Đáp án:
1. x = { 0; 4; 9; 25; 81 }
2. Min A = 2
Giải thích các bước giải:
1. ĐKXĐ x ≥ 0 và x $\ne$ 1
Để A là số tự nhiên thì
2$\sqrt[]{x}$ + 6 $\vdots$ $\sqrt[]{x}$ - 1
⇔ 2×( $\sqrt[]{x}$ - 1 ) + 8 $\vdots$ $\sqrt[]{x}$ - 1
⇔ 8 $\vdots$ $\sqrt[]{x}$ - 1 ( vì 2×( $\sqrt[]{x}$ - 1 ) $\vdots$ $\sqrt[]{x}$ - 1 )
⇒ $\sqrt[]{x}$ - 1 ∈ ước của 8 = { ±1; ±2; ±4; ±8 }
Mà $\sqrt[]{x}$ - 1 ≥ -1 với ∀ x ≥ 0
⇒ $\sqrt[]{x}$ - 1 = { ±1; 2; 4; 8 }
⇔ x = { 0; 4; 9; 25; 81 }
2. A = $\frac{x+5}{\sqrt[]{x}+2}$
A = $\frac{(\sqrt[]{x}+2)×(\sqrt[]{x}-2)+9}{\sqrt[]{x}+2}$
A = $\frac{9}{\sqrt[]{x}+2}$ + $\sqrt[]{x}$ - 2
A = $\frac{9}{\sqrt[]{x}+2}$ + ( $\sqrt[]{x}$ + 2 ) - 4
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta được
$\frac{9}{\sqrt[]{x}+2}$ + ( $\sqrt[]{x}$ + 2 ) ≥ 6
⇒ A ≥ 6 - 4 = 2
Dấu "=" xảy ra ⇔ $\frac{9}{\sqrt[]{x}+2}$ = ( $\sqrt[]{x}$ + 2 )
⇔ x = 1
