Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
a5b3+b3a≥2a2a5b3+b3a≥2a2
b5c3+c3b≥2b2b5c3+c3b≥2b2
c5a3+a3c≥2c2c5a3+a3c≥2c2
Do đó :
a5b3+b5c3+c5a3+b3a+a3c+c3b≥2.(a2+b2+c2)a5b3+b5c3+c5a3+b3a+a3c+c3b≥2.(a2+b2+c2) (1)
Ta cần đi chứng minh : b3a+a3c+c3b≥a2+b2+c2b3a+a3c+c3b≥a2+b2+c2
Thật vậy, áp dụng BĐT Svacso ta được :
b4ab+a4ac+c4cb≥(a2+b2+c2)2ab+bc+cab4ab+a4ac+c4cb≥(a2+b2+c2)2ab+bc+ca
Mặt khác : a2+b2+c2≥ab+bc+caa2+b2+c2≥ab+bc+ca
⇒b4ab+a4ac+c4cb≥(a2+b2+c2)2ab+bc+ca≥(a2+b2+c2)2a2+b2+c2=a2+b2+c2⇒b4ab+a4ac+c4cb≥(a2+b2+c2)2ab+bc+ca≥(a2+b2+c2)2a2+b2+c2=a2+b2+c2
Hay : b3a+a3c+c3b≥a2+b2+c2b3a+a3c+c3b≥a2+b2+c2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒a5b3+b5c3+c5a3≥a2+b2+c2⇒a5b3+b5c3+c5a3≥a2+b2+c2
Dấu "=" xảy ra ⇔a=b=c⇔a=b=c
Vậy BĐT được chứng minh !!
