a) Xét $\Delta BHK $ và $ \Delta CHI$, ta có:
$ \widehat {BKH} = \widehat {HIC}( = {90^ \circ }) \\ \widehat {BHK} = \widehat {IHC} $
$ \Rightarrow \Delta BHK \sim \Delta CHI(g - g)$
c)
Vì $ \Delta BHK \sim \Delta CHI \\ \Rightarrow \widehat {KBH} = \widehat {HCI} $
Xét $\Delta BIC$ và $ \Delta CIH$, ta có:
$ \widehat {KBH} = \widehat {HCI} \\ \widehat {BIC} = \widehat {CIH}( = {90^ \circ }) $
$ \Rightarrow \Delta BIC \sim \Delta CIH(g - g)$
$ \Rightarrow \dfrac{{BI}}{{CI}} = \dfrac{{IC}}{{IH}} \\ \Rightarrow C{I^2} = IH.IB $
d)Xét $\Delta BAC$, ta có: $BI \bot AC$
$ \Rightarrow BI$ là đường cao
Mà $ \Rightarrow BI$ là đường phân giác$ \Rightarrow \Delta BAC$ cân tại $B$
$ \Rightarrow BI$ là đường trung tuyến
$ \Rightarrow IA = IC$
Xét $\Delta KAC \bot K$
Có $KI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$
$\Rightarrow KI = \dfrac{{AC}}{2} = AI = IC$
$ \Rightarrow \Delta KIC$ cân tại $K$
$ \Rightarrow \widehat {IKC} = \widehat {ICK}(1) \\ \Delta BKH = \Delta B{\text{D}}H \\ \Rightarrow BK = B{\text{D}} \\ $
$\Rightarrow \Delta BK{\text{D}}$ cân tại $B$ $ \Rightarrow \widehat {BK{\text{D}}} = \widehat {B{\text{D}}K} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \widehat B}}{2}$
Lại có $ \Delta BAC$ cân tại $B$
$ \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \widehat B}}{2} \Rightarrow \widehat {BK{\text{D}}} = \widehat {BAC} \\ \Rightarrow K{\text{D}}//AC \\ \Rightarrow \widehat {DKC} = \widehat {KCI}(2) \\ (1)(2) \Rightarrow \widehat {DKC} = \widehat {IKC} \\ $
$ \Rightarrow KC$ là tia phân giác góc $IKD$ (đpcm)
