Giải thích các bước giải:
Bài 4:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = a\) là:
\(y = f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{2 - x}}\,\,\,\,\,\,\left( {x \ne 2} \right)\\
\Rightarrow y' = f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 1} \right)'.\left( {2 - x} \right) - \left( {2 - x} \right)'.\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}\\
= \frac{{2\left( {2 - x} \right) - \left( { - 1} \right).\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\
= \frac{{4 - 2x + 2x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f'\left( { - 3} \right) = \frac{5}{{{{\left( { - 3 - 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{5}\\
f\left( { - 3} \right) = \frac{{2.\left( { - 3} \right) + 1}}{{2 - \left( { - 3} \right)}} = - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = -3\) là:
\(\begin{array}{l}
y = f'\left( { - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + f\left( 3 \right)\\
\Leftrightarrow y = \frac{1}{5}\left( {x + 3} \right) - 1\\
\Leftrightarrow 5y = x + 3 - 5\\
\Leftrightarrow x - 5y - 2 = 0
\end{array}\)
Bài 5:
\(\begin{array}{l}
y = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 2\sin x.\cos x = 1 + \sin 2x\\
\Rightarrow y' = \left( {1 + \sin 2x} \right)' = \left( {2x} \right)'.\cos 2x = 2\cos 2x\\
\Rightarrow y'' = \left( {2\cos 2x} \right)' = 2.\left( {2x} \right)'.\left( { - \sin 2x} \right) = - 4\sin 2x\\
\Rightarrow y'' + 4y = \left( { - 4\sin 2x} \right) + 4.\left( {1 + \sin 2x} \right) = 4
\end{array}\)
