b) CM: AB²=AM.AD và tứ giác AMHC nội tiếp
Xét ΔABM và ΔADB có:
góc BAD chung
góc ABM = góc ADB (góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM)
⇒ ΔABM ~ ΔADB (g.g)
⇒ $\frac{AB}{AD}$ =$\frac{AM}{AB}$ ⇒ AB²=AM.AD
Ta có: góc DMC=$90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
⇒ góc AMC=$90^{o}$
Mà góc AHC=$90^{o}$
⇒ tứ giác AMHC nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc $90^{o}$)
c) Tứ giác AMHC nội tiếp (cmt)
⇒ góc MAC = góc MHB (tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)
Mà góc MAC =$\frac{sđDC-sđ MC}{2}$ =$\frac{sđMD}{2}$ (góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)
⇒ góc MHB=$\frac{sđMD}{2}$
góc HBM =$\frac{sđMC}{2}$ (góc nội tiếp)
Xét ΔBMH có:
góc MHB + góc MBH = $\frac{sđMD}{2}$+$\frac{sđMC}{2}$=$\frac{sđDC}{2}$=$\frac{180}{2}$=$90^{o}$
⇒ góc BMH =180-$90^{o}$=$90^{o}$
⇒ HM là đường cao của ΔBHN
Ta có: góc AMN = góc BMD (đối đỉnh)
góc BMD = góc BCD (cùng chắn cung BD)
góc OBC = góc OCB (ΔBOC cân tại O vì OB=OC=R)
Mà: góc OBC = góc BAO (cùng phụ góc O)
⇒ góc AMN = góc BAO
Xét ΔNAM và ΔNBA có:
góc ANM chung
góc AMN = góc BAO (cmt)
⇒ ΔNAM ~ ΔNBA (g.g)
⇒ $\frac{AN}{NB}$ =$\frac{NM}{AN}$ ⇒ AN²=NB.NM (1)
ΔBHN vuông tại H có HM là đường cao
⇒ HN²=NB.NM (HTL trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AN²=HN²⇔AN=HN
⇒ N là trung điểm của AH
