Giải thích các bước giải:
1.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB, AC\perp OC$
Vì $E$ là trung điểm $MN\to OE\perp MN$
$\to \widehat{ABO}=\widehat{AEO}=\widehat{ACO}=90^o$
$\to A,B,E,O,C\in$ đường tròn đường kính $AO$
$\to A,B,O,E$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$
$\to$Tâm đường tròn là trung điểm $AO$
2.Từ $1\to ABOC$ nội tiếp
$\to \widehat{BOC}+\widehat{BAC}=180^o$
$\to 2\widehat{BNC}+\widehat{BAC}=180^o$
3.Xét $\Delta ACM,\Delta ACN$ có:
Chung $\hat A$
$\widehat{ACM}=\widehat{ANC}$ vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to\Delta ACM\sim\Delta ANC(g.g)$
$\to\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AM}{AC}$
$\to AC^2=AM.AN$
Ta có:
$4(AE^2-AC^2)$
$=4(AE^2-AM.AN)$
$=4(AE^2-(AE-ME).(AE+EN))$
$=4AE^2-4(AE-ME)(AE+NE)$
$=4AE^2-(2AE-2ME)(2AE+2NE)$
$=4AE^2-(2AE-MN)(2AE+MN)$
$=4AE^2-(4AE^2-MN^2)$
$=MN^2$
4.Kẻ $MK\perp BC$
Ta có $MI\perp AB, MJ\perp AC$
$\to\widehat{MIB}=\widehat{MKB}=90^o,\widehat{MKC}=\widehat{MJC}=90^o$
$\to MIKB, MJCK$ nội tiếp
$\to \widehat{MIK}=\widehat{MBK}=\widehat{MBC}=\widehat{MCJ}$ vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$
Tương tự $\widehat{MKI}=\widehat{MJK}$
$\to\Delta MIK\sim\Delta MKJ(g.g)$
$\to\dfrac{MI}{MK}=\dfrac{MK}{MJ}$
$\to MI.MJ=MK^2$
Gọi $AO\cap BC=H, AO\cap (O)=D$
Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC=H$ là trung điểm $BC$
$\to MK\le DH$
$\to MI.MJ\le DH^2$
Dấu = xảy ra khi $M\equiv D$