$\text{a.Xét ΔABH và ΔACH có :}$
$\text{AH : cạnh chung }$
$\text{BH=CH}$
$\text{AB=AC }$
$\text{⇒ΔABH=ΔACH (c.c.c)}$
Tam giác ABC cân tại A nên ⇒AH vừa là đường trung tuyến , vừa là đường cao , vừa là đường phân giác.
$\text{b.Vì H là trung điểm của BC và ΔABC cân tại A }$
$\text{⇒AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao}$
$\text{Ta có :}$
$BH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{4}{2}=2cm$
$\text{Áp dụng định lý Pytago vào ΔABH }$
$⇒AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}(cm)$
$\text{c.Xét ΔBIH và ΔCIH có :}$
$\text{IH : chung}$
$\widehat{BHI}=\widehat{CHI}=90^o$
$\text{BH=HC}$
$\text{⇒ΔBIH=ΔCIH (c.g.c)}$
$\text{⇒BI=IC ( 2 cạnh tương ứng )}$
$\text{⇒ΔBIC cân tại I}$