Đáp án: $ C = 90^{0}$
Giải thích các bước giải:
Lưu ý : $cos(A + B) = cos( 180^{0} - C) = - cosC$
$sin²A + sin²B = \sqrt[3]{sin²C}$
$⇔ 2sin²A + 2sin²B - 2\sqrt[3]{sin²C} = 0$
$⇔ (1 - cos2A) + (1 - cos2B) - 2\sqrt[3]{sin²C} = 0$
$⇔ - (cos2A + cos2B) + 2(1 - \sqrt[3]{sin²C}) = 0$
$⇔ - 2cos(A + B)cos(A - B) + \frac{2(1 - sin²C)}{1 + \sqrt[3]{sin²C} + \sqrt[3]{sin^{4}C}} = 0$
$⇔ cosCcos(A - B) + \frac{cos²C}{1 + \sqrt[3]{sin²C} + \sqrt[3]{sin^{4}C}} = 0$
$⇔ cosC[cos(A - B) + \frac{cosC}{1 + \sqrt[3]{sin²C} + \sqrt[3]{sin^{4}C}}] = 0 (*)$
Với $A; B$ là góc của tam giác thì $: sinA > 0; sinB > 0$
$ ⇒ 2sinAsinB > 0 ⇔ sinAsinB > - sinAsinB$
$ ⇔ cosAcosB + sinAsinB > cosAcosB - sinAsinB ⇔ cos(A - B) > cos(A + B)$
Do $A; B < 90^{0} ⇒ cos(A - B) > 0$ :
Và $ 1 < 1 + \sqrt[3]{sin²C} + \sqrt[3]{sin^{4}C} ⇔ 1 > \frac{1}{1 + \sqrt[3]{sin²C} + \sqrt[3]{sin^{4}C}}$
$ ⇒ cos(A - B) >\frac{cos(A - B)}{1 + \sqrt[3]{sin²C} + \sqrt[3]{sin^{4}C}} > \frac{cos(A + B)}{1 + \sqrt[3]{sin²C} + \sqrt[3]{sin^{4}C}} = - \frac{cosC}{1 + \sqrt[3]{sin²C} + \sqrt[3]{sin^{4}C}} ⇔ cos(A - B) + \frac{cosC}{1 + \sqrt[3]{sin²C} + \sqrt[3]{sin^{4}C}} > 0$
Từ $(*) ⇒ cosC = 0 ⇔ C = 90^{0}$
