a) Ta có $BE, CF$ là đường cao của $\Delta ABC$ nên $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$
$\Rightarrow F, E$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc là $90^o$ nên $BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $(BC)$
b) Xét $\Delta KBF$ và $\Delta KEC$ có:
$\widehat K$ chung
$\widehat{KBF}=\widehat{KEC}$ (cùng bù $\widehat{FBC}$ do BCEF nội tiếp chứng minh trên)
$\Rightarrow\Delta KBF\sim\Delta KEC$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{KB}{KE}=\dfrac{KF}{KC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow KB.KC=KE.KF$ (đpcm)
c) Ta có tứ giác $AMBC$ nội tiếp đường tròn $(O)$
$\Rightarrow\widehat{AMB}+\widehat{ACB}=180^o$ (1)
Tứ giác $BCEF$ nội tiếp chứng minh câu a nên $\widehat{EFB}+\widehat{ACB}=180^o$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{EFB}$ (cùng bù $\widehat{ACB}$)
mà $\widehat{AFK}=\widehat{EFB}$ (đối đỉnh)
Từ 2 điều trên $\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AFK}$
Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AFK$ có:
$\widehat A$ chung
$\widehat{AMB}=\widehat{AFK}$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow\Delta AMB\sim\Delta AFK$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{AB}{AK}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow AM.AK=AF.AB$ (*)
Gọi $AH\bot BC$ tại D $\Rightarrow AD\bot BC$ tại D
Xét $\Delta AFH$ và $\Delta ADB$
$\widehat A$ chung
$\widehat{AFH}=\widehat{ADB}=90^o$
$\Rightarrow\Delta AFH\sim\Delta ADB$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AH}{AB}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow AF.AB=AH.AD$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra $AM.AK=AH.AD$ (***)
Xét $\Delta AMH$ và $\Delta ADK$ có:
$\widehat A$ chung
$\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AH}{AK}$ (suy ra từ (***))
$\Rightarrow\Delta AMH\sim\Delta ADK$ (c.g.c)
$\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{ADK}$ (hai góc tương ứng bằng nhau).
