Bài 1:
a) $\widehat{A}=70^o,\,\widehat{B}-\widehat{C}=10^o\to \widehat{B}=\widehat{C}+10^o$
Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o$
$\to \widehat{B}+\widehat{C}=180^o-70^o=110^o$
$\to \widehat{C}+10^o+\widehat{C}=110^o \to 2\widehat{C}=100^o$
$\to \widehat{C}=50^o \to \widehat{B}=\widehat{C}+10^o=50^o+10^o=60^o$
b) $\widehat{A}=60^o;\,\widehat{B}=2\widehat{C}$
Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o$
$\to 60^o+3\widehat{C}=180^o$
$\to 3\widehat{C}=120^o \to \widehat{C}=40^o$
$\to \widehat{B}=2\widehat{C}=80^o$
Bài 2:
a) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$:
$BM=CM$ (gt)
$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (đối đỉnh)
$AM=DM$ (gt)
$\to \Delta ABM=\Delta DCM$ (c.g.c)
b) $\Delta ABM=\Delta DCM$ (cmt)
$\to AB=CD$ (2 cạnh tương ứng)
$\to \widehat{BAM}=\widehat{CDM}$ (2 góc tương ứng)
hay $\widehat{BAD}=\widehat{CDA}$
mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong
$\to AB//CD$ (đpcm)
c) Ta có: $\widehat{BAC}=\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=70^o$
$\to \widehat{CDM}+\widehat{MAC}=70^o$
hay $\widehat{CDA}+\widehat{DAC}=70^o$
Lại có: $\widehat{CDA}+\widehat{DAC}+\widehat{ACD}=180^o$ (tổng 3 góc tam giác)
$\to \widehat{ACD}=180^o-70^o=110^o$
d) Ta có: $AB=CD$ (cmt)
Mà $AH=HB=\dfrac{AB}{2},\,CK=KD=\dfrac{CD}{2}$
$\to BH=CK$
Xét $\Delta BHM$ và $\Delta CKM$:
$BH=CK$ (cmt)
$\widehat{HBM}=\widehat{KCM}\,(AB//CD)$
$BM=CM$ (gt)
$\to \Delta BHM=\Delta CKM$ (c.g.c)
$\to HM=KM$ (2 cạnh tương ứng)
$\to$ M là trung điểm của HK (đpcm)
Bài 3:
a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$:
$AB=AC$ (gt)
$BH=CH$ (gt)
$AH$: chung
$\to \Delta ABH=\Delta ACH$ (c.c.c)
$\to \widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (2 góc tương ứng)
b) Xét $\Delta AHE$ và $\Delta AHF$:
$\widehat{AHE}=\widehat{AHF}\,(=90^o)$
$AH$: chung
$\widehat{HAE}=\widehat{HAF}$ (cmt)
$\to \Delta AHE=\Delta AHF$ (g.c.g)
$\to HE=HF,\,AE=AF$ (2 cạnh tương ứng)
c) Xét $\Delta MHE$ và $\Delta NHF$:
$\widehat{MHE}=\widehat{NHF}$ (đối đỉnh)
$HE=HF$ (cmt)
$\widehat{HEM}=\widehat{HFM}\,(=90^o)$
$\to \Delta MHE=\Delta NHF$ (g.c.g)
$\to ME=NF$ (2 cạnh tương ứng)
Xét $\Delta AFM$ và $\Delta AEN$:
$\widehat{AFM}=\widehat{AEN}\,(=90^o)$
$AF=AE$ (cmt)
$\widehat{A}$: chung
$\to \Delta AFM=\Delta AEN$ (g.c.g)
$\to MF=NE$ (2 cạnh tương ứng)
Bài 5:
a)
Xét $\Delta MAN$ và $\Delta MAB$
MA: chung
$\widehat{NMA}=\widehat{BMA}$ (MA là phân giác)
MN=MB (gt)
$\to \Delta MAN=\Delta MAB\,(c.g.c)$
$\to AN=AB$ (2 cạnh tương ứng)
b)
$\Delta MAN=\Delta MAB$ (cmt)
$\to \widehat{NAM}=\widehat{BAM}$ (2 góc tương ứng)
$\to$ AM là phân giác $\widehat{NAB}$
mà $AN=AB \to \Delta BAN$ cân tại A
$\to$ AM là phân giác đồng thời là đường cao
$\to AM\bot NB$ (đpcm)
c)
$\Delta MAN=\Delta MAB$ (cmt)
$\to \widehat{MNA}=\widehat{MBA}$ (2 góc tương ứng)
Ta có: $\widehat{MNA}+\widehat{ANC}=180^o$ (kề bù)
$\widehat{MBA}+\widehat{ABP}=180^o$ (kề bù)
$\to \widehat{ANC}=\widehat{ABP}$
hay $\widehat{PNC}=\widehat{CBP}$
Xét $\Delta NPC$ và $\Delta BCP$:
NC=BP (gt)
$\widehat{PNC}=\widehat{CBP}$ (cmt)
CP: chung
$\to \Delta NPC=\Delta BCP (c.g.c)$
$\to \widehat{NCP}=\widehat{BPC}$
hay $\widehat{MCP}=\widehat{MPC}$
$\to \Delta MPC$ cân tại M
$\to$ MA là phân giác đồng thời là đường cao $\Delta MPC$
$\to MA\bot CP$
mà $AM\bot NB$
$\to CP//NB (\bot AM)$ (đpcm)
