Đáp án:
$a) {\left[\begin{aligned}x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\\x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\end{aligned}\right.} $
b) $m<-1$
c) $m=1$
Giải thích các bước giải:
$a)x^2-x-\frac{1}{2}=0\\
\Leftrightarrow 2x^2-2x-1=0\\
\Delta'=1-2.(-1)=1+2=3>0\\
\Rightarrow {\left[\begin{aligned}x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\\x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\end{aligned}\right.} $
b) để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì $1.(m+1)<0$
$\Leftrightarrow m<-1$
c) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta' >0$
$\Leftrightarrow (m+2)^2-1.(m+1)>0\\
\Leftrightarrow m^2+4m+4-m-1>0\\
\Leftrightarrow m^2+3m+3>0\\
\Leftrightarrow (m^2+2.\frac{1}{2}.3m+\frac{1}{4})+\frac{11}{4}>0\\
\Leftrightarrow (m+\frac{1}{4})^2+\frac{11}{4}>0$
Do $(m+\frac{1}{4})^2>0\Rightarrow (m+\frac{1}{4})^2+\frac{11}{4}>0$
Vậy với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý vi-et ta có: ${\left\{\begin{aligned}x_1x_2=m+1\\x_1+x_2=2(m+2)\end{aligned}\right.}$
Theo đề ta có: $3x_1x_2-x_1-x_2=0$
$\Leftrightarrow 3.(m+1)-2(m+2)=0\\
\Leftrightarrow 3m+3-2m-4=0\\
\Leftrightarrow m-1=0\\
\Leftrightarrow m=1$
