Đáp án:
\[m = 4\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{{1 - x}} = \frac{{\left( {1 - x} \right) + x}}{{x\left( {1 - x} \right)}} = \frac{1}{{x - {x^2}}}\\
- {x^2} + x = - \left( {{x^2} - x} \right) = - \left( {{x^2} - x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2}\\
{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow \frac{1}{4} - {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{1}{4},\,\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Rightarrow - {x^2} + x \le \frac{1}{4},\,\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{ - {x^2} + x}} \ge \frac{1}{{\frac{1}{4}}} = 4,\,\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{2}\)
Vậy \(m = \mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} f\left( x \right) = 4 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)
