{2}$$b^{2}$
= $1^{3}$ - 3ab + 3ab($a^{2}$ + $b^{2}$) + 6$a^{2}$$b^{2}$
= 1 + 3ab. ( -1 + $a^{2}$ + $b^{2}$ + 2ab)
= 1 + 3ab . [ -1 + $(a+b)^{2}$ ]
= 1 + 3ab . ( -1 + 1² ) = 1 + 3ab . (-1+1) = 1 + 3ab.0 = 1
Vậy M= 1
