Ta có
$(C): (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4$
Ta viết ptrinh đường thẳng $d$ qua tâm $I(1,-2)$ và vuông góc với $\Delta: x - y + 3 = 0$
Do $d \perp \Delta$ nên $n_d = u_{\Delta} = (1,1)$
Lại có $d$ qua $I(1,-2)$ nên ta có
$d: x - 1 + y + 2 = 0$
$<-> d: x + y + 1 = 0$
Ta tìm giao điểm của $d$ với đường tròn $(C)$, khi đó là nghiệm của hệ
$\begin{cases} x + y + 1 = 0\\ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \end{cases}$
Từ ptrinh đầu ta suy ra $y = -x-1$. Thế vào ptrinh sau ta có
$(x-1)^2 + (-x-1+2)^2 = 4$
$<-> 2(x-1)^2 = 4$
$<-> (x-1)^2 = 2$
$<-> |x-1| = \sqrt{2}$
Vậy $x = 1 + \sqrt{2}$ hoặc $x = 1 - \sqrt{2}$
Khi đó ta có $y = -2 - \sqrt{2}$ hoặc $y = -2 + \sqrt{2}$.
Vậy hai giao điểm $A(1 + \sqrt{2}, -2 - \sqrt{2})$ và $B(1 - \sqrt{2}, -2 + \sqrt{2})$.
Ta tính khoảng cách từ hai giao điểm đến $\Delta$.
$d(A, \Delta) = \dfrac{|1 + \sqrt{2} -(-2 - \sqrt{2}) + 3|}{\sqrt{1 +1^2}} = \dfrac{6 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
và
$d(B, \Delta) = \dfrac{|1 - \sqrt{2} - (-2 + \sqrt{2}) + 3|}{\sqrt{2}} = \dfrac{6 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
Ta thấy $d(B, \Delta) < d(A, \Delta)$
Vậy điểm thỏa mãn đề bài là $B(1 - \sqrt{2}, -2 + \sqrt{2})$.
