Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:1) Gọi số chi tiết máy trong tháng đầu tổ I sản xuất được là x, số chi tiết máy trong tháng đầu tổ II sản xuất được là y (chi tiết) (ĐK: \(x,y\in \mathbb{N}*,x,y<900\) )
Vì tháng đầu hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy nên \(x+y=900\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tháng thứ hai tổ I sản xuất vượt mức 10% nên số chi tiết máy tổ I sản xuất được trong tháng thứ hai là \(110%x=1,1x\)
Tháng thứ hai tổ II sản xuất vượt mức 12% nên số chi tiết máy tổ I sản xuất được trong tháng thứ hai là \(112%y=1,12y\)
Vì tháng thứ hai sản xuất được 1000 chi tiết máy nên \(1,1x+1,12y=1000\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x + y = 900\,\\1,1x + 1,12y = 1000\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,1y = 990\,\\1,1x + 1,12y = 1000\,\,\,\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,02y = 10\,\\x + y = 900\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 500\,\\x = 900 - y\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400\,\,\left( {tm} \right)\,\\y = 500\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy số chi tiết máy trong tháng đầu tổ I sản xuất được là 400, số chi tiết máy trong tháng đầu tổ II sản xuất được là 500.
2) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì\(\Delta >0\)
\(\Delta =25-4\left( 3m-1 \right)=-12m+29>0\Leftrightarrow m<\frac{29}{12}\)
Khi đó theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1 \\ \end{align} \right.\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x_1^3 - x_2^3 + 3{x_1}{x_2} = 75 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {25 - 3m + 1} \right) + 3\left( {3m - 1} \right) = 75\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {26 - 3m} \right) + 9m - 3 = 75 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {26 - 3m} \right) = 78 - 9m\\ \Leftrightarrow {x_1} - {x_2} = 3\end{array}\)
Kết hợp \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5\) suy ra \({{x}_{1}}=-1,\,{{x}_{2}}=-4\).
Khi đó \({{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1\Leftrightarrow 4=3m-1\Leftrightarrow 3m=5\Leftrightarrow m=\frac{5}{3}\left( tm \right)\)
Chọn D
