Đáp án:
Đặt A= $\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{22}$ + $\frac{1}{23}$+ ....+$\frac{1}{59}$ + $\frac{1}{60}$
Ta có:$\frac{1}{21}$ > $\frac{1}{40}$ ; $\frac{1}{22}$ > $\frac{1}{40}$ ;...; $\frac{1}{39}$ > $\frac{1}{40}$
=> $\frac{1}{21}$+ $\frac{1}{22}$+...+ $\frac{1}{40}$ > $\frac{1}{40}$ + $\frac{1}{40}$ +...+ $\frac{1}{40}$ = $\frac{1}{40}$ x 20 = $\frac{1}{2}$
Lại có : $\frac{1}{41}$ > $\frac{1}{60}$ ; $\frac{1}{42}$ > $\frac{1}{60}$ ;....;$\frac{1}{59}$ > $\frac{1}{60}$
⇒$\frac{1}{41}$ + $\frac{1}{42}$ + ... + $\frac{1}{60}$ > $\frac{1}{60}$ + $\frac{1}{60}$ + ...+$\frac{1}{60}$ = $\frac{1}{60}$ x 2 = $\frac{1}{3}$
⇒$\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{22}$ + ...+$\frac{1}{60}$ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{5}{6}$ > $\frac{11}{15}$
⇒ A > $\frac{11}{15}$ (1)
Tương Tự Ta Có : $\frac{x1}{21}$ < $\frac{1}{20}$ ; $\frac{1}{22}$ < $\frac{1}{20}$ ; ...; $\frac{1}{40}$ < $\frac{1}{20}$
⇒ $\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{22}$ +...+$\frac{1}{40}$ < $\frac{1}{20}$ x 2 = 1
Lại có : $\frac{1}{41}$ < $\frac{1}{40}$ ; $\frac{1}{42}$ < $\frac{1}{40}$ ; ...; $\frac{1}{60}$ < $\frac{1}{40}$
⇒$\frac{1}{41}$ + $\frac{1}{42}$ + $\frac{1}{43}$ +...+ $\frac{1}{60}$ < $\frac{1}{40}$ x 20 = $\frac{1}{2}$
⇒$\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{22}$ +...+ $\frac{1}{60}$ < 1 + $\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{2}$
⇒ A < $\frac{3}{2}$ (2)
Từ (1) và (2)
⇒$\frac{11}{15}$ < $\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{22}$ + $\frac{1}{23}$+ ....+$\frac{1}{59}$ + $\frac{1}{60}$ < $\frac{3}{2}$ (đpcm)
