a) Do hàm số là hàm phân thức với $x \neq -1$ và là hàm hằng với $x = -1$, nên hso liên tục tại mọi điểm trừ ra điểm $x = -1$.
Ta có
$\underset{x \to -1}{\lim} f(x) = \underset{x \to -1}{\lim} \dfrac{x^3 + x + 2}{x^3 + 1}$
$= \underset{x \to -1}{\lim} \dfrac{(x+1)(x^2 -x+2)}{(x+1)(x^2 - x + 1)}$
$= \underset{x \to -1}{\lim} \dfrac{x^2 -x + 2}{x^2 - x + 1}$
$= \dfrac{1 + 1 + 2}{1 + 1 + 1} = \dfrac{4}{3}$
Ta thấy
$\underset{x \to -1}{\lim} f(x) = f(-1) = \dfrac{4}{3}$
Vậy hso liên tục tại $x = -1$.
b) Do hso là hàm đa thức với $x < 2$ và $x > 2$ nên hso liên tục trên $(-\infty,2)$ và $(2, +\infty)$.
Ta chỉ cần xét tính ltuc trái phải tại 2.
Ta có
$\underset{x \to 2^-}{\lim} f(x) = \underset{x \to 2^-}{\lim} x^2 - 3x + 4$
$= 2^2 - 3.2 + 4 = 2$
Ta thấy
$\underset{x \to 2^-}{\lim} f(x) = 2 \neq 5 = f(2)$
Do đó hso ko liên tục trái tại 2.
Lại có
$\underset{x \to 2^+}{\lim} f(x) = \underset{x \to 2^+}{\lim} 2x + 1 = 2.2 + 1 = 5$
Ta thấy
$\underset{x \to 2^+}{\lim} f(x) = 5 = f(2)$.
Vậy hso ltuc phải tại $x = 2$.
