Đề bài hoàn chỉnh:
Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH.$
Chứng minh:
$a)\quad \triangle ABC \backsim \triangle HBA$
$b)\quad AB^2 = BH.BC$
$c)\quad AC^2 = CH.BC$
$d)\quad AH.BC = AB.AC$
$e)\quad AH^2 = BH.CH$
(Dạng bài tập tam giác đồng dạng cơ bản)
Lời giải:
a) Xét $\triangle ABC$ và $\triangle HBA$ có:
$\begin{cases}\widehat{A} = \widehat{H} = 90^\circ\\\widehat{B}:\ \text{góc chung}\end{cases}$
Do đó $\triangle ABC\backsim \triangle HBA\ (g.g)$
b) Ta có: $\triangle ABC\backsim \triangle HBA$ (câu a)
$\Rightarrow \dfrac{AB}{BH} = \dfrac{BC}{AB}$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow AB^2 = BH.BC$
c) Xét $\triangle ABC$ và $\triangle HAC$ có:
$\begin{cases}\widehat{A} = \widehat{H} = 90^\circ\\\widehat{C}:\ \text{góc chung}\end{cases}$
Do đó $\triangle ABC\backsim \triangle HAC\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AC}{CH} = \dfrac{BC}{AC}$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow AC^2 = CH.BC$
d) Ta có:
$S_{ABC} = \dfrac12AB.AC$
$S_{ABC}= \dfrac12AH.BC$
$\Rightarrow AH.BC = AB.AC = 2S_{ABC}$
e) Ta có:
$\triangle ABC\backsim \triangle HBA$ (câu a)
$\triangle ABC\backsim \triangle HAC$ (câu b)
$\Rightarrow \triangle HBA\backsim \triangle HAC$
$\Rightarrow \dfrac{BH}{AH} = \dfrac{AH}{CH}$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow AH^2 = BH.CH$
