Đáp án:
a) Chứng minh rằng tứ giác AEHB nội tiếp
Tứ giác AEHB có:
∠AEB=900(BE⊥AD)∠AHB=900(AH⊥BC)∠AEB=900(BE⊥AD)∠AHB=900(AH⊥BC)
⇒⇒ Đỉnh E, H của tứ giác AEHB cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc vuông
⇒⇒ Tứ giác AEHB nội tiếp. (dhnb)
b) Chứng minh rằng AH.DC=AC.BHAH.DC=AC.BH
Ta có C thuộc đường tròn (O) đường kính AD
⇒∠ACD=90o⇒∠ACD=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét ΔAHBΔAHB và ΔACDΔACD có:
∠AHB=∠ACD(=90o)∠AHB=∠ACD(=90o)
∠ABH=∠ADC∠ABH=∠ADC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
⇒ΔAHB∼ΔACD(g−g).⇒AHHC=BHDC⇒AH.DC=AC.BH(dpcm).⇒ΔAHB∼ΔACD(g−g).⇒AHHC=BHDC⇒AH.DC=AC.BH(dpcm).
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng IH=IEIH=IE
Ta có tứ giác AEHB nội tiếp (cmt) ⇒∠BAD=∠EHI⇒∠BAD=∠EHI (tính chất)
Mặt khác ∠BAD=12∠BOD∠BAD=12∠BOD (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn 1 cung)
⇒∠EHI=12∠BOD(1)⇒∠EHI=12∠BOD(1)
Lại có: IB=IC(gt)⇒OI⊥BC⇒∠BIO=∠BEO=90o.IB=IC(gt)⇒OI⊥BC⇒∠BIO=∠BEO=90o.
⇒⇒ Đỉnh E,I của tứ giác BIEO cùng nhìn cạnh BO dưới 1 góc vuông
⇒⇒ Tứ giác BIEO nội tiếp (dhnb) ⇒∠EIC=∠BOD⇒∠EIC=∠BOD (tính chất) (2)
Từ (1) và (2) ⇒∠EHI=12∠EIC⇒∠EIC=2∠EHI⇒∠EHI=12∠EIC⇒∠EIC=2∠EHI
Mà ∠EIC=∠EHI+∠IEH∠EIC=∠EHI+∠IEH (góc ngoài ΔEIHΔEIH)
⇒∠EHI=∠IEH⇒∠EHI=∠IEH
⇒ΔEIH⇒ΔEIH cân tại II ⇒IH=IE⇒IH=IE (đpcm).
