Đáp án:
1) $x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi ;x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ;x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
2) ${x = \dfrac{\pi }{{16}} + k\dfrac{\pi }{2};x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)}$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
1){\tan ^2}x + 3{\cot ^2}x = 4\left( {DK:x \ne k\dfrac{\pi }{2}} \right)\\
\Leftrightarrow {\tan ^2}x + \dfrac{3}{{{{\tan }^2}x}} = 4\\
\Leftrightarrow {\tan ^4}x - 4{\tan ^2}x + 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{{\tan }^2}x - 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 1\\
\tan x = - 1\\
\tan x = \sqrt 3 \\
\tan x = - \sqrt 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi \\
x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\
x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$
Vậy các họ nghiệm của phương trình là: $x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi ;x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ;x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
$\begin{array}{l}
2)\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin 5x\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \sin 5x\\
\Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin 5x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = x + \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\
5x = \pi - \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{{16}} + k\dfrac{\pi }{2}\\
x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{3}
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$
Vậy các họ nghiệm của phương trình là: ${x = \dfrac{\pi }{{16}} + k\dfrac{\pi }{2};x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)}$
