Ta có: F = n³ + 4n² - 20n - 48
= n³ - 4n² + 8n² - 32n + 12n - 48
= n²(n - 4) + 8n(n - 4) + 12(n - 4)
= (n - 4)(n² + 8n + 12)
= (n - 4)(n² + 2n + 6n + 12)
= (n - 4)[ n(n + 2) + 6(n + 2) ]
= (n - 4)(n + 2)(n + 6)
Vì F = (n - 4)(n + 2)(n + 6) chia hết cho 125, mà 125 chia hết cho 5 nên trong F tồn tại một thừa số chia hết cho 5
- Nếu n + 2 chia hết cho 5 thì:
+ n - 4 = n + 2 - 6, vì n + 2 chia hết cho 5, 6 không chia hết cho 5 nên n - 4 không chia hết cho 5
+ n + 6 = n + 2 + 4, vì n+2 chia hết cho 5, 4 không chia hết cho 5 nên n + 6 không chia hết cho 5
Do đó: Để F chia hết cho 125 thì n + 2 phải chia hết cho 125
⇒ n + 2 có giá trị bé nhất bằng 125 ⇒ n có giá trị bé nhất là 123
Tương tự ta xét tiếp hai trường hợp còn lại:
- Nếu n - 4 chia hết cho 5 thì:
+ n + 2 = n - 4 + 6 không chia hết cho 5
+ n + 6 = n - 4 + 10 chia hết cho 5
Do đó: Để F chia hết cho 125 thì:
Hoặc n - 4 chia hết cho 25 và n + 6 chia hết cho 5
Hoặc n - 4 chia hết cho 5 và n + 6 chia hết cho 25
⇒ n bé nhất bằng 4
- Nếu n + 6 chia hết cho 5 thì:
+ n + 2 = n + 6 - 4 không chia hết cho 5
+ n - 4 = n + 6 - 10 chia hết cho 5
Do đó: Để F chia hết cho 125 thì:
Hoặc n - 4 chia hết cho 25 và n + 6 chia hết cho 5
Hoặc n - 4 chia hết cho 5 và n + 6 chia hết cho 25
⇒ n bé nhất bằng 4
Ta thấy qua ba trường hợp, 4 < 123 nên giá trị bé nhất của n để F chia hết cho 125 là n = 4
