Đáp án:
\(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\sin ^3}\left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin x\\ \Leftrightarrow {\left[ {\sin x\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} - \cos x\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]^3} = \sqrt 2 \sin x\\ \Leftrightarrow {\left( {\sin x - \cos x} \right)^3} = 4\sin x\end{array}\)
TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
\( \Rightarrow \sin x = 1\) hoặc \(\sin x = - 1\) (Vô lý)
TH2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
Chia cả 2 vế phương trình cho \({\cos ^3}x\) ta được:
\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow {\left( {\tan x - 1} \right)^3} = 4\tan x\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\tan x - 1} \right)^3} = 4\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow {\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + 3\tan x - 1 = 4\tan x + 4{\tan ^3}x\\ \Leftrightarrow 3{\tan ^3}x + 3{\tan ^2}x + \tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x\left( {\tan x + 1} \right) + \left( {\tan x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\tan x + 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \tan x + 1 = 0\,\,\,\left( {Do\,\,3{{\tan }^2}x + 1 > 0\,\,\forall x \in R} \right)\\ \Leftrightarrow \tan x = - 1\\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
