Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
Xét tứ giác BCEF ta có:
$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$ ( Do $BE\perp AC=E; CF\perp AB=F$)
$\to$ Tứ giác BCEF nội tiếp (đpcm)
b) Ta có:
Tứ giác BCEF nội tiếp $\to \widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^o\to \widehat{KEC}=\widehat{FBC}\to \widehat{KEC}=\widehat{KBF}.$
Xét tam giác KEC và tam giác KBF ta có:
Góc K chung và $\widehat{KEC}=\widehat{KBF}.$
$\to \Delta KEC\sim \Delta KBF$(g-g) $\to \dfrac{KE}{KB}=\dfrac{KC}{KF}\to KE.KF=KB.KC$(1)(đpcm)
c) Ta có:
Tứ giác AMCB nội tiếp đường tròn (O) $\to \widehat{AMC}+\widehat{ABC}=180^o\to \widehat{KMC}=\widehat{ABC}\to \widehat{KMC}=\widehat{KBA}$
Xét tam giác KMC và tam giác KBA có:
Góc K chung và $\widehat{KMC}=\widehat{KBA}$
$\to \Delta KMC\sim \Delta KBA $(g-g)
$\to \dfrac{KM}{KB}=\dfrac{KC}{KA}\to KM.KA=KB.KC$(2)
Từ (1), (2) ta có:
$KM.KA=KE.KF\to \dfrac{KM}{KF}=\dfrac{KE}{KA}$
Xét tam giác KME và tam giác KFA có:
Góc K chung và $\dfrac{KM}{KF}=\dfrac{KE}{KA}$
$\to \Delta KME\sim \Delta KFA$(c-g-c)
$\to \widehat{KME}=\widehat{KFA} \to \widehat{AME}+\widehat{AFE}=180^o$
Xét tứ giác AMEF ta có: $\widehat{AME}+\widehat{AFE}=180^o$
$\to$ AMEF là tứ giác nội tiếp. (3)
Xét tứ giác AEHF có: $\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^o$ (Do $BE\perp AC=E; CF\perp AB=F$)
$\to$ AEHF là tứ giác nội tiếp. (4)
Từ (3),(4) suy ra A,M,E,H,F cùng thuộc một đường tròn
$\to$ AMEH là tứ giác nội tiếp.
$\to $ $\widehat{AMH}=\widehat{AEH}=90^o\to MH \perp AM$ hay $MH \perp AK$(đpcm)
